第九章偏微分方程差分方法汇总.pdf

170第第 9 9 章章 偏微分方程的差分方法偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.19.1 椭圆型方程边值问题的差分方法椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.19.1.1 差分方程的建立差分方程的建立最典型的椭圆型方程是 PoissonPoisson（泊松）方程（泊松）方程 （9.1）Gyxyxfyuxuu),(),()(2222G 是 x,y 平面上的有界区域，其边界为分段光滑的闭曲线。当 f(x,y)0 时，方程（9.1）称为 Laplace(Laplace(拉普拉斯）方程拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 （9.2）),(yxu 第二边值条件 （9.3）),(yxnu 第三边值条件 （9.4）),()(yxkunu这里，n 表示 上单位外法向，(x,y),(x,y),(x,y)和 k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数 u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解 u(x,y)在区域 G 的一些离散节点（xi，yi）上的近似值 ui,j(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域 G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设 G=0 xa,0y0,B(x,y)Bmin 0,E(x,y)0。引进半节点,12121hxxii利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有,22121hyyii173)(2),1(),1(),()(),1(),(),(),1(1)(),21)(),21)(1),)(211211,211,211211hOhjiujiujixuhOhjiujiuAhjiujiuAhhOjixuAjixuAhjixuAxjiji对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程yuyuBy),(（9.10）hjijijijijijijijijijiGjijifuauauauaua),(),(,1,1,1,1,1,1,1,1其中 （9.11）jijijijijijijijijijijijijijijijijijiEBBhAAhaDhBhaDhBhaChAhaChAha,21,21,22,21,2121,221,221,221,221,1,2121,1,1,2121,1)()()2()2()2()2(显然，当系数函数 A(x,y)=B(x,y)=1,C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0 时，椭圆型方程（9.9）就成为 Poisson 方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。)(2221hhO9.1.29.1.2 一般区域的边界条件处理一般区域的边界条件处理前面已假设 G 为矩形区域，现在考虑 G 为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。考虑 Poisson 方程第一边值问题 （9.12）),(),(),(),(yxyxuGyxyxfu其中 G 可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,1,对区域 G 进行矩形网格剖分，见图 9-3。174 如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点正则内点，见图 9-3 中打“。”号者；如果一个节点 GG（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点非正则内点，见图 9-3 中打“.”号者。G记正则内点集合为，非正则内点集合为。显然，当 G 为矩形区域时，hGh成立。hhhhGG,在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式 hjijijijijijijiGjifuuuhuuuh),(,2121,1,1,22,1,121（9.13）在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。若非正则内点恰好是边界点，如图 9-4 中D 点，则利用边界条件可取 uD=(D)对于不是边界点的非正则内点，如图 9-4 中B 点，一般可采用如下两种处理方法。a.直接转移法直接转移法.取与点 B 距离最近的边界点（如图 9-4 中 E 点）上的 u 的值作为 u(B)的近似值 uB，即 uB=u(E)=(E)直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。b.线性插值法线性插值法.取 B 点的两个相邻点（如图 9-4 中边界点 A 和正则内点 C 作为插值节点对 u(B)进行线性插值175)()()()(21hOCuxxxxAuxxxxBuACABACBC则得到点 B 处的方程 ABCBxxuhAhhu,)(111线性插值法精度较高，为二阶近似。对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。9.29.2 抛物型方程的差分方法抛物型方程的差分方法本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。9.2.19.2.1 一维问题一维问题 作为模型，考虑一维热传导的初边值问题 （9.14）Ttlxtxfxuatu0,0),(22 （9.15）lxxxu0),()0,(（9.16）Tttgtlutgtu0),(),(),(),0(21其中 a 是正常数，都是已知的连续的函数。)()(),(),(21tgtgxtxf和现在讨论求解问题（9.14）-(9.18)的差分方法。首先对求解区域 G=0 xl,0tT进行网格剖分。