新湘教版九年级上册数学教案.doc

第一章 反比例函数
探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）
目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；
2、理解反比例函数的概念和意义；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、旧知回顾：
1、函数的概念：
一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。
2、一次函数的概念：
一般地，如果（、是常数，）那么叫做的一次函数。如：，…
当时，有（为常数，）则叫做的正比例函数。如：，，…
二、新知探究：
类似地，有反比例函数：
1、概念：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。
2、强调：
①自变量在分母中，指数为1，且；
②也可以写成的形式，此时自变量的指数；
③自变量的取值为的一切实数；
④由于，，因此函数值也不等于0。
例题讲评：
1、下列函数中，均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的值。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
分析：
⑴是反比例函数，；
⑵不是反比例函数；
⑶是正比例函数；
⑷，即，是反比例函数，。
2、若函数是反比例函数，求出的值并写出解析式。
分析：
由题有：且，解得
∴解析式为，即
3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
分析：
设反比例函数的解析式为（），则
∴
∴此反比例函数的解析式为。
三、练习：
为何值时，是反比例函数？
四、小结：
1、牢记反比例函数的概念；
2、能正确区别正、反比例函数。
五、作业：
1、课堂：
⑴已知函数是反比例函数，求的值；
⑵如果函数是反比例函数，那么正比例函数的图象经过第几象限？
2、课外：《基础训练》.

2

探究内容：1.1 建立反比例函数模型（2）
目标设计：1、巩固反比例函数的概念，能正确区别正、反比例函数；
2、能根据实际正确写出反比例函数解析式，初步尝试画反比例函数的图象；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、根据实际问题写反比例函数的解析式；
2、正、反比例函数的综合练习。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、一次函数的一般形式：
，（，为常数，）
当时， （）为正比例函数。
2、反比例函数的一般形式：
，（为常数，，）
二、新知探究：
例题讲解：
1、已知函数为正比例函数，且其图象经过第一、三象限，函数为反比例函数，请求出符合条件的所有值。
分析：
由题意，有：
由①得，
当在时，方程②为
解得，（均不合题意，舍去）
当时，方程②为
解得，（不合题意，舍去）
∴符合题意的值为3。
2、已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，；当时，，求出与的函数关系。
分析：
∵与成正比例 ∴设
又∵与成反比例 ∴设
又∵ ∴
∴由题意，有
解得
∴与的函数关系式为。
3、某地上一年每度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间。经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，且当时，。
⑴求与之间的函数关系式；
⑵若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上一年增加20％（收益＝用电量×（实际电价－成本价））？
分析：
⑴由题意可设（），则 ，解得
∴与的函数解析式为，即
⑵由题意，有：（1+y）（x－0.3）＝（0.8－0.3）×1×（1＋20％）
即，亦即
∴，
∵
∴
即电价应调至每度0.6元。
三、练习：
1、若函数是反比例函数，那么正比例函数经过第几象限？
2、在某一电路中，电压伏，则电流强度I（安）与电阻R（欧）的函数关系式是（ ）。
3、已知反比例函数，请写出五个符合该函数解析式的点的坐标，并尝试画出该函数的图象。
分析：
（1，－6），（2，－3），（3，－2），（6，―1），（―1，6），（―2，3），（―3，2）
x
x
y
O
图象如下：

四、小结：
牢记反比例函数解析式，灵活解答。
五、作业：
1、课堂：
⑴已知，与成正比例，与成反比例，且当和时，的值分别是－4，3，试求与的函数关系式；
⑵《教材全解》P13名题品味尝试5。
2、课外：《基础训练》。
3

探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（1）
目标设计：1、了解反比例函数的图象为双曲线，掌握其图象的画法；
2、初步依据图象探究的符合与函数值的大小关系；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、函数图象的画法；
2、、与值符号的关系等。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
反比例函数的概念及自变量取值范围：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成，（为常数，，）的形式，那么称是的反比例函数，其中是一切非零实数。
二、新知探究：
尝试：画反比例函数的图象。
步骤：
1、列表：
x
－5
－4
－2
－1

