浅谈构造法在高中数学解题中的应用.doc

浅谈构造法在高中数学解题中的应用
J13207 王鹏程
摘要
构造法就是根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在,历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题.另外,构造法在中学数学教学中有着十分重要的地位，特别是在高中数学教学中，合理地运用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，提高解题效率,同时也能够提高学生的思维能力、培养学生的创新意识.可见构造法对于数学理论的研究,发展和数学问题的解决都具有重要的意义，尤其在中学数学教学中，构造法的研究和学习显得非常重要。
本文主要分成两个部分：第一部分主要是对构造法的概念、历史 、特征 、常用到的思想方法和类型、优点、注意事项作出简单的介绍；第二部分是从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些在高中数学中常见的构造出发，通过举例分析来探讨分析构造法在高中数学中的应用.
关键词
解题 构造法 应用 高中数学 

浅谈构造法在高中数学解题中的应用
摘要
构造法作为一种数学思想方法，在高中数学教学中有着重要的地位，利用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，在解题中被广泛运用.鉴于此，本文主要对构造法作了简单的介绍，并从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些常见的构造出发，通过举例探讨分析构造法在高中数学中的应用.
关键词 解题 构造法 应用 高中数学 
1 引言
波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.”解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一，它是一种新颖独特、快捷灵活的解题方法.本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解.
2 构造法概述
2.1 构造法
构造法就是综合运用已有的知识和方法，根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.其解题模式如下：对题设条件或所求结论进行充分细致的分析，然后通过创造性的思维构造出函数、图形、方程、数列等相应的模型，最后进行推演，实现转化得出结论.
2.2 构造法的历史
构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在，它的研究主要经历了三个阶段：直觉数学阶段、算法数学阶段、现代构造数学阶段.历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题，如欧几里得在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例.随着科学技术的发展，计算机科学及现代数学将对数学的构造性提出新的要求，使构造性数学具有突出的重要地位.如现在的组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都应用了构造的思想，尤其是图论，更是应用了构造的思想，此外，在拓扑学、维数理论等的研究中，许多数学家应用构造法来发展他们的理论.

1

2.3 构造法的特征
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性.
⑴ 构造性体现在构造法是通过构造一个辅助问题而使原问题得到转化；
⑵ 直观性体现在构造法解决问题的步骤比较直观；
⑶ 可行性体现在构造法不仅能判定某种数学对象的存在，而且在有限步骤内能具体找到它；
⑷ 灵活性体现在用构造法解题，针对某一具体问题，怎样去进行构造，这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关；
⑸ 思维的多样性体现在构造法不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维，解题常要用到分析、综合、观察、比较、联想、想象等多种思维形式.
2.4 构造法中常用到的思想方法
构造法中常用到一些数学思想方法，例如：
⑴ 类比构造：由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似，通过构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的；
⑵ 归纳构造：对于与有关的问题，直接不容易构造出，而以具体的特殊的如进而推进到等；
⑶ 逆向构造：是指按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去探求，通过构造(形式上，关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题；
⑷ 联想构造：联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.
2.5 构造法中常用到的类型
下面介绍一些常用的构造方法：
⑴ 构造数学命题法：如果遇到的数学问题直接证明有困难时，可构造其等价命题，并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证；
⑵ 构造数学关系法：由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法；
⑶ 构造几何图形法：在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷，几何证题中的辅助线，代数方程应用题中的示意图都属于这一类；
⑷ 构造结论法：就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法。有些数学命题是断言存在着某种具有某种性质的数学对象，或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质，对于这类型的数学命题，证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象，用构造结论的办法对数学命题作出证明，称为“构造性证明”；
⑸ 构造矛盾法：就是首先否定原命题，再利用否定后的命题构造出一个能够明显显露其错误的对象，从而导出矛盾，使原命题得证；
⑹ 构造复数法:由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特征性质和运算法则，我们可以构造复数求解许多代数、几何、三角方面的问题，它不但可以提高纵横运用知识解题的技巧，而且可激发发散思维，有效地培养学生的能力，发展智力；
⑺ 构造反例法：为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例，这个过程叫构造反例.选择特殊值,常常是构造反例的关键.
2.6 构造法的优点
构造法的优点在于它使已知与未知、条件与结论很恰当的结合联系起来，起到化简、转化和“桥梁”的作用.另外，如果我们能掌握构造法并能运用于其解决数学问题,那么不但可以提高我们的解题能力,而且可以从敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构及解题灵感这些方面训练学生的思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生的创新思维和创造性意识，激发学生学习的热情.
2.7 构造法的注意事项
运用构造法时要注意以下两点：
⑴ 如何恰当地应用构造思想解题的关键：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合； 
⑵ 在运用构造法时，构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征，且构造出的数学模型所获得的结果，一定是原命题的解题目标，并经过检验，对于不符合原命题解题目标的结果应予以舍弃.
3 构造法在解题中的应用
3.1 构造向量
向量问题是高中数学教学中非常重要的内容，它不仅反映数量关系，而且体现位置关系，这种特点使得向量具有广泛的应用，利用向量模型可以解决代数、几何以及三角等数学问题.而许多学生只是单纯地把向量当做一个知识点来记忆而忽视了它与其它知识点之间的联系，所以高中数学教师应该向学生强化向量的概念并引导学生利用向量来解决相应的问题.
例1 已知为正数，求函数的最小值.
解 构造向量,，则原函数就可化为
,
所以
.
例2 设是平面上的单位向量，且，则的最小值为
解 设，则
=，
所以当时，取得最小值，为.
3.2 构造函数
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择熟悉的内容来解决不熟悉的题目，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性、创新性.
例3 已知函数，当有实数根时,的范围为
解 令
,
则与的函数图像有交点时，函数有实根.
因为，所以当时，，此时，则在点的切线方程为.
所以当时，与的图像相切，当时，与的图像有交点.
因此.
例4 求函数的最大值.
解 由根号下的式子看出且,故可联想到三角函数关系式并构造 .
所以 .
当即时，.
3.3 构造数列
近几年来的高考题中经常出现与自然数n有关的数学问题尤其是不等式证明题，解这类问题时，一般根据题目的特征，通过替换、设想等构造出一个与求证问题相联系的数列，并对该数列的特征进行分析，常可获得解题的途径.如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解.
例5 求证：(其中)．
解 欲证含有与自然数有关的和的不等式,可以构造数列模型,只需证明数列是单调递增，且．
构造数列
,
则有

