浅谈不等式证明的常用方法pdf.docx

浅谈高中数学不等式的几种证明方法
铜仁二中 覃 波
高中数学不等式的证明是高中数学中的一个难点，也是很多学生害怕的一个知识点，在高中数学中不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学解题中具有举足轻重的地位．不等式的证明可分为推理性问题或探索性问题．推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、分析法、综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察一归纳一猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．本文主要介绍不等式证明中的另外三种方法：换元法、构造法、放缩法．
一，放缩法
在证明不等式时，常把菜些项或因式换以较大或较小的数，这种方法叫做放缩法．即在证明过程中，有时把不等式一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明．利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又需熟悉不等式的性质和其他证法，做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决．
例1.已知: a>0, b>0. 求证:
证明：

所以 原不等式成立。

二、换元法
(1). 三角函数是一类重要的函数, 利用三角函数证明不等式, 使一些看似复杂, 甚至无从下手的不等式证明, 变得简单明了
( 2)．增量换元法
一般的，对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，常用增量法进行换元。
例2.已知a, b, c, d 都是实数,.(x>0,y>0)
求证：
分析：设
则：

所以 原不等式成立

例3已知x>y>o，求证：
证明：

三、构造函数法证明不等式
函数是贯穿中学数学的一条主线, 一些本身无明显的函数关系的问题, 通过类比、联想、转化, 合理的构造函数模型, 从而使问题迎刃而解。本题利用分析法证明过程较复杂, 利用构造函数法证明, 过程简洁, 一目了然。
例4已知△ABC 的三边长是a, b, c, 且m 为正数, 求证
.( 高中课本, 人教版第二册上, 习题6﹒3 第9 题) .
证明：

例5：

四、转化为向量证明不等式
若能依据某些不等式的条件和结论, 将其转化为向量形式, 利用向量的数量积及不等式关系 , 往往能避免复杂的凑配技巧, 使证明过程直观而又容易解。
例6.