1
2
4
5

－0.4
－0.5
－1
－2
－4
－6
6
4
2
1
0.5
0.4
x
y
O
2、描点：

3、连线：在两象限内分别用圆滑曲线顺次连结。
讲授：反比例函数图象的画法：（描点法）
1、列表：
自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对（或以上）互为相反数的点，并计算出相应值，填表；
2、描点：先描出一侧，另一侧可依中心对称点性质去找。
3、连线：用光滑曲线连结各点并延伸。
强调：
1、反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于一、三象限或二、四象限，它们关于原点对称。
2、由于反比例函数的值不为0，所以它的图象与轴和轴均无交点，即双曲线的俩个分支无限地接近坐标轴，但永远达不到坐标轴，
动手尝试：
画出反比例函数与的图象，并观察它们的图象有什么相同点和不同点。
分析：
列表：
x
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6

－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1

1
1.2
1.5
2
3
6
－6
－3
－2
－1.5
－1.2
－1
x
y
O
描点，连线：

相同点：图象分别都是有两支双曲线组成的，它们都不与坐标轴相交；两个函数图象自身都是轴对称图形，都有两条对称轴；两个函数图象自身都是关于原点对称的中心对称图形。
不同点：函数的图象位于一、三象限，且在每个象限内，值随的增大而减小；函数的图象位于二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大。
由上，有：图象位置与函数的增减性与有关。
反比例函数（）的图象与性质如下表：
k的符号
x
y
O
图象
性质
k＞0
x
y
O

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；
2、当k＞0时，函数图象的两个分
支在一、三象限，在每个象限内，
y随x的增大而减小。
k＜0

1、由于x≠0，k≠0，所以y≠0；
2、当k＜0时，函数图象的两个分
支在二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大。
三、小结：
1、掌握反比例函数图象的画法；
2、牢记反比例函数的性质。
四、作业：
1、课堂：《基础训练》
2、课外：同上，其他试题。
4

探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（2）
目标设计：1、巩固反比例函数图象的画法及的符号与函数图象的关系；
2、能熟练依据反比例函数的图象或点的坐标求解析式；
3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、反比例函数的性质；
2、依据性质判断函数图象所在象限等。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、反比例函数的性质：
2、一次函数的性质：
3、反比例函数与一次函数之间的异同：（图象、的符号与函数值的关系）
二、新知探究：
例题：
已知反比例函数的图象经过点A（-2，3）。
⑴求出这个反比例函数的解析式；
⑵经过点A的正比例函数的图象与此反比例函数还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由。
分析：
⑴设此反比例函数的解析式为（），则
∴
∴此反比例函数的解析式为。
⑵∵A点也在正比例函数的图象上
∴ 则
∴此正比例函数的解析式为
∴此正比例函数的图象经过二、四象限。
又由⑴可知，反比例函数的图象在二、四象限内，设另一交点为，则与A（-2，3）是关于原点对称两点，而点A（-2，3）在第二象限内，所以点必在第四象限内，其坐标为（2，-3）。
2、已知反比例函数，分别依据下列条件确定的取值范围：
⑴函数图象位于第一、三象限；
⑵在每一象限内，随的增大而增大。
分析：
⑴∵函数图象位于第一、三象限
∴，即
⑵依题意，有，∴
3、已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，求的值并写出解析式。
分析：
依题意，有
即
∴
∴此反比例函数的解析式为，即。
探究：反比例函数中的比例系数的几何意义。
x
y
O
N
P
M
如图，过双曲线上任一点作轴、轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积
∵（）
∴
∴
x
y
O
A
即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为。
三、练习：
1、一个反比例函数在第三象限的图象如图所示，若A是
图象上任意一点，AM⊥轴与M，O是原点，如果，求
这个反比例函数的解析式。
2、已知正比例函数与反比例函数的图象都经
过A（M，1）点，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。（2005·常德市）
四、小结：
在牢记图象的基础上灵活练习。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P3 4；
2、课外：同上。

