泰勒公式及其应用.doc

18

泰勒公式及其应用
摘 要
泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍.

关键词 泰勒公式  佩亚诺余项  拉格朗日余项 
Abstract
Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp-ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema-tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the inflection point of the function to judge, Generalized Integral Converg-ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction.

Keywords： Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder

第一章 绪论
1.1综述
近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即

称为泰勒公式.
众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.
1.2研究现状
关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.
1.3研究意义
泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.
1.4本论文所作的工作
泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.
1.5研究目标
探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.
1.6本论文解决的关键问题
了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.
1.7本论文的研究方法
将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、渐近线等的解题应用上，得出最佳的解题方法.
1.8本论文的内容安排
根据论文的主要内容，将论文分为三章：
第一章为绪论
第二章简要给出了泰勒公式的定义和类型
第三章详细介绍了泰勒公式在数学各方面的实际应用
第二章 泰勒公式
1.1泰勒公式的意义
泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.
泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成，我们来详细讨论它们.
当=1时，有
，
是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.
当=2时，有
，
是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.
1.2泰勒公式余项的类型
泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.
1.3泰勒公式的定义
（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式
如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有

当时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即

（2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式
如果函数在点 的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, 有
(介于与之间）

第三章 泰勒公式的实际应用
2.1利用泰勒公式求极限
对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.
例1 求
分析：此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.
解： 因为

将换成有

又

所以

故

例2 求极限.
解： 因为分母的次数为4，所以只要把，展开到的4次幂即可.

故

带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.
2.2利用泰勒公式进行近似计算
例1 用的10次泰勒多项式求的近似值，并估计误差.
解：在的泰勒公式中取,则有

由于的精确度值，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计
.
必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不能远离，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.
如在的泰勒多项式中令=1，取它的前10项计算的近似值，得到

=0.645 634 92…
而=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如

，
令只取前两项便有
0.69135…,
取前四项则可达到
=0.693 124 75…,
效果比前面好得多.
例2 当很小时，推出的简单的近似公式.
解： 当很小时，

2.3在不等式证明中的应用
关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.
例1 设在二次可导，而且，，试求存在，使.
证： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，.
又

（介于与之间）
由于，不令和，有

所以

当时，，而当时，，可见与中必有一个大于或等于8.
2.4泰勒公式在外推上的应用
外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.
若对于某个值，按参数算出的近似值可以展开成
（*）
（这里先不管的具体形式），那么按参数算出的近似值就是 (**)
和与准确值的误差都是阶的.
现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到

也就是说，对两个阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有阶的近似值.这样的过程就称为外推.
若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从出发再次外推，
，
得到阶的近似值.这样的过程可以进行步，直到
，
满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.
例 1 单位圆的内接正边形的面积可以表示为
，
这里,按照泰勒公式

因此，其内接正边形的面积可以表示为

，
用它们作为的近似值，误差都是量级的.
现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：

那么通过简单的计算就可以知道

项被消掉了！也就是说，用近似表示，其精度可以大大提高.
2.5求曲线的渐近线方程
若曲线上的点到直线的距离在或时趋于零，则称直线是曲线的一条渐近线.当时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线是曲线的渐近线的充分必要条件为

或

如果是曲线的渐近线，则
（或）.
因此首先有
（或）.
其次，再由（或）可得
（或）
反之，如果由以上两式确定了和，那么是曲线的一条渐近线.
中至少有一个成立，则称直线是曲线的一条渐近线，当时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋于或，即成立

则称直线是的一条垂直渐近线.
注意，如果上面的极限对于成立，则说明直线关于曲线在和两个方向上都是渐近线.
除上述情况外，如果当或时，趋于或，即

或
，
则称直线是曲线的一条垂直渐近线.
例1 求 的渐近线方程.
解： 设 的渐近线方程为，则由定义

=
由此为曲线的渐近线方程。
2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性何拐点.
定理1 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数.若在内，则在上的图形是凹的.
证明： 设为内任意两点，且足够小.为中的任意两点，记由定理条件的泰勒公式

由此，

因为余项为的高阶无穷小，又为足够小，所以泰勒公式的符号与相同.又因，所以 ，可得：

即，得.
由得任意性，可得在足够小的区间上是凹的.再由得任意性，可得在内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.
定理2 若在某个内阶可导，且满足
，且
若（1）为奇数，则为拐点；
（2）为偶数，则不是拐点.
证明：写出在处的泰勒公式

因为

则，同样余项是的高阶无穷小.
所以的符号在的心领域内与相同.当为奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号相异，所以为拐点.
当为偶数时，则的符号相同，所以不是拐点.
2.8在广义积分敛散性中的应用
在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）.
例1 研究广义积分的敛散性.
解 ：

因此，，即是的阶，而收敛，故收敛，从而.
2.9泰勒公式关于界的估计
我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.
例1 设在上有二阶导数，时，.试证：当时，.
证：

所以

2.10泰勒公式展开的唯一性问题
泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性.
例1 设是连续的阶导数，在处有展开式：
（1）
且余项满足
（2）
则必有 （3）
其中.
证： 根据泰勒公式，在处可以展开成
（4）
让（1）式与（4）式联立可得

此式令取极限，得.两边消去首项，再同时除以，然后令取极限，又得.继续这样下去则顺次可得式（3）.
注1 该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得到形如（1）式的展开式，只要余项满足条件（2）式，则此展开式的系数必是唯一确定的，它们是（3）式给出的泰勒系数.
注2 该结论的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式而言，必有
且.
结束语
文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.
致 谢
此文得以完成，凝聚了许许多多老师、同事、朋友，亲人的心血和关爱！在
我即将完成学业之际，谨向四年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所
有老师、同事、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！
感谢河南城建学院的李华老师，李老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在课题设计、研究方法、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助.
还衷心感谢徐刚老师、兰奇逊老师、刘常胜老师、屈鹏展教授等老师四年来在学业上对我的辛勤培养、指导以及学习上给予的诸多帮助和支持.老师们严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也将是我一生的表率.在此也感谢指导老师对我的指导和关心.相信在以后的学习和实践中我们会更加努力，使泰勒公式在各个领域得到更充分的利用.谢谢！
衷心感谢我的亲人在我四年的大学生涯中给予我的理解、支持和无私援助，是你们的鼓励让我完成了学业.在此也感谢指导老师对我的指导和关心.
再一次感谢所有关心、支持和帮助过我的老师、同学、朋友和亲人们.

参 考 文 献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高教出版社 2001
[2] 裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社 1993
[3]陈纪修；於崇华；金路.数学分析第二版上册[M].高等教育出版社，2004
[4]孙清华；孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社，2003
[5]朱永生; 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报, 2006(08):4-25
[6]王三宝.泰勒公式的应用例举[J].高等函授学报(自然科学版) , 2005(03)：3-19
[7]冯平; 石永廷. 泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003(04):4-11
[8]唐清干. 泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用[J]. 桂林电子工业学院学报,2002(02) :3-22
[9]严振祥；沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26