,
所以数列为递增数列．
又因，故 (其中)，即原不等式得证．
例6 求自然数的最大值，使不等式对一切自然数恒成立.
解 令
，
对任意，

，
所以，是单调递增数列（），则的最小值为，其中.
故对一切自然数使得>成立的条件是>，即.
因此所求自然数的最大值是3.
3.4 构造方程
方程，作为高中数学的重要内容之一，与代数式、函数、不等式等知识密切相关。一般根据已知条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后利用方程中的知识解决问题，使解答简洁、合理.通过构造方程解题的步骤如下：首先将所面临的问题转化为方程问题；然后解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；最后将方程的相应结论再返回为原问题的结论.
例7 求的值域.
分析 求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将化为关于的二次方程,那么方程有实数解时,判别式0,由此可求得函数的值．
解 将变形为关于的方程,
当时,,解得；
当时,.
所以，则的值域是．
例8 若，求证:成等差数列.
解 本题证明方法很多，可以用构造法证明.注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以为判别式的一元二次方程.
由题可知,
,
所以方程有两个相等实根.
又因为把代入，可得,
所以为方程的一个根，从而.
由韦达定理得:,从而，命题得证.
3.5 构造几何模型
华罗庚曾说过“数离开形少直观，形离开数难入微”，可见数形结合的思想是研究数学的基本思想之一，数与形是密不可分的.对于本身不具备图形的一些数学问题，如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接以图形的形式表示，然后借助几何图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论.
例9 求函数的值域.
解 ，
其几何意义是平面内动点到两定点和的距离之和（如图1）.
为求其值域只要求其最值即可， 易知当三点共线（即在线段上）时，取得最小值， ，无最大值，故得函数的值域为 .
例10 若 求证：.
解 注意到观察题目特点，
从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另外两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明.
表示以x，y为边,夹角为的三角形的第三边，
同理，也有类似的几何意义.
这样，我们构作顶点为的四面体（如图2），使得
，
则有
,,.
由于在中，所以
.

图1 图2
3.6 构造复数
复数是高中数学中的一个重要的知识点，它是实数的延伸,一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂,但常使问题简明化.
例11 求证：。
分析 若注意到根号里各式子的特点:都是两个数的平方和,可以联想到复数的模,构造复数,再运用三角不等式便迅速得解.
证明 设
，
则

≥=,
所以有：

成立.
例12 求函数的最小值.
分析 可以看作的模，可以看作的模，然后利用复数模的性质求解.
解 设
，，
则 .
因为 ，
所以
=.
当，同向时，即时，有时，的最小值为.
3.7 构造等价命题
如果某些命题的表达比较抽象复杂、直接求解比较困难时，可以构造一个表达方式较为通俗易懂且和原命题等价的新命题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.
例13 方程的正整数解的组数是（ ）
A.24 B.72 C.144 D.165
分析 原命题等价于把12个相同的小球分成4堆.
解 先把12个小球排成一行，在形成的11个空中插入3块隔板，共有=165种，
故方程的正整数解的组数是165，选D.
变式 方程的非负整数解的组数是多少？
解 设，则，原问题转化为方程有多少正整数解，由例13易知答案为=455.
4 结束语
通过上述的例子可见运用构造法解题可以把问题由繁化简，由难化易，由抽象化转化为具体，使问题更快地得到解答.此外，构造法在解题中的应用还有许多，须针对不同的数学问题需灵活采用相应的构造法，所以我们还需要加强对构造法补充和完善，对其进行深入和广泛的研究并进行教学实践，这样才能将构造法应用于更多的数学题中，且对于迅速发展的今天培养创新型人才有着非常重要的意义.

11