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23.3.123.3.1面积、增长面积、增长率问题率问题1/49复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应经过解各种类型问题，才能对于这些步骤，应经过解各种类型问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题深刻体会与真正掌握列方程解应用题.实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程面积、体积问题面积、体积问题2/49 一一.复习引入复习引入 1 1直角三角形面积公式是什么？普通三角形面直角三角形面积公式是什么？普通三角形面积公式是什么呢？积公式是什么呢？2 2正方形面积公式是什么呢？正方形面积公式是什么呢？长方形面积公式又是什么？长方形面积公式又是什么？3 3梯形面积公式是什么？梯形面积公式是什么？4 4菱形面积公式是什么？菱形面积公式是什么？5 5平行四边形面积公式是什么？平行四边形面积公式是什么？6 6圆面积公式是什么？圆面积公式是什么？3/49探索探索1 1 (1)小明把一张边长为小明把一张边长为10cm10cm正方正方形硬纸板四面剪去个一样大小正形硬纸板四面剪去个一样大小正方形，再折合成一个无盖长方形方形，再折合成一个无盖长方形盒子盒子.4/49（1 1）假如要求长方体底面面积为）假如要求长方体底面面积为81cm81cm2 2，那么剪去，那么剪去正方形边长为多少？正方形边长为多少？若设剪去正方形边长为若设剪去正方形边长为xcmxcm，则长方体底面积可表示，则长方体底面积可表示 ，长方体高是，长方体高是 依据题意，可列出方程：依据题意，可列出方程：5/49（2 2）假如按表格数据要求，那么剪去正方形边长会发生什么）假如按表格数据要求，那么剪去正方形边长会发生什么样改变？折合成长方体体积又会发生什么样改变样改变？折合成长方体体积又会发生什么样改变?0.51.522.533.5440.5 6473.572 62.548 31.51616/49试一试试一试探索探索 在你观察到改变中，你感到折合而成长方体侧在你观察到改变中，你感到折合而成长方体侧面积会不会有最大情况？先在上面表格中统计下你面积会不会有最大情况？先在上面表格中统计下你得到数据，再以剪去正方形边长为自变量，折合而得到数据，再以剪去正方形边长为自变量，折合而成长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出对成长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出对应点看看与你感觉是否一致应点看看与你感觉是否一致7/49探索探索2 2要设计一本书封面要设计一本书封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面长宽百分正中央是一个与整个封面长宽百分比相同矩形比相同矩形,假如要使四面边衬所占面假如要使四面边衬所占面积是封面面积四分之一积是封面面积四分之一,上、下边衬等上、下边衬等宽宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应怎样设计四面应怎样设计四面围衬宽度围衬宽度?2721分析分析:这本书长宽之比是这本书长宽之比是9:7,9:7,依题知正中央矩形两依题知正中央矩形两边之比也为边之比也为9:79:78/49 解法一解法一:设正中央矩形两边分别为设正中央矩形两边分别为9xcm,7xcm9xcm,7xcm 依题意得依题意得解得解得 故上下边衬宽度为故上下边衬宽度为:左右边衬宽度为左右边衬宽度为:),(2332舍去不合题意-=x9/49 要设计一本书封面要设计一本书封面,封面长封面长2727,宽宽2121,正中央是一个与整个封面长宽正中央是一个与整个封面长宽百分比相同矩形百分比相同矩形,假如要使四面边衬假如要使四面边衬所占面积是封面面积四分之一所占面积是封面面积四分之一,上、上、下边衬等宽下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应怎样应怎样设计四面围衬宽度设计四面围衬宽度?27272121分析分析:这本书长宽之比是这本书长宽之比是9:7,9:7,正中央矩形两边之比也正中央矩形两边之比也为为9:7,9:7,由此判断上下边衬与左右边衬宽度之比也为由此判断上下边衬与左右边衬宽度之比也为9:79:710/49解方程得解方程得(以下请自己完成以下请自己完成)方程哪个根方程哪个根合乎实际意义合乎实际意义?为何为何?解法二解法二:设上下边衬宽为设上下边衬宽为9xcm9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm7xcm依题意得依题意得11/49例例1.1.学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长4040米、宽米、宽2020米长米长方形空地上计划新建一块长方形空地上计划新建一块长9 9米、宽米、宽7 7米长方形花圃米长方形花圃.（1 1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它面）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它面积比学校计划新建长方形花圃面积多积比学校计划新建长方形花圃面积多1 1平方米，请你给出平方米，请你给出你认为适当三种不一样方案你认为适当三种不一样方案.（2 2）在学校计划新建长方形花圃周长不变情况下，长方）在学校计划新建长方形花圃周长不变情况下，长方形花圃面积能否增加形花圃面积能否增加2 2平方米？