概率大题训练总结(高考经典概率问题文科)教师.doc

1（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随
机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．
（参考数据：，
）
解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23 …2分
（2） …………3分
…………………4分
…5分
，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………8分
（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 …………………………………………………………11分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为………………………………12分

2在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？
2解：（1）因为
所以本次活动共有60件作品参加评比. ……………………4分
（2）因为
所以第四组上交的作品数量最多，共有18件. ……………………8分
（3）因为
所以，所以第六组获奖率高. ……………………12分

3已知向量，．
（1）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；
（2）若实数，求满足的概率．

3解（1）设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．
用表示事件“”，即.
则包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．
∴． 答：事件“”的概率为．…………………6分
（2）用表示事件“”，即.
试验的全部结果所构成的区域为，
构成事件的区域为
，
如图所示．
所以所求的概率为．
答：事件“”的概率为．………………………12分

4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：

分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率

（1）将各组的频率填入表中；
（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支，若将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
4解：（I）
分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
………………………………………………（4分）
（II）由（I）可得，
所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． …………………………（8分）
（III）由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，另一支灯管使用寿命超过1500小时的概率，则这两支灯管中恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是．
所以有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.48．…………………………（12分）

气温（℃）
频数
频率

0．03

8

12

22

25

合计
100
1
5为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：
（1）若第六、七、八组的频数、、
为递减的等差数列，且第一组与第八组
的频数相同，求出、、、的值；
（2）若从第一组和第八组的所有星期
中随机抽取两个星期，分别记它们的平均
温度为，，求事件“”的概率．

5解：（1），，，=3 …………………………………6分
（2） …………………………………………………12分

6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,
求分数不小于90分的概率.

6解:(1) 由频率分布条形图知,
抽取的学生总数为人. ………………………………4分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,
由=100,解得.
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……………8分
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ……………………………………………12分

7某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组；第二组，……，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方
图.
（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为
良好，求该班在这次百米测试中
成绩良好的人数；
（II）设、表示该班某两位同学的百米
测试成绩，且已知，
求事件“”的概率.
7解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在内的人数为：（人）
所以该班成绩良好的人数为27人.
（Ⅱ）由直方图知，成绩在的人数为人，
设为、、；成绩在 的人数为人，设为、、、.
若时，有3种情况；
若时，有6种情况；
若分别在和内时，

A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
共有12种情况.
所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种.
∴P（）=…………12分

8一人盒子中装有4张卡片，每张卡上写有1个数字，数字分别是0，1、2、3。现从盒子中随机抽取卡片。
（I）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于等于5的概率；
（II）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率。

9为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查。已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂，
（1）求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率；

9解析：（1）从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2
（2）设抽得的A,B,C区的工厂为，随机地抽取2个，所有的结果为共21个，记事件“至少有1个来自A区”，包含11个，

10某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为,现有甲乙两人同时从站点上车,且他们中的每个人在站点下车是等可能的．
（Ⅰ）求甲在站点下车的概率；
（Ⅱ）甲,乙两人不在同一站点下车的概率．
10解： （Ⅰ）设事件“甲在站点下车”, 则
（Ⅱ）设事件“甲,乙两人不在同一站点下车”，则

11一个袋子中有蓝色球个，红、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其余完全相同.
（1）高考资源网甲从袋子中随机取出1个球，取到红球的概率是 ，放回后,乙从袋子取出一个球，取到白球的概率是，求红球的个数；
（2）从袋子中取出4个红球，分别编号为1号、2号、3号、4号.将这四个球装入一个盒子中，甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求两球的编号之和不大于的概率．

11 解：（1）设红球有个，白球个，依题意得 1分
， 3分
解得 故红球有6个．6分
（2）记“甲取出的球的编号大”为事件A，
所有的基本事件有：(1，2)，(l，3)，(1，4)，
(2，1)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，4)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，
共12个基本事件 8分
事件A包含的基本事件有：(1，2)，(1，3)，（1，4）（2，1），
（2，3），（3，1），（3，2）（4，1），
共8个基本事件 11分
所以，. 12分
12．、是常数，关于的一元二次方程有实数解记为事件．
⑴若、分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求；
⑵若、，且，求．
1.方程有实数解，，即……1分
依题意，、、、、、，、、、、、，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有种结果……2分
当且仅当“且、、”，或“且、”，或“且”时，
不成立……5分，所以满足的结果有种……5分，从而……6分．
⑵在平面直角坐标系中，直线与围成一个正方形……7分
正方形边长即直线与之间的距离为……8分
正方形的面积……10分，圆的面积为……10分
圆在正方形内部……12分，所以……12分
13．在一个盒子中装有标号为1、2、3、4的四个球，现从中一次性取出两个球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
解：结果有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4）（2，3）,（2，4）,
（3，4）。 -----------------------------------------------------4分
（1）、取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下6种
（1，2），（2，3），（3，4）----------------------------------------6分
故所求概率p=
答：取出的两个球上标号为相邻整数的概率是---------------------------8分
（2）、取出的两个球上标号之和能被3整除的结果为
（1，2），（2，4）共两种-----------------------------------------------10分

故所求概率p=。
答：取出的两个球上标号之和能被3整除的概率取-----------------------12分
14．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为。已知直线：，直线：，试求：
（Ⅰ）直线、相交的概率； （Ⅱ）直线、平行的概率
【解析】（I）（a,b）所有可能的情况共有6×6=36种情况（如下图）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
………2分
（1，2）、（2，4）、（3，6）三种
故P…………………………………………………6分
（Ⅱ）（1，2）、（3，6）两种……10分
…………………………………………………12分
15．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组．第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的条形图.

(Ⅰ) 根据已知条件填写下面表格：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本数

(Ⅱ) 估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；
(Ⅲ) 在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？
解: （Ⅰ）由条形图得第七组频率为
…………………1分
∴第七组的人数为3人
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本中人数
2
4
10
10
15
4
3
2
……………………………………………3分

（Ⅱ）由条形图得前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82，
………………………………………4分
后三组频率为1－0.82=0.18 …………………………………5分
估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800×0.18=144（人） ……………………7分
(Ⅲ)第二组四人记为、、、，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，
其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12个 …………………………………………………10分
恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a；共7个 ………12分
因此实验小组中，恰为一男一女的概率是. …………………13分
16.设方程的系数和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
(Ⅰ)求方程有两个不等实根的概率；
(Ⅱ)求方程没有实根的概率；
解（I）基本事件总数为…………………………………………1分
若使方程有两个不等实根，则，即.…………2分

当时，
当时，；
当时，；
当时，
当时，；
当时，,
目标事件个数为4+4+3+2+2+2=17.
因此方程 有两个不等实根的概率为.………………………7分
(II) 若方程有两个相等实根，则，即.…8分
又，所有满足该条件的b,c只有两组，当时，b=2；当时，b=4；
因此方程 有两个相等实根的概率为.
所以，方程没有实根的概率是…………12分

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