5

探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（3）
目标设计：1、能够求反比例函数与一次函数的解析式及其交点坐标；
2、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：根据已知条件求函数解析式。
探究准备：作图工具、小黑板等。
探究过程：
一、复习导入：
1、一次函数 （）与轴、轴交点：
轴：（） 轴：（）
反比例函数与轴、轴无交点。
2、当时，一次函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；反比例函数图象分两支在一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小。
当时，类似。
二、新知探究：
题例：
1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围。
分析：
x
y
O
N(－1，－4)
M(2，m)
⑴∵点N（-1，-4）在反比例函数的图象上
∴ 即
∴反比例函数的解析式为。
又∵点M（2，M）也在双曲线上
∴
∴点M的坐标为（2，2）。
又∵点M（2，2），点N（-1，-4）均在的图象上
∴ 解得
∴一次函数的解析式为。
⑵由图象可知，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。
解析如下：
∵
∴ 即 ①
分两种情况讨论：
①当时，①式可化为 即
∴或 即 或
∴
②当时，①式可化为 即
∴或 即 或
∴
综上，当或时，反比例函数值大于一次函数的值。
2、如图，A、C是函数的图象上任意两点，过点A作轴的垂线，垂足为B，过点C作轴的垂线，垂足为D，记的面积为，的面积为，则与的大小关系怎样？
分析：
y
x
A
B
O
D
C
方法一：设，则
同理，设，则
∴
方法二：由函数可得
∵，
∴
三、练习：
如果反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点坐标为（2，3），求反比例函数和一次函数的解析式。
四、小结：
1、求反比例函数的解析式只需一个点的坐标即可，而求一次函数解析式需知道两个点的坐标；
2、求函数解析式的方法一般是用待定系数法；
3、比较函数值的增减情况一般是依据自变量而定。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P4 4；
2、课外：《基础训练》P4 2。

6

探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（4）
目标设计：通过典型题例的分析讲解，引导学生掌握反比例函数图象的画法，巩固反比例函数的概念和性质。
重点难点：1、熟练掌握反比例函数图象的画法；
2、能依据反比例函数的概念和性质求其解析式。
探究准备：作图工具、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、反比例函数的概念、性质及其图象画法；
2、一次函数的解析式、性质及图象画法。
二、新知探究：
1、画出函数的图象。
分析：
方法：描点法
过程：
1、列表：
x
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
y

－1
1

x
y
O
（x＞0）
（x＜0）
2、描点、连线：

强调：描点时不能把横纵坐标颠倒，单位长度应取合理、正确，便于描点。
2、如图，在直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，与轴交于点C，AB垂直于轴，垂足为B，且。
x
y
O
A
B
C
⑴求M的值；
⑵求△ABC的面积。
分析：
⑴ 设点
∵A点在的图象上，
∴
又∵
∴
⑵ 由⑴知，。
∴取立直线与双曲线的解析式，有
解得 或
∵，（需求第一象限内的交点坐标）
∴A点坐标为
又∵直线与轴的交点为―2
∴
∴
三、练习：
《基础训练》P4 5
四、小结：
1、过双曲线上任意一点作轴或轴的垂线，与坐标原点所构成的三角形的面积为；
2、双曲线与直线若有交点，说明联立其解析所组成的方程。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P5 10，11；
2、课外：同上6、7、8。