假如能，请求出长方形花平方米？假如能，请求出长方形花圃长和宽；假如不能，请说明理由圃长和宽；假如不能，请说明理由.12/49解解:(1)(1)方案方案1 1：长为：长为 米，宽为米，宽为7 7米米;方案方案2 2：长为：长为1616米，宽为米，宽为4 4米米;方案方案3 3：长：长=宽宽=8=8米米;注：本题方案有没有数种注：本题方案有没有数种（2 2）在长方形花圃周长不变情况下，长方形花圃面）在长方形花圃周长不变情况下，长方形花圃面 积不能增加积不能增加2 2平方米平方米.由题意得长方形长与宽和为由题意得长方形长与宽和为1616米米.设长方形花圃长为设长方形花圃长为x x米，则宽为（米，则宽为（16-16-x x）米）米.13/49x x(16-(16-x x)=63+2)=63+2，x x2 2-16-16x x+65=0+65=0，此方程无解此方程无解.在周长不变情况下，长方形花圃面积不能增加在周长不变情况下，长方形花圃面积不能增加2 2平平方米方米14/49练习：练习：1 1、用、用20cm20cm长铁丝能否折成面积为长铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2矩形矩形,若能够若能够,求它长与宽求它长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.解解:设这个矩形长为设这个矩形长为xcm,xcm,则宽为则宽为 cm cm,即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=1,b=10,c=30,10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长铁丝不能折成面积为长铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2矩形矩形.15/49例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米米长方形场地上修筑若干条道路长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请并请全校同学参加设计全校同学参加设计,现在有两位学生各设计了一个方现在有两位学生各设计了一个方案案(如图如图),),依据两种设计方案各列出方程依据两种设计方案各列出方程,求图中道路求图中道路宽分别是多少宽分别是多少?使图使图(1),(2)(1),(2)草坪草坪面积面积为为540540米米2 2.(1)(1)(2)(2)16/49(1)(1)解解:(1)(1)如图，设道路宽为如图，设道路宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中其中 x=25 x=25超出了原矩形宽，应舍去超出了原矩形宽，应舍去.图图(1)(1)中道路宽为中道路宽为1 1米米.17/49 则横向路面面积为则横向路面面积为 ，分析：此题相等关系是矩形面积分析：此题相等关系是矩形面积减去道路面积等于减去道路面积等于540540米米2 2.解法一、解法一、如图，设道路宽为如图，设道路宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 .20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积重合部分是注意：这两个面积重合部分是 x x2 2米米2 2所列方程是不是所列方程是不是？图中道路面积不是图中道路面积不是米米2 2.(2)(2)18/49而是从其中减去重合部分，即应是而是从其中减去重合部分，即应是m m2 2所以正确方程是：所以正确方程是：化简得，化简得，其中其中 x=50 x=50超出了原矩形长和宽，应舍去超出了原矩形长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，道时，道路总面积为：路总面积为：=100(=100(米米2 2)草坪面积草坪面积=540=540（米（米2 2）答：所求道路宽为答：所求道路宽为2 2米米.()32 20 x+x-x2()32 2 20 2 22+-+-()32 20 100 -19/49解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，它面积大小不会改变图形经过移动，它面积大小不会改变”道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程轻易些道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程轻易些（目标是求出路面宽，至于实际施工，仍可按原图位（目标是求出路面宽，至于实际施工，仍可按原图位置修路）置修路）20/49横向路面横向路面:如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为:20 x20 x米米2 2草坪矩形长（横向）为草坪矩形长（横向）为:草坪矩形宽（纵向草坪矩形宽（纵向:）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即化简得：化简得：再往下计算、格式书写与解法再往下计算、格式书写与解法1 1相同相同.21/49练习：练习：1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米,长为长为3232米矩形耕地米矩形耕地,要修筑一样要修筑一样宽三条道路宽三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且相互垂直且相互垂直),),把耕把耕地分成六块大小相等试验地地分成六块大小相等试验地,要使试验地面积为要使试验地面积为570570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?22/49解解:设道路宽为设道路宽为x x米，米，化简得，化简得，其中其中 x=35 x=35超出了原矩形宽，应舍去超出了原矩形宽，应舍去.