第九章-微分方程与差分方程简介.ppt

第九章第九章1第一节第一节 微分方程的一般概念微分方程的一般概念 在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用程的解法以及它们的简单应用.2定义定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程微分方程.定义定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的微分的阶数，称为微分方程的阶阶.未知函数是一元函数的微分方程称为未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程，未，未知函数是多元函数的微分方程称为知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.在本书在本书中只讨论常微分方程，如下例：中只讨论常微分方程，如下例：一阶一阶二阶二阶一阶一阶3定义定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的使方程成为恒等式的函数称微分方程的解解。微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解：微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且独立且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同。任意常数的个数与微分方程的阶数相同。(2)(2)特解特解：不含任意常数的解不含任意常数的解。定解条件：定解条件：用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件。4初始条件：初始条件：规定微分方程中的未知函数及其若干阶规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。初值问题：初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。求微分方程满足初始条件的解的问题。5解解例例 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知(1,3)6第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程引例引例微分方程微分方程两边积分即可。两边积分即可。分离变量，分离变量，改写成改写成两边积分，两边积分，通解为通解为(一一)可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程7(一一)可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解。为微分方程的通解。两边积分两边积分,为为可分离变量的方程。可分离变量的方程。称称则则第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程8解解例例9解解可简写为：可简写为：例例10解解练习练习11解解例例12为所求通解为所求通解.解解例例13解解例例分离变量，分离变量，两边积分两边积分通解通解为为 所求特解为所求特解为数学建模数学建模14(二二)齐次方程齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程。形如形如例如例如可化为可化为可化为可化为15作变量代换作变量代换代入原式得代入原式得两边积分即得通解两边积分即得通解.注意：须将注意：须将 u 代回。代回。分离变量得分离变量得16例例解解此此题题不能分离不能分离变变量量,是齐次方程是齐次方程,17例例解解原方程原方程变变形形为为 1819练习练习解解是齐次方程是齐次方程,原方程原方程变变形形为为 2021(三三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的.上述方程称为上述方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的,非齐次非齐次非线性的非线性的.22齐次方程的通解为齐次方程的通解为1、线性齐次方程、线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法：解法：使用分离使用分离变量法变量法232、线性非齐次方程、线性非齐次方程常数变易法：常数变易法：作变换作变换积分得积分得所以原方程的通解为所以原方程的通解为:24解解例例通解通解为为 25解解例例通解通解为为 26解解 方程改写为方程改写为 所以所求解为所以所求解为 一一阶线阶线性方程，性方程，例例27解解这是这是一一阶线阶线性性微分微分方程方程，通解为，通解为 练习练习28解解例例29数学建模数学建模-价格调整模型价格调整模型 设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供设某商品的价格主要取决于市场供求关系，或者说供给量给量S与需求量与需求量D只与该商品的价格只与该商品的价格p有关。设有关。设 30其中其中 k 为正的常数，用来反映价格的调整速度。为正的常数，用来反映价格的调整速度。于是上述价格调整模型的解为于是上述价格调整模型的解为 31第三节第三节 几种二阶微分方程几种二阶微分方程(一一)最简单的二阶微分方程最简单的二阶微分方程解解例例解法：两解法：两边积边积分分两两次即可次即可。形如形如积分一次得积分一次得再积分一次，得通解为再积分一次，得通解为32(二二)一阶微分方程一阶微分方程解解例例33解解练习练习这是这是一一阶线阶线性性微分微分方程方程，通解为，通解为 所以原方程通解为所以原方程通解为34(三三)把把 y 视为自变量视为自变量35解解例例代入原方程代入原方程,得得 积积分得通解分得通解为为 36积积分得通解分得通解为为 本本题还题还可用下面的可用下面的简单简单解法解法：解解例例37解解练习练习代入原方程代入原方程,得得 3839第四节第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二二阶阶常系数常系数线线性性齐次齐次微分方程微分方程其中其中 p,q 是常数是常数.二二阶阶常系数常系数线线性性非齐次非齐次微分方程微分方程40(一一)二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；证证所以所以412、方程、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)的解的解。证证所以所以(一一)二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；42也是也是(1)的解，的解，(称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(1)的的通解通解.定理定理1 12、方程、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)的解的解。