7
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（5）
目标设计：通过典型题例的分析讲解，引导学生牢记反比例函数图象与性质，掌握解题方法。
重点难点：解题方法的分析引导。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、若、在反比例函数的图象上，则与的关系怎样？
2、已知与成反比例，且时，，那么当时，为多少？
3、已知函数的图象过点，试求函数的图象与坐标轴围成是三角形的面积。
分析：
∵点在函数的图象上
∴
∴一次函数的解析式为：，此时，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：
二、新知探究：
1、一次函数与双曲线在同一直角坐标系中无交点，试判断的取值范围。
分析：
由题意，有
∴ 即 亦即
又∵直线与双曲线无交点
∴此时方程无解
∴ 即
2、已知如图，C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交轴、轴于A、B两点，设，，连结OC、OD，求证：
分析：
过点C作CG⊥轴于G，则在Rt△COG中，，
x
y
O
A
B
C（x1，y1）
D
G
∵C点在双曲线上
∴ 即
∴
∴在Rt△COG中，，即
∴
3、如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A、B，设点A的坐标为，那么宽为，长为的矩形面积和周长分别为多少？
x
y
O
A（x1，y1）
B
分析：
由题意，得
∴ 或
∴由图象可知，A点坐标为
∴

4、如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于轴于D，若。
x
y
O
A
B
C
D
⑴求A、B、D的坐标；
⑵求一次函数与反比例函数的解析式。
分析：
⑴∵
∴A（-1，0），B（0，1），D（1，0）
⑵∵点A、B在一次函数的图象上
∴ 解得
∴一次函数的解析式为
又∵C点在在一次函数的图象上，CD⊥轴，且OD＝1
∴CD＝1＋1＝2，即C点坐标为（1，2）
又∵C点也在反比例函数的图象上
∴
D
x
y
O
A
B
C
∴反比例函数的解析式为。
三、练习：
如图，一次函数图象分别与轴、轴
相交于A、B两点，与反比例函数交于C、D两
点。如果点A（2，0），点C、D分别在第一、三
象限内，且，试求两函数的
解析式。
四、小结：
灵活运用已知条件和图象找准坐标点，然后求解析式。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P6 5；
2、课外：同上。

8
探究内容：1.2反比例函数的图象与性质（6）
目标设计：通过稍有难度的典型题例的分析讲解，引导学生灵活运用本节知识及已学的相关知识解决问题，注重学生自主探究知识能力的培养。
重点难点：1、运用综合知识解题；
2、自主探究知识能力的培养。
探究准备：作图工具、投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
正比例函数与反比例函数在解析式、图象、自变量取值范围、图象位置、性质上的区别。
二、新知探究：
题例：
1、如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点，且。
⑴该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如果能确定，请写出它们的解析式；如果不能确定，请说明理由。
x
y
O
A
B
C
D
E
⑵如果线段AC的延长线与反比例函数的图象的另一支交点D点，过D作DE⊥轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
⑶请判定△AOD为何特殊△，并证明你的结论。
分析：
⑴能。
设，则
∴
∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为。
⑵能。
∵点D也在双曲线上，且DE⊥轴。
∴ 而
∴
⑶△AOD为钝角等腰三角形。由题意，有
解得 或
∴，
∴在Rt△AOB与Rt△DOE中，
又由图象可知∠AOD＞90°
∴△AOD是钝角等腰三角形。
2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴、轴交于C、D，已知，,点B的坐标为。
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求△AOB的面积。
分析：
⑴过A作AE⊥轴于E
∵，，则可设，
∴在Rt△AOE中，
∴， 即， ∴
又∵A点在反比例函数的图象上
∴即 ∴反比例函数的解析式为
又∵在双曲线上
∴ ∴
∴把，代入中，有
解得
∴一次函数的解析式为
⑵ ∵一次函数与轴交于D
∴ ∴
x
y
O
A
B
D
三、练习：
如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。
⑴求A、B两点坐标；
⑵求△AOB的面积。
四、小结：
1、直角坐标系中图形的面积一般以坐标轴为底边分成△来求；
2、点不在第一象限内，线段长度应加绝对值符号。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P11 1，2；
2、课外：同上。