答答:道路宽为道路宽为1 1米米.则则23/49练习：练习：2.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,ABCD,AB=15m,BC=20m,四面外围围绕着四面外围围绕着宽度相等小路宽度相等小路,已知小路面积为已知小路面积为246m246m2 2,求小路宽度求小路宽度.A AB BC CD D24/49化简得，化简得，其中其中x=-20.5x=-20.5应舍去应舍去答答:小路宽为小路宽为3 3米米.解解:设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则25/49例例3.3.如图，有长为如图，有长为2424米篱笆，一面利用墙（墙最米篱笆，一面利用墙（墙最大可用长度大可用长度a a为为1010米），围成中间隔有一道篱笆长米），围成中间隔有一道篱笆长方形花圃方形花圃.设花圃宽设花圃宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S米米2 2，（1 1）求）求S S与与x x函数关系式函数关系式;（2 2）假如要围成面积为）假如要围成面积为4545米米2 2花圃，花圃，ABAB长是长是 多少米？多少米？26/49【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃宽，即花圃宽ABAB为为5 5米米27/49练习：练习：1.1.如图，用长为如图，用长为18m18m篱笆（虚线部分），两面靠墙篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形苗圃围成矩形苗圃.要围成苗圃面积为要围成苗圃面积为81m81m2 2,应该怎么应该怎么设计设计?28/49解解:设苗圃一边长为设苗圃一边长为xmxm,则则化简得，化简得，答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9 9米正方形米正方形.29/49 例例4 4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m750m，断面为等腰梯形，断面为等腰梯形渠道，断面面积为渠道，断面面积为1.6m1.6m2 2，上口宽比渠深多上口宽比渠深多2m2m，渠，渠底比渠深多底比渠深多0.4m0.4m （1 1）渠道上口宽与渠底宽各是多少？）渠道上口宽与渠底宽各是多少？（2 2）假如计划天天挖土）假如计划天天挖土48m48m3 3，需要多少天才能，需要多少天才能把这条渠道挖完？把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为为xmxm，则上口宽为（，则上口宽为（x+2x+2）m m，渠底为（渠底为（x+0.4x+0.4）m m，那么，依据梯形面积公式便可建模那么，依据梯形面积公式便可建模30/49解：解：（1 1）设渠深为）设渠深为xmxm 则渠底为（则渠底为（x+0.4x+0.4）m m，上口宽为（，上口宽为（x+2x+2）m m依题意，得：依题意，得：整理，得：整理，得：5x5x2 2+6x-8=0+6x-8=0 解得：解得：x x1 1=0.8m=0.8m，x x2 2=-2=-2（不合题意（不合题意,舍去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m2.8m，渠底为，渠底为1.2m1.2m答：渠道上口宽与渠底深各是答：渠道上口宽与渠底深各是2.8m2.8m和和1.2m1.2m；需要；需要2525天天才能挖完渠道才能挖完渠道31/491.1.如图，宽为如图，宽为50cm50cm矩形图案由矩形图案由1010个全等小长方形拼成，个全等小长方形拼成，则每个小长方形面积为【则每个小长方形面积为【】A A400cm400cm2 2 B B500cm500cm2 2 C C600cm600cm2 2 D D4000cm4000cm2 2A A32/492.在一幅长在一幅长80cm80cm，宽，宽50cm50cm矩形风景画四面镶一条金矩形风景画四面镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所表示，假如要色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所表示，假如要使整个挂图面积是使整个挂图面积是5400cm5400cm2 2，设金色纸边宽为，设金色纸边宽为x xcmcm，那么那么x x满足方程是【满足方程是【】A Ax x2 2+130+130 x x-1400=0 B-1400=0 Bx x2 2+65+65x x-350=0-350=0C Cx x2 2-130-130 x x-1400=0 D-1400=0 Dx x2 2-65-65x x-350=0-350=0B B80cm80cmxxxx50cm50cm33/493.3.如图，面积为如图，面积为30m30m2 2正方形四个角是面积为正方形四个角是面积为2m2m2 2小小正方形，用计算器求得正方形，用计算器求得a a长为（保留长为（保留3 3个有效数字）个有效数字）【】A A2.70m B2.70m B2.66m C2.66m C2.65m D2.65m D2.60m2.60mC Ca a34/49练习：练习：4 4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m35m，所，所围面积为围面积为150m150m2 2，则此长方形鸡场长、宽分别为，则此长方形鸡场长、宽分别为_35/49练习：练习：5.5.