取空间步长 h=l/N,时间步长=T/M,其中 N,M 是正整数，作两族平行直线 MkkttNjjhxxkj,1,0,1,0,将区域 G 剖分成矩形网格，见图 9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。176用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解 u(x,t)在每个节点（xj，tk）处的近似值。为简化记号，简记节点（xj，tk）),(kjkjtxuu=u(j,k)。利用一元函数的 Taylor 展开公式，可推出下列差商表达式 （9.17）)(),()1,(),(Okjukjukjtu （9.18）)()1,(),(),(Okjukjukjtu （9.19）)(2)1,()1,(),(2Okjukjukjtu （9.20）)(),1(),(2),1(),(2222hOhkjukjukjukjxu1.1.古典显格式古典显格式 在区域 G 的内节点(j,k)处，利用公式（9.17）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为)(),1(),(2),1(),()1,(22hOfhkjukjukjuakjukjukj其中。舍去高阶小项，就得到节点近似值（差分解）),(kikjtxff)(2hO所满足的差分方程kju （9.21）kjkjkjkjkjkjfhuuuauu21112显然，在节点(j,k)处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。)(2hO177现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补充上初始值和边界点方程，则得到 （9.22）MktgutguNjxuMkNjfruurruukkNkkjjkjkjkjkjkj,1,0),(),(1,2,1),(1,1,0,1,2,1)21(2100111其中称为网比网比。2har与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。对于差分方程（9.22），当第 k 层节点值已知时，可直接计算出第 k+1 层节点值。这kju1kju样，从第 0 层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。差分方程)(0ijxu（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式古典显格式。此外，在式（9.22）中，每个内节点处方程仅涉及 k 和 k+1 两层节点值，称这样的差分格式为双层格式双层格式。差分方程（9.22）可表示为矩阵形式 （9.23）011,1,0,uMkFAuukkk其中 rrrrrrrrA212121 TNTkkNkNkkkkTkNkkxxtrgffftrgfFuuu)(,),()(,),(),(11212211112.2.古典隐格式古典隐格式 在区域 G 的内节点(j,k)处，利用公式（9.18）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为)(),1(),(2),1()1,(),(22hOfhkjukjukjuakjukjukj178舍去高阶小项，则得到如下差分方程)(2hO （9.24）kjkjkjkjkjkjfhuuuauu21112它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。改写（9.24）式为便于)(2hO计算的形式，并补充上初始值与边界点方程，则得到 （9.25）MktgutguNjxuMkNjfuruurrukkNkkjjkjkjkjkjkj,1,0),(),(1,2,1),(,1,0,1,2,1)21(2100111与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第 k-1 层值已知时，1kju必须通过求解一个线性方程组才能求出第 k 层值，所以称（9.25）式为古典古典kju隐格式隐格式，它也是双层格式。差分方程（9.25）的矩阵形式为 （9.26）01,2,1,uMkFuBukkk其中 rrrrrrrrB212121向量同（9.23）式中定义。从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计,kkFu算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。3.Crank-Nicolson3.Crank-Nicolson 格式（六点对称格式）格式（六点对称格式）利用一元函数 Taylor 展开公式可得到如下等式179 )()1,(),(21)21,()(),()1,()21,(22222222OkjxukjxukjxuOkjukjukjtu使用这两个公式，在点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进)21,(kj一步离散二阶偏导数，则可导出差分方程 （9.27）2121121111112221kjkjkjkjkjkjkjkjkjfhuuuhuuuauu其截断误差为，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。这)(22hO个差分格式称为 Crank-NicolsonCrank-Nicolson 格式格式，有时也称为六点对称格式六点对称格式，它显然是双层隐式格式。改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到 （9.28）MktgutguNjxuMkNjfruurruruurrukkNkkjjkjkjkjkjkjkjkj,1,0),(),(1,2,1),(1,1,0,1,2,12)1(2)1(22100211111111它的矩阵形式为 （9.29）1,1,0,2,1,)()(0211MkuMkFuAIuBIkkk在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。