(一一)二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法1、方程、方程(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；43代数方程代数方程(3)称称为为微分方程微分方程(1)的的特征方程特征方程，它的根称它的根称为为特征根特征根.44情形情形1 1 则则特征方程特征方程(3)有两个相异的有两个相异的实实根根 故它故它们线们线性无关性无关,因此因此(1)(1)的通解的通解为为 45情形情形2 2 需要求另一个特解需要求另一个特解则则特征方程特征方程(3)有两个相等的有两个相等的实实根根 于是于是(1)的通解的通解为为 46由欧拉公式由欧拉公式 知知，情形情形3 3 则则特征方程特征方程(3)有一有一对对共共轭轭复根复根 仍然是仍然是(1)的解的解,且且线线性无关性无关,所以方程所以方程(1)的通解的通解为为 由叠加原理由叠加原理,47二阶常系数线性齐次微分方程的解法：二阶常系数线性齐次微分方程的解法：特征方程特征方程 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 48解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例例例解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为49解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例特征根为特征根为50训练：求下列微分方程的通解训练：求下列微分方程的通解解解解解方程通解为方程通解为特征方程特征方程特征根特征根解解通解通解为为通解通解为为51(二二)二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及解法线性方程解的性质及解法1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的差的差是是(1)的解；的解；证证所以所以522、方程方程(1)的一个解加上方程的一个解加上方程(2)的一个解是的一个解是(2)的解的解.证证所以所以(二二)二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及解法线性方程解的性质及解法53对应齐次方程对应齐次方程定理定理2 2那么方程那么方程(2)的通解为的通解为问题归结为求方程问题归结为求方程(2)的一个特解。的一个特解。只讨论只讨论 f(x)的两种类型。的两种类型。用待定系数法求解。用待定系数法求解。二阶常系数非齐次线性方程的解法：二阶常系数非齐次线性方程的解法：54则则55情形情形1 若若 不是特征根不是特征根,即即情形情形2 2 若若 是特征方程的是特征方程的单单根根,即即56情形情形3 3 若若是特征方程的是特征方程的二重二重根根,即即57综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中58解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例代入原方程代入原方程,得得 设特解为设特解为59解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根练习练习代入原方程代入原方程,得得 设特解为设特解为60例例解解61解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例代入原方程代入原方程,得得所以设特解为所以设特解为62注意：注意：现即现即即得即得这样比代入原方程要简便得多。这样比代入原方程要简便得多。解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例所以设特解为所以设特解为63训练：求下列微分方程的通解训练：求下列微分方程的通解解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得64解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得65解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得66可以证明，方程可以证明，方程(2)具有如下形式的特解：具有如下形式的特解：67解解例例所求所求通解通解为为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 68解解例例所求所求通解通解为为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 69训练训练解解对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为 所以设特解为所以设特解为70第五节第五节 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 微分方程刻划了自变量微分方程刻划了自变量 x 是是连续连续变化的过程中变变化的过程中变量量 y 的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有的变化率，在现代科学技术和经济领域中，有些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列些自变量往往不是连续变化的，而是取一系列离散离散的值的值,例如按年、月、日等，此时要描述这种自变例如按年、月、日等，此时要描述这种自变量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。量是离散的变化关系就是本节要介绍的差分方程。显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但显然微分方程和差分方程是两类不同的方程，但它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类它们有许多共同点，因此与微分方程对照，采用类比的方法是学习差分方程有效的方法。比的方法是学习差分方程有效的方法。71(一一)差分概念差分概念 一阶差分一阶差分：三阶差分三阶差分：72一般地，一般地，k 阶差分阶差分定义为定义为例例1 173(二二)差分方程的一般概念差分方程的一般概念 定义定义74差分方程的解：差分方程的解：定义定义 若一个函数代入差分方程后若一个函数代入差分方程后，方程两方程两边边恒等恒等，则则称此函数称此函数为该为该差分方程的差分方程的解解。若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个数恰好等于差分方程的数恰好等于差分方程的阶阶数数，则则称称该该解解为为差分方程的差分方程的通解通解。差分方程差分方程满满足初始条件的解称足初始条件的解称为该问题为该问题的的特解特解。75第六节第六节 一阶和二阶常系数线性差分方程一阶和二阶常系数线性差分方程(一一)一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程标准形式标准形式 时有定义。