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数列的通项与求和
一、 知识框架
（一）数列通项的求法

（二）数列求和的常用方法
1. 公式法
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．
3．分组求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．
5．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

二、 基础自测
1. 已知数列{}的前项和，则其通项 ；
2.已知数列＝ 。
3.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则
4. 设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为 11

5.已知等差数列的前n项和为，，则数列的前100项和
为

6.已知数列满足，，则= ．
三、典型例题
例1 求满足下列条件的数列的通项公式
（1）已知数列满足
（2）数列中，，
（3）已知数列满足
（4）已知数列前项和为,且
（5）数列中,设
（1）解:因为,得且.
所以.从而得.
（2）解:两边同除以得,令,则,,
从而.
故也适合.
（3）解:把两边同除以得,
令,则,且.
从而,
又也适合
所以.
（4）解:因为.

从而.故,又
所以.
（5）解:因为,所以,
令,有,则,所以.
从而.故.

例2 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点 (nÎN*) 均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有nÎN*都成立的最小正整数．
解：（Ⅰ）依题设，由又由得,,∴，所以，
当时，
当时，也符合，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴，
∴要使恒成立，只要，
又∵，∴只要，即，∴的最小整数为10

例3 已知数列满足.
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，求数列的前项和；
（3）若对任意，都有成立，求的取值范围.

解：（1）
（2）由，得，两式相减，得。
所以数列是首项为，公差为4的等差数列，
数列是首项为，公差为4的等差数列，
由。
所以.
① 当n为奇数时，则，
所以
=
②当n为偶数时，

综上
（3）由（2）知，，
①当n为奇数时，则，
由，得，
又n=1或3时，，
所以，解得
②当n为偶数时，，
由，得，
又n=2时，，
所以，解得，
综合①②，的取值范围是。

例4 数列的前n项和为，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立.
⑴若数列为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；
⑵若设数列的前ｎ项和为，求；
⑶若C=0，是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值.

解：⑴因为为等差数列，设公差为，由，
得，
即对任意正整数都成立．

所以所以．
⑵ 因为，所以，
当时，，
所以，即，
所以，而，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
于是．所以①，，②
由①②，
得．
所以．
⑶ 因为是首项为的等差数列，由⑴知，公差，所以．
而
，
所以，
所以，不超过的最大整数为．

四、 巩固提升
1.设数列是公比为2的等比数列，且，则

2．各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则 ．
3．已知数列满足，且，且，则数列的通项公式为 　　
4.在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于 512
5.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为 .
6.数列满足，则的前项和为 1830
7.已知数列满足：，用[x]表示不超过x的最大整数，则
的值等于 1
8．设是定义在R上的恒不为零的函数，对任意，都有，，若，且，则数列的前n项和为为
9.设表示正整数的个位数，，则数列的前项和等于 .2
10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数

可以推测的表达式,由此计算___________. 1000
11. 在数列中,已知且.
（1）记. 求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
解：（1）
即
又
故数列是以2为公差的等差数列.
（2）由（1）知

12设数列的前项的和为，已知.
⑴求,及；
⑵设若对一切均有，求实数的取值范围.
解：依题意，时，;时，.
因为，
时
所以
上式对也成立，所以
（2）当时，,当时，,
所以
，，数列是等比数列，
则
因为随的增大而增大，所以，
由得，所以或

3正项数列{an}的前项和{an}满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有
【答案】(1)解:由,得.
由于是正项数列,所以.
于是时,.
综上,数列的通项.
(2)证明:由于.
则.

.

14已知且令且对任意正整数，当时，当时，
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；
（3） 若对任意的正整数且求数列的通项公式.

解：⑴当时， 且，
所以，
又当时，且，
，
因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
⑵因为，所以，所以，

假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，
故，化简得，与题中矛盾，
故不存在，使得为等比数列．
⑶因为且，所以
所以
所以，
由⑴知，，所以

　，
，
所以，