4.4.RichardsonRichardson 格式格式利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为阶的差分)(22hO方程kjkjkjkjkjkjfhuuuauu2111122称之为 RichardsonRichardson 格式格式。可改写为 (9.32)kjkjkjkjkjkjfuuuruu2)2(21111180这是一个三层显式差分格式。在逐层计算时，需用到和两层值才能得到 k+11kjukju层值。这样，从第 0 层已知值开始，还须补充上第一层值，才1kju)(0jjxu1ju能逐层计算下去。可采用前述的双层格式计算。1ju除上述四种差分格式外，还可构造出许多逼近偏微分方程（9.14）的差分格式，但并不是每个差分格式都是可用的。一个有实用价值的差分格式应具有如下性质：（1）收敛性收敛性。对任意固定的节点（xj，tk）,当剖分步长时，差分解0,h应收敛到精确解 u（xj，tk）。kju（2）稳定性稳定性。当某一时间层计算产生误差时，在以后各层的计算中，这些误差的传播积累是可控制而不是无限增长的。理论上可以证明，在一定条件下，稳定的差分格式必然是收敛的。因此，这里主要研究差分格式的稳定性。作为例子，先考查 Richardson 格式的稳定性。设是当计算过程中带有误差kju时，按 Richardson 格式（9.30）得到的实际计算值。是理论值，误差kju。假定右端项的计算是精确的，网比，则满足kjkjkjuuekjf21rkje （9.31）)2(1111kjkjkjkjkjeeeee设前 k-1 层计算时精确的，误差只是在第 k 层点发生，即0j。01,0,00jjeeekjkjkj则利用（9.31）式可得到误差的传播情况，见表 9-1。表表 9-19-1 r=1/2r=1/2 时时 RichardsonRichardson 格式的误差传播格式的误差传播 j kj0-4j0-3j0-2j0-1j0j0+1j0+2j0+3j0+4k00000000k+1000-2000k+200-47-400k+30-617-2417-60k+4-831-6889-6831-8k+5-1049-144273-388273-14449-10181k+671-260641-10961311-1096641-26071 从表中看出，误差是逐层无限增长的。表中的计算虽然是就网比进行的，21r实际上对任何 r0 都会产生类似现象，所以 Richardson 格式是不稳定的。利用误差传播图表方法考查差分格式的稳定性虽然直观明了，但只能就具体取定的 r 值进行，并且也不适用于隐式差分格式。9.2.29.2.2 差分格式的稳定性差分格式的稳定性前节构造的几种双层差分格式都可以表示为如下的矩阵方程形式 （9.32）01uFHuukkk其中 H 称为传播矩阵传播矩阵。对于显格式 H=A,隐格式 H=B-1-1,六点对称格式 H=(=(I+B)-1-1 (I+(I+A)。一般的三层格式也可以转化为双层格式。为了讨论方便，设在初始层产生误差，且假定右端项的计算是精确的。用0kF表示当初始层存在误差时，由差分格式（9.32）得到的计算解，则满足ku0ku方程 （9.33）001uFuHukkk记误差向量，则满足方程kkkuu k （9.34）为初始误差01,2,1,kHkk定义定义 9.19.1 称差分格式（9.32）是稳定的，如果对任意初始误差，误差向量0在某种范数下满足k （9.35）000,0,kCk其中 C 为与 h,无关的常数。这个定义表明，当差分格式稳定时，它的误差传播是可控制的。从（9.34）式递推得到TkHkk0,0因此，差分格式稳定的充分必要条件是182 （9.36）TkCHk0,定理定理 9.39.3 （稳定性必要条件）（稳定性必要条件）差分格式稳定的必要条件是存在与 h,无关的常数 M,使谱半径 （9.37）MH1)(定理定理 9.49.4 （稳定性充分条件）（稳定性充分条件）设 H 为正规矩阵，即,则HHHH*（9.37）式也是差分格式稳定的充分条件。下面讨论几种差分格式的稳定性。为便于讨论，引进 N-1 阶矩阵 0110110110S这个特殊矩阵的特征值为 （9.38）1,2,1,cos2NjNjSj例例 9-19-1 古典显格式 此时 H=A=(1-2r)I+rS=(1-2r)I+rS。利用（9.38）式和三角函数公式，可求得 H 的特征值为 1,2,1),2(sin412NjNjrj为使稳定性条件式（9.39）成立，必须且只须。由于 H=A 为实对称矩阵，21r所以古典显格式稳定的充分必要条件是网比21r例例 9-29-2 古典隐格式 此时 H=B-1,B=(1+2r)I-rS。利用（9.38）式可求得 H 的特征值为 1,2,1,)2(sin41 12NjNjrj显然，对任意 r0，条件（9.37）成立。注意，H=B-1-1仍为实对称矩阵，所以古典隐格式对任何网比 r0 都是稳定的，称为绝对稳定绝对稳定。例例 9-39-3 六点对称格式 此时 H=(I+B)-1(I+A)，利用矩阵 A 和 B 的特征值可得到矩阵 H 的特征值为 1,2,1,)2(sin42)2(sin4222NjNjrNjrj183则对任意 r0,条件（9.37）成立。由于 A 和 B 均为实对称矩阵，且 AB=BA，则可验证 H 也是实对称矩阵。所以六点对称格式是绝对稳定的。习题九习题九9-1 试用五点差分格式求解 Poisson 方程的边值问题),(,0|),(,162222yxuGyxyuxu其中 G=-1x,y1。取步长 h=0.5 求解。9-2 试写出求解 Laplace 方程边值问题 40,0)3,(,4sin)0,(30,0),4(),3(),0(30,40,162222xxuxxuyyuyyyuyxyuxu的五点差分格式，取步长 h=1,并写出差分方程的矩阵形式。9-3 试用古典显格式求解热传导方程定解问题TttutuxxxxuTtxxutu0,0),1(),0(10),1(4)0,(0,10,22只计算 k=1,2 两层上的差分解，取网比 r=1/6,h=0.2。9-4 用古典隐格式求解热传导方程定解问题 3.00,0),1(),0(10,sin)0,(3.00,10,22ttutuxxxutxxutu取精确解为。2.0,1.0hxetxutsin),(29-5 导出求解热传导方程的差分格式 )2(1)1(11211kjkjkjkjkjkjkjuuuhuuuu的截断误差，并选取 使其达到二阶。181