9

探究内容：1.3实际生活中的反比例函数（1）
目标设计：1、能够依据实际问题建立通过反比例函数模型；
2、能够依据实际问题确定自变量的取值范围；
3、体会数学与生活的联系，培养自主探究知识的能力与习惯。
重点难点：1、依据实际问题建立反比例函数模型；
2、在实际问题中确定自变量的取值范围。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
反比例函数（是常数，）的图象与性质：
①时……
②时……
二、新知探究：
实际生活中的反比例函数：
问题1：使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？
∵（为常数，）
∴
压强大到一定程度时，气球便会爆炸。
问题2：小明的妈妈做布鞋，钠鞋底时为什么要用大头针而不用小铁棍？
∵
∴
即当F一定时，S越小，P越大。
题例：
某单位为响应政府发出的“全民健康”的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD。该健身房的四面墙中有两面沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为20元／平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元／平方米。设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB长为米，修建健身房的总投入为元。
⑴求与的函数关系式；
A
C
B
D
20m
11m
⑵为了合理利用大厅，要求自变量必须满足条件，当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁总长度为多少米？
分析：
⑴∵矩形ABCD的面积为60平方米，米
∴另一面旧墙米
∴旧墙壁总长为米，等于新墙壁总长。
∴修建健身房的费用即
⑵由题意，有
解得，
经检验，，都是方程的根，但
∴
即利用旧墙壁的总长为（米）
三、练习：
某件商品的成本价为15元，据市场调查知，每天的销售量（件）与销售价格（元）有下列关系：
销售价格x
20
25
30
50
销售量y
15
12
10
6
仔细观察，你能发现什么规律？你能写出与的关系式吗？它们之间是什么函数关系？画出它的图象。
四、小结：
根据实际问题，找准函数关系，再确自变量范围。
五、作业：
1、课堂：
某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为80元，在销售中发现，该衬衣的月销售量（件）是销售价（元）的反比例函数，且当售价定为100元／件时，每月可销出30件。
⑴求与之间的函数关系式；
⑵若商场计划月赚利润2000元，则其单价应定为多少元？
2、课外：《基础训练》P10 1，2。

10

探究内容：1.3实际生活中的反比例函数（2）
目标设计：1、分析实例，了解反比例函数在实际生活中的应用；
2、能够运用所学知识分析解决生活实例。
重点难点：培养学生分析问题、解决问题的能力。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数，也不是反比例函数。
1、小红1分钟可以制作2朵花，分钟可以制作朵花；
2、体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm3;
3、用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为cm，面积为cm2；
4、小李接到对长为100m的管道进行检修的任务，设每天能完成10m，天后剩下的未检修的管道长为m。
二、新知探究：
题例：
1、请你编写一道反比例函数在实际生活中的应用题，并运用反比例函数的性质进行解答。
分析：
强调须用“反比例函数的性质进行解答”。如：
小明家离学校S千米，上学时，小明每小时走V1千米，他弟弟每小时走V2千米。
⑴小明和弟弟上学所用的时间t（小时）与他们各自的速度V（千米／时）是反比例函数吗？如果是，请写出他们各自的解析式；如果不是，请说明理由；
⑵如果，那么他们俩谁花的时间少？试说明理由。
解：⑴均是反比例函数，解析式分别为

⑵如果，那么小明花的时间少。因为在反比例函数中，，且，所以随的增大而减小。
2、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例。观测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克。请根据题中提供的信息，解答下列问题：
6
8
O
y
x
⑴药物燃烧时，关于的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ，药物燃烧后，关于的函数关系式为 ，此时自变量的取值范围是 。
⑵研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克
时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过
分钟后，学生才能回到教室；
⑶研究表明，当空气中的每立方米含药量不低于3毫克
且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，
那么此次消毒是否有效？为什么？
分析：
⑴由图中（8，6）既在正比例函数图象上，也在反比例函数图象上，很容易求出它们的解析式；，；，；
⑵将代入反比例函数解析式中求出至少需要的时间；（时，即（分钟））；
⑶将分别代入两函数解析式中，求出相应的两个值，再求其差并与10比较，若达到或超过10，则本次消毒有效；否则无效。（把代入中，得；把代入中，得。∵16－4＝12＞10，∴本次消毒有效）
三、练习：
O
x
y
P（4,32）
4
32
你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中，就渗透
着数学知识。一定体积的面团做成拉面，面条的总长度
是面条粗细（横截面积）的反比例函数，
其图象如图：
⑴写出与的函数关系式；
⑵当面条粗时，求面条的总长度是多少？
四、小结：
1、读懂题意，看清图象；
2、特别注意自变量的取值范围。
五、作业：
1、课堂：《基础训练》P11 3；
2、课外：继续完成《基础训练》。

