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高考数学选择题解题策略与方法
● 四川省宜宾市第一中学校 李波 易存新
选择题作为2016年全国新课标卷II的主要题型之一，个数从四川卷的10个上升为12个，分值60分，占全卷分数的40%，解选择题的快慢和成功率的高低对于考生能否及时进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用．纵观过去几年的全国II卷，选择题的难度适中，知识覆盖面广，主要考察学生对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本方法的正确合理运用、问题考虑的严谨度和基本计算的准确度，注重多个知识点的小综合，渗透各种数学思想方法，充分考查灵活运用基础知识解决数学问题的能力．选择题属于“小、灵、活”的题目，其解答的基本策略是：充分利用题设条件和选项提供的信息做出判断，定性与定量分析相结合，特殊与一般方法相结合，间接与直接相结合，小题小做，小题巧做．下面结合2015年高考试题，谈谈选择题解题的策略和方法．
（一） 直接法
在解选择题的过程中，把选择题当作填空题或是解答题，直接从题设条件出发，利用已知的公理、概念、定理、公式结论等，通过运算、推理等得到正确选项的方法称为直接法，直接法是解选择题最基本的方法，必须要掌握．
【例1】（2015年全国I理10）的展开式中，的系数为
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60
解析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.
【例2】（2015年全国I理12）设函数=,其中，若存在唯一的整数使得0，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意可知存在唯一整数，使得，
设，，
由可知
作出的大致图像可知，故选D.
【例3】（2015年全国II理12）设函数是奇函数的导函数，
，当时，，则使得成立的x的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
解析：令

选A．
【例４】（2015年广东理７）已知双曲线：的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为
（A） （B） （C）　 （D）
解析：因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选．
【例５】（2015年湖南理８）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
解析：因为A，B，C均在单位圆上，AC为直径，故，又，所以，故最大值为7，故选B．
【例6】（2015年安徽理10）已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）

【例7】（2015年重庆理9）若，则　　　　
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解析：
，故选C．
（二） 排除法
数学选择题的正确答案具有唯一性，当从题设条件入手比较困难时，可以从考虑从选择支入手，排除三个错误答案，余下那个自然正确．
【例1】（2015年广东理8）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值
（A）至多等于3 （B）至多等于4 （C）等于5 （D）大于5
解析：首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D．又注意正四面体到四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B
【例2】（2015年山东理5）不等式的解集是
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
解析：当 <1时，不等式可化为－(－1)+(－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为（-，1）;当 时，不等式可化为－1+(－5)<2，即2－6<2，解得<4，又，所以此时不等式的解集为; 当 >5时，不等式可化为(－1)－(－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解，综上，不等式的解集为（-，4），故选A．
【例3】（2015年湖北理10）设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得 同时成立，则正整数的最大值是
（A）3 （B）4 （C） 5 （D）6

【例4】（2015年浙江理7）存在函数满足:对于任意都有
（A） （B）
（C） （D）
解析：对于任一变量有唯一的与之相对应．对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A，B错误；对于C，当＝１或－１时，，而有两个值，故C错误，故选D
（三） 特例法
在不影响结论的前提下，用特殊值代入原题或考虑特殊情况、特殊位置，从而作出判断的方法称为特例法（也称特殊值法），特例法在使用时往往也是利用选择支的特点进行排除，所以有不少是利用特例的排除法．
【例1】（2015年四川理7）设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
解析：把平行四边形ABCD特殊为矩形，且以为坐标原点，所在直线建立平面坐标系，则，，所以，，,故选C．
【例2】（2015年全国II理9）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
解析：特殊位置分析法，当与平面垂直时三棱锥的体积最大，，，故选C．
【例3】（2015年全II理11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
（A） （B） （C） （D）
解析：本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键．设双曲线方程为，不妨设点在双曲线的右支上，如图所示：，，过点作轴，垂足为，设，则在中，，，，，代入双曲线方程得，，，故选．
【例4】（2015年湖南理9）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则
（A） （B） （C） （D）
解析：由已知得，满足不妨设此时和　分别取得最大值与最小值，又
令，，此时又，故，
故选．
【例5】（2015年福建理10）若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是
（A） （B） （C） （D）
解析：取满足题意的函数，若取，则，
所以排除A；若取，
则，所以排除D；取满足题意的函数，若取，则，所以排除B,故结论一定错误的是C．
（四） 数形结合法
数形结合是高考要求的六大数学思想方法之一，“数”可以展示严密的逻辑推理，“形”可以将抽象问题直观化，更易于理解．二者结合尤其是以“形”表“数”，可以揭示问题的本质，有助于问题的迅速分析和解决．
【例1】（2015年安徽理9）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是
（A），，
（B），，
（C），，
（D），，

解析：的图像与轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，，故，又函数图像间断点的横坐标为正，，故，故选C
【例2】（2015年山东理10）设函数则满足的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意知，，由解得，
所以
故当时，方程化为，即，
如图，分别作出与函数的图像，根据图像分析可知，A点横坐标为，故不符合题意．当时，方程化为，显然方程恒成立；当时，方程化为，显然方程恒成立．所以的取值范围是．
【例3】（2015年四川理9）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
解析：由已知得又对任意的，所以即，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令，则当时，，当时，，由线性规划的相关知识知，只有当直线与曲线相切时，取得最大值，由
解得，，所以，故选B

【例4】（2015年天津理8）（8）已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是
（A） （B） （C）（D）
解析：由得，
所以，
即,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.故选D

　　　　　　　　　　　（五）特征分析法
对题设条件和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法，此法对函数图象题用得较多．
【例1】（2015年全国II理10）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为

解析：本题考查函数的图像与性质，直接求函数完整解析式很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案．即：当点在边上动动时，，其轨迹是非线性的，故排除，取特殊位置和的中点，可得，而，故选.
【例2】（2015年北京理7）如图，函数的图象为折线，
则不等式的解集是
（A） （B）
（C） （D）
解析：因为的定义域为，排除B项，又因
为经过原点与点，由图象特征可知，故选C.
【例3】（2015年福建理8）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
解析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，故选D．

(六) 估算法
所谓估算法就是一种粗略的计算方法，即对有关数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．
【例1】（2015年全国I理4）在投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
解析：根据独立重复试验公式得，该同学投3次，恰好投中2次的概率为，至少投中2次才能通过测试的概率为=0.648一定大于0.432，故选A.
【例2】（2015年全国I理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
解析：设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，约为35多点，故堆放的米为÷1.62，大于17，小于35，故只有B，故选B.
从以上例题和解答可以看出，合理的选择解答方法有助于解选择题的过程变得简单，为后续题目的解答奠定良好的心理基础和提供宝贵的时间，因此灵活运用各种方法解选择题可以充分提高试卷得分率，获得更好的成绩．