时有定义。为为一阶常系数一阶常系数齐次齐次线性差分方程线性差分方程，否则，称为否则，称为一阶常系数一阶常系数非齐次非齐次线性差分方程线性差分方程。(1)(2)(2)称为称为(1)对应的对应的齐次线性差分方程。齐次线性差分方程。76(1)(2)不难证明，不难证明，(2)的通解为的通解为C为任意常数为任意常数.可以证明可以证明,一阶常系数线性差分方程的通解与一阶一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即有线性微分方程有相同的结构，即有 定理定理(一阶常系数线性差分方程通解的结构一阶常系数线性差分方程通解的结构)一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程(1)的通解可表示为的通解可表示为 77 当当 f(x)是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函是多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和差或乘积时，一般可用数以及它们的和差或乘积时，一般可用待定系数法待定系数法求求(2)的一个特解的一个特解.讨论三种情形：讨论三种情形：情形情形1 1情形情形2 2情形情形3 378例例1 1的通解的通解.解解代入方程得代入方程得 得特解为得特解为从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数.79代入方程得代入方程得 例例2 2的通解的通解.解解没有这样的特解。没有这样的特解。80例例2 2的通解的通解.解解代入方程得代入方程得 得特解为得特解为从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数.81系数系数 a 的取值的取值 82代入方程得代入方程得 例例3 3解解得特解为得特解为从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数.83代入方程得代入方程得 不存在这样的特解。不存在这样的特解。例例4 4解解84代入方程得代入方程得 例例4 4解解得特解为得特解为从而通解为从而通解为C为任意常数为任意常数.85d 与系数与系数 a 的关系的关系86代入方程得代入方程得 例例5 5解解得特解为得特解为通解为通解为C为任意常数。为任意常数。87 如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先如果所给差分方程不是标准形式的，必须首先把它化为把它化为标准形式标准形式才能应用上面给出的通解公式和才能应用上面给出的通解公式和选取特解的有关结论选取特解的有关结论.88(二二)二二阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程标准形式标准形式 时有定义时有定义.为为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性差分方程线性差分方程，否则，称为否则，称为二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性差分方程线性差分方程.(1)(2)(2)称为称为(1)对应的对应的齐次线性差分方程齐次线性差分方程.89二阶常系数二阶常系数齐次齐次差分线性方程解的性质差分线性方程解的性质1、方程、方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2、方程、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；的解；也是也是(2)的解的解.(称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解.定理定理1 1(2)90对应齐次方程对应齐次方程二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性差分方程解的性质线性差分方程解的性质1、方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任意一个解是解是(1)的解；的解；2、方程方程(1)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(2)的解的解。定理定理2 2那么方程那么方程(1)的通解为的通解为(1)(2)91二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性差分方程的线性差分方程的解法解法 代数方程代数方程(3)称称为为差差分方程分方程(2)的的特征方程特征方程,它的根称它的根称为为特征根特征根(或或特征值特征值).).(3)(2)92故它故它们线们线性无关性无关,因此因此(2)的通解的通解为为 (3)情形情形1 1 93情形情形2 2 则则特征方程特征方程(3)(3)有两个相等的有两个相等的实实根根 于是于是(2)的通解的通解为为 94情形情形3 3 可以证明可以证明,是是(2)的解，的解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(2)的通解的通解为为 则则特征方程特征方程(3)有一有一对对共共轭轭复根复根 其中其中95小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根96解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为97解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例3 398二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性差分方程的线性差分方程的解法解法(1)对应齐次方程对应齐次方程那么方程那么方程(1)(1)的通解为的通解为(2)问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解。的一个特解。用用待定系数法待定系数法求解。求解。99100解解已求出对应齐次方程的通解为已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为故原方程通解为例例4 4代入原代入原差分差分方程得方程得 101解解已求出对应齐次方程的通解为已求出对应齐次方程的通解为故原方程通解为故原方程通解为例例5 5代入原代入原差分差分方程得方程得 102解解所以对应齐次方程的通解为所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为故原方程通解为例例6 6代入原代入原差分差分方程得方程得 特征方程为特征方程为特征根为特征根为103解解所以对应齐次方程的通解为所以对应齐次方程的通解为故原方程通解为故原方程通解为例例7 7代入原代入原差分差分方程得方程得 特征方程为特征方程为特征根为特征根为104END105