11

探讨内容：第1章 反比例函数（复习课）
目标设计：巩固本章知识点，牢记反比例函数的图象与性质，并能利用性质解决实际问题。
重点难点：1、理解反比例函数的图象与性质；
2、利用反比例函数的性质解决实际问题。
探讨准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、基本知识：
1、反比例函数的定义：
一般地，如果两个变量与的关系可以表示成（是常数，）的形式，那么称是的反比例函数。
⑴反比例函数解析式的几种表示法：
① ② ③
⑵自变量的取值范围：的一切实数。
2、反比例函数的图象和性质：
⑴图象：是双曲线，分两支是断开的，关于原点成中心对称，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永不与坐标轴相交。
⑵性质：
在反比例函数（）中
①当时，函数图象分两支在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；
②当时，（与上类似）
⑶由反比例函数图象上任一点向两坐标轴作垂线，所以矩形面积等于。
3、反比例函数在生活中的应用：
读懂题意，特别注意自变量的取值范围。
二、典型题例：
1、已知，若是的反比例函数，求的值。
分析：由题意，得
解得
∴
即当时，是反比例函数。
2、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为。
⑴分别求出这两个函数解析式；
⑵求出B点坐标。
x
y
O
A
B
分析：
⑴∵点A在俩函数图象上
∴，
∴，
∴正比例函数的解析式是，
∴反比例函数的解析式是。
⑵方法1： 方法2：
由题意，有 ∵反比例函数的图象关于原点成中心对称
解得或 ∴B点和A点关于原点中心对称
∴A，B ∴B
3、在反比例函数的图象上有一点，它的横坐标与纵坐标是方程的两根。
⑴求的值； ⑵求点到原点的距离。
分析：
⑴∵在函数的图象上 ⑵由题意，有
∴即 ，
又∵、是方程的两根 ∴
∴ ∴
∴ 即点到原点的距离为。
三、小结：
牢记反比例函数的图象与性质，注意区别一次函数与反比例函数、读懂题意，仔细作答。
四、作业：
1、课堂：
⑴点是双曲线上一点，且、是一元二次方程的两根，求双曲线的解析式。
⑵已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，求一次函数和反比例函数的解析式。
2、课外：
完成《基础训练》。

12

探讨内容：第1章 单元测试卷评析
目标设计：通过评析单元自测卷，引导学生查漏补缺，分析问题，解决问题，优化学习方法，巩固本章知识。
重点难点：引导学生分析错误产生的原因，找准补救措施。
探讨准备：投影片等。
探究过程：
一、试卷分析：
二、讲评试卷：
1、若反比例函数的图象在第四象限，则有（ ）
A、、 B、 C、 D、
分析：
∵双曲线在第四象限
∴ 即
2、已知，点在反比例函数的图象上，则直线不经过第几象限？
分析：
∵点在双曲线上 ∴
又∵ ∴ ∴直线不经过第三象限。
3、已知反比例函数的图象经过点，若一次函数的图象平移后经过反比例函数图象上的点，求平移后的一次函数图象与轴的交点坐标。
分析：
∵反比例函数的图象经过点
∴即 ∴反比例函数的解析式为。
又∵在双曲线上
∴ 即B点的坐标为
方法一：
设平移后的一次函数解析式为，且过点
∴即
∴平移后的一次函数解析式为
∴函数与轴的交点坐标为
方法二：
∵一次函数与轴的交点为，而B
∴此函数向右平移了两个单位
又∵一次函数与轴交点为
∴平移后的一次函数图象与轴的交点坐标为
4、已知反比例函数与一次函数的图象都经过点，且在时，这两个函数值相等，求出这两个函数的解析式。
分析：
∵反比例函数的图象过点
∴即 ∴反比例函数的解析式为
又∵点也在一次函数的图象上
∴ ①
又∵在时，两函数值相等
∴ ②
∴①②联立方程组为
解得
∴一次函数的解析式为
5、已知与成反比例，当时，。
⑴求与的函数关系式；⑵求当时，函数的值；⑶求时的值。
分析：
⑴设此函数的解析式为，依题意，有即
∴与的函数关系式为
⑵当时，有
⑶当时，有即
三、小结：
1、根据反比例函数的图象，牢记其性质；
2、仔细审题，弄清反比例函数与一次函数、平面几何之间的关系。
四、作业：
1、课堂：测试卷第26题。
2、课外：错题订正在课外作业本上。