围绕长方形公园栅栏长围绕长方形公园栅栏长280m.280m.已知该公园面积为已知该公园面积为4800m4800m2 2.求这个公园长与宽求这个公园长与宽.36/49例例4.4.某工厂一月份产值是某工厂一月份产值是5 5万元万元,三月份产值三月份产值是是7.27.2万元万元,求月平均增加率是多少求月平均增加率是多少?解解:设月平均增加率为设月平均增加率为X,X,依题意依题意,得得 5(1+X)2=7.2 (1+X)2=1.44 1+X=1.2 所以所以X1=0.2,X2=-2.2 答答:月平均增加率为月平均增加率为20%.20%.因为增加率不可能为负因为增加率不可能为负.所以所以X X2 2=-2.2=-2.2不不符合题意符合题意,舍去舍去.37/4911两年前生产两年前生产 1 1吨甲种药品成本是吨甲种药品成本是64006400元元,伴随生伴随生产技术进步产技术进步,现在生产现在生产 1 1吨甲种药品成本是吨甲种药品成本是36003600元元,求甲种药品成本年平均下降率较大求甲种药品成本年平均下降率较大?解解:设甲种药品成本年平均下降率为设甲种药品成本年平均下降率为x 依题意得依题意得解方程解方程,得得答答答答:甲种药品成本年平均下降率为甲种药品成本年平均下降率为25%.38/49小结小结 类似地类似地 这种增加这种增加(降低降低)率问题在率问题在实际生活普遍存在实际生活普遍存在,有一定模式有一定模式若平均增加若平均增加(或降低或降低)百分率为百分率为x,增加增加(或降低或降低)前是前是a,增加增加(或降低或降低)n次后量次后量是是b,则它们数量关系可表示为则它们数量关系可表示为其中增加取其中增加取+,降低取降低取39/49练习练习:1.某校去年对试验器材投资为某校去年对试验器材投资为2万元万元,预计今明两年投资总额为预计今明两年投资总额为8万元万元,若设若设该校今明两年在试验器材投资上平均该校今明两年在试验器材投资上平均增加率是增加率是x,则可列方程则可列方程为为 .40/49 2.某某经经济济开开发发区区今今年年一一月月份份工工业业产产值值达达5050亿亿元元，第第一一季季度度总总产产值值达达175175亿亿元元，问问二二、三三月月份份平平均均每每个个月月增增加加率率为为多多少少？设设平平均均每每个个月月增增加加率率为为x x，依依据据题题意意得得方方程程：_ _ 50+50(1+x)+50(1+x)2=17541/493.为了绿化学校附近荒山，某校初三为了绿化学校附近荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了棵已知这些学生在初一已成活了棵已知这些学生在初一时种了时种了400棵，若平均成活率棵，若平均成活率95%，若设这个年级两年来植树数平均若设这个年级两年来植树数平均年增加率为年增加率为x，则可列方程为，则可列方程为 42/494.美化城市，改进人们居住环境已成为城市建设一项主要内容。某城市近几年来经过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等办法，使城区绿地面积不停增加（如图所表示）。（1）依据图中所提供信息回答以下问题：20底绿地面积为 公顷，比年底增加了 公顷；在，年，20这三年中，绿地面积增加最多是 _年；（2）为满足城市发展需要，计划到20底使城区绿地面积到达72.6公顷，试求20,20两年绿地面积年平均增加率。60443/49解：设,年两年绿地面积年平均增加率为x，依据题意，得 60(1x)272.6 解得：x1=0.1=10%,x2=2.1(不合题意,舍去)答：,年两年绿地面积年平均增加率为10%44/495.长春市政府考虑在两年后实现市财政长春市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净净收入翻一番，那么这两年中财政净收入平均年增加率应为多少？收入平均年增加率应为多少？翻一番，即为原净收入翻一番，即为原净收入2倍倍 解：设这两年中财政净收入平均年解：设这两年中财政净收入平均年增加率为增加率为x，原财政净收入为，原财政净收入为a元，则元，则翻一番后财政净收入为翻一番后财政净收入为2a元元.依据题意得：依据题意得：a(1+x)2=2a辅助未知数辅助未知数45/496.党十六大提出全方面建设小康社会，加紧推进社会主义当代化建设，力争国民生产总值到20比年翻两番，在本世纪头二十年（20至20），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值平均增加率为x，那么x满足方程为_(1+x)2=446/49 7.北京市政府为迎接奥运会,决定改进城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,将城市绿地面积增加44%,求这两年平均每年绿地面积增加率A(1+x)2=A(1+44%)47/49课堂小结列一元二次方程解应用题步骤与列一元一次方程解应用列一元二次方程解应用题步骤与列一元一次方程解应用 题步骤类似，即审、设、列、解、检、答题步骤类似，即审、设、列、解、检、答这里要尤其注意这里要尤其注意:在列一元二次方程解应用题时，因为所在列一元二次方程解应用题时，因为所得根普通有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题得根普通有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题要求要求 48/49习题23.3 第1,2,3,4题.作业作业49/49
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