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教学目标：教学目标：偏导数相关概念偏导数相关概念教学重点：教学重点：偏导数计算偏导数计算教学难点：教学难点：高阶偏导数计算高阶偏导数计算偏导数偏导数1/19偏导数偏导数偏导数偏导数定义定义计算计算高阶偏导数高阶偏导数几何意义2/19 在一元微分学中，我们研究过函数导数，即函数y对于自变量x改变率：若多元函数某一个自变量发生改变而其它自变量保持不变，将得到与上式类似极限，即会产生函数对某一个自变量改变率.现在我们讨论这种改变率概念和计算.偏导数偏导数3/19偏导数定义偏导数定义4/19当函数z=f(x,y)在区域D内每一点都存在对x和y偏导数时，fx(x,y)和fy(x,y)是D上两个新函数，称为f(x,y)对x和y偏导函数，简称偏导数.分别记为例题例题5/19更多元函数能够类似地定义偏导数更多元函数能够类似地定义偏导数.即对一个自变量求即对一个自变量求偏导时，只要把其它自变量都当常数就行偏导时，只要把其它自变量都当常数就行.一元函数求导一元函数求导公式和导数运算法则都可用于求多元函数偏导数公式和导数运算法则都可用于求多元函数偏导数.2偏导数计算偏导数计算 例题例题6/19例题例题7/19例题例题8/19 注意注意 由上节例由上节例7知上述例知上述例5函数函数f(x,y)在原点是间断，在原点是间断，由此能够看出偏导数存在时多元函数不一定连续由此能够看出偏导数存在时多元函数不一定连续.由对称性知fy(0,0)=0.例题例题9/19偏导数几何意义偏导数几何意义10/19如前所述，二元函数如前所述，二元函数z=f(x,y)偏导数偏导数fx(x,y)、fy(x,y)仍是仍是x、y二元函数，它们一样能够对二元函数，它们一样能够对x和和y求偏导数求偏导数.记记 称为称为z=f(x,y)二阶偏导数二阶偏导数.其中其中fxy和fyx称为混合偏导数.注注 普通地，普通地，fxy与与fyx不是同一个函数不是同一个函数.但可证实以但可证实以下结论下结论高阶偏导数高阶偏导数11/19所以所以例题例题12/19例题例题13/19偏导数定义偏导数定义 对一个自变量求偏导数时，只要把其它自变量都当常对一个自变量求偏导数时，只要把其它自变量都当常数就行了数就行了.所以，一元函数求导公式与导数运算法则都所以，一元函数求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数偏导数可用于求多元函数偏导数.偏导数计算偏导数计算 小结小结14/19注注 假如函数假如函数z=f(x,y)两个混合偏导数在区域两个混合偏导数在区域D上都连上都连续，则在续，则在D上有上有fxy=fyx.高阶偏导数高阶偏导数15/19练习题练习题16/19例题例题17/19例题例题18/19例题例题19/19
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