探究内容：1.1 建立一元二次方程模型
目标设计：1、通过实例引导学生建立一元二次方程模型；
2、掌握一元二次方程的一般形式，能够区分一元二次方程与一元一次方程、
分式方程；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、一元二次方程的一般形式以及与其它方程的区别；
2、一元二次方程建模。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：
一、复习导入：
1、课前谈话：
2、解方程：

二、新知探究：
自读课本P2～P3，可以讨论。提示：
1、已知匀加速运动求路程的公式：
t → 时间 v0 → 初速度 a → 加速度
2、问题二的等量关系为：
小明骑车行驶的路程＝小亮骑车行驶的路程 即：

由以上两问题可得如下两方程：
① ②
分析：
以上两方程分别只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2，因此可得如下结论：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程。它的一般形式是：
（a、b、c是已知数，a≠0）
a → 二次项系数 b → 一次项系数 c → 常数项
注意：一元二次方程有以下几种情况：
① → 常数项为0
② → 一次项为0
③ → 需要移项
④ 只有二次项
三、练习：
1、把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项。
① ②
③ （P为常数） ④
2、若是关于的一元二次方程，则 －1 。
3、P4 练习题
四、小结：
1、一元二次方程的概念以及其一般形式：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程。它的一般形式是：（a、b、c是已知数，a≠0）。
2、一元二次方程常见的几种情况：
3、一元二次方程建模：
五、作业：
1、课堂：
P4习题1.1A组2、3；
2、课外：
同上，B组.

2

探究内容：1.2.1 因式分解法，直接开平方法（1）
目标设计：1、初步掌握运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程；
2、引导学生从具体实例中总结以上两种解法的一般步骤；
3、注重培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：1、两种解法的引导及其步骤；
2、正确运用两种解法解一元二次方程。
探究准备：投影片等。
探究过程：
一、复习导入：
1、农田里的一条灌溉渠，它的横截面是面积为0.78m2的等腰梯形，它的上底比渠深多1.2m，下底比渠深多0.2m，求渠深的一元二次方程为？
分析：
设渠深为xm，则上底为m，下底为m，于是有
即
2、什么样的等式是一元二次方程？它的一般形式怎样？试举例一个一元二次方程，并说出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
二、新知探究：
思考：如何解方程
分析：
原方程可变形为
将此方程左边分解因式
即
则 或
解以上两个一元一次方程，得 ，
说明：此方程为上一节中的问题一的方程。在此实际问题中，不符合题意，应当舍去；符合题意，即人行道的宽度为2.5m。
结论：像以上这种利用因式分解解一元二次方程的方法就是因式分解法。

思考：方程还有其他的解法吗？
解法二：方程移项变为：
方程两边同时开平方，得
解得 ，
讲授：这种在方程两边直接开平方解一元二次方程的方法叫作直接开平方法。

例题精讲：
例1：解方程：
解法一：因式分解法： 解法二：直接开平方法：

∴
∴ 或 即 ，
解得 ，