高三数学高考模拟五.doc

高三数学高考模拟五
命题人：孙星星 做卷人：马晓燕 审核：祝大展
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x<a}，若AB={x|5<x<6}，则实数a的值为 ．
2．设(1＋2i)2=a+bi()，则ab＝ ．
3．若函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．
4.命题“若实数a满足，则”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．
5．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ．
6．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．
7．若x，y满足约束条件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值，则k的值为___ _．
8．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．

9．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为 ．
10．在△ABC中，若AB＝1，，则＝ ．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC的面积为20，则△ABC的最大角的正切值是________．
12．已知三棱锥的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥的体积为 .
13．已知实数分别满足，， 则的值为 ．
14．若关于x的不等式（组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＝ccos B＋bcos C．
(1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(cos A，cos 2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tan C的值．

16．如图，在四棱锥P - ABCD中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB平面ABCD，PA⊥AB．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）已知点F在棱PD上，且PB∥平面FAC，求DF：FP．

17．为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元. (每平方米平均综合费用＝)．
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米
的平均综合费用为多少元？

18．椭圆C:的左、右焦点分别是，离心率为，过F1且垂直于
x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有
且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y
轴的交点为B，求证：△PAB的外接圆经过定点．

19．已知函数的导函数。
（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程；
（3）设函数，求时的最小值；

20．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有成立，求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．
(ⅰ)求a1，a2的值；
(ⅱ)求数列{an}的通项公式．

参考答案
一、填空题
1．6 2．-12 3． 4.真 5.－＝1 6． 7.1 8．10
9．(1, ＋∞) 10． 11．或－ 12． 13．2 14．
二、解答题
15．(1)由题意，sin Acos B＝sin Ccos B＋cos Csin B，
所以sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A．
因为0＜A＜π，所以sin A≠0．所以cos B＝．因为0＜B＜π，所以B＝．
(2)因为m·n＝12cos A－5cos 2A，
所以m·n＝－10cos2A＋12cos A＋5＝－102＋．
所以当cos A＝时，m·n取最大值．此时sin A＝(0＜A＜)，于是tan A＝．
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝7．
16．证明（1）∵平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD = AB， PAAB，PA平面PAB，∴ PA平面ABCD．∵BD平面ABCD，
∴PABD．连结，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4，
∴．
∵AB∥CD，BC⊥CD，
∴∽．
∴．
∴．
则AC⊥BD．∵，∴BD⊥平面PAC．
（2）∵PB平面FAC，PB 平面PBD，平面PBD平面FAC= FO，∴FO∥PB，∴.
又∵ABCD，且，∴DF：FP=4:1.
17．【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为
［(k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)］×1 000×10，所以，…………………………3分
1 270＝，
解之得：k＝50．……………………………………………………………………………………………6分
（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f (n)，由题设可知
f (n) ＝
＝+25n+825≥2+825＝1 225 (元). ……………………………………………10分
当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．……………………………………………………………12分
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．
……………………………14分
18．(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程，得y＝±．由题意知2＝1，即a＝2b2，又e＝＝， 所以a＝2，b＝1． 所以椭圆C的方程为．
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立 整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0．
由题意Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0．又，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，故k＝－．
所以直线l方程为，令x=0，解得点A,
又直线m方程为,令x=0，解得点B,
△PAB的外接圆方程为以AB为直径的圆方程，即．
整理得：，分别令 解得圆过定点．

20．(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，
因为对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：
因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0．
可得a1＝1，d＝0或d＝2．
当a1＝1，d＝0时，an＝1，成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以．
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1．
(2)(ⅰ)记An＝{1,2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1．对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3．
(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．
而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1,2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an+1，an+1＋i，|an+1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．
所以，Sn+1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1．
又Sn+1＋＝3，所以Sn＝·－＝·3n－．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝，而a1＝1也满足an＝．
所以，数列{an}的通项公式是an＝．