微分的概念(课堂PPT).ppt

一、微分的概念一、微分的概念5.5 5.5 微微 分分 若在有限增量公式 中删去高阶无穷小量项 关于 的一个线性近似式,这就是“微分”;其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分三、高阶微分 二、微分的运算法则二、微分的运算法则导数.所以,微分和导数是一对相辅相成的概念.1微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的数数.如果给边长如果给边长 x 一个增量一个增量 ,正方形面积的增量正方形面积的增量 的线性部分的线性部分 和和 的高阶部分的高阶部分()()2.因因此此,当边长当边长 x 增加一个微小量增加一个微小量 时时,可用可用一、微分的概念一、微分的概念 由两部分组成由两部分组成:设一边长为设一边长为 x 的正方形的正方形,它的面积它的面积 S=x 2 是是 x 的函的函线性部分线性部分,请先看一个具体例子请先看一个具体例子.2 的线性部分来近似的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量的高阶无穷小量 ,即以即以 为边长的小为边长的小 正方形正方形(如图如图).).3可以表示成可以表示成定义定义 5 设函数设函数 如果增如果增量量可微可微,并称并称 为为 f 在点在点 处的微分处的微分,记作记作其中其中 A 是与是与 无关的常数无关的常数,则称函数则称函数 f 在点在点由定义由定义,函数在点函数在点 处的微分与增量只相差一个处的微分与增量只相差一个关于关于 的高阶无穷小量的高阶无穷小量,而而 是是 的线性函数的线性函数.4于是于是 定理定理 1 函数函数 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是 在在点点 可导可导,且且证证(必要性必要性)如果如果 在点在点 可微可微,据据(1)式有式有更通俗地说更通俗地说,是是 的线性近似的线性近似.5即即 在点在点 可导可导,且且(充分性充分性)设设 在点在点 处可导处可导,则由则由 的有限增量的有限增量公式公式 说明函数增量说明函数增量 可可且且表示为表示为 的线性部分的线性部分 ,与关于与关于 的高的高阶无穷小量部分阶无穷小量部分 之和之和.所以所以 在点在点 可微可微,微分概念的几何解释微分概念的几何解释,示于下图示于下图:6它是点它是点 P 处切线相处切线相 在点在点 的增量为的增量为 而微分是而微分是应于应于 的增量的增量.当当 很小时很小时,两者之差两者之差 相比于相比于将是更小的量将是更小的量(高阶无穷小高阶无穷小).).更由于更由于7故若故若 则得到则得到 的高阶无穷小量的高阶无穷小量.若函数若函数 在区间在区间 上每一点都可微上每一点都可微,则称则称 是是 上上它既依赖于它既依赖于 ,也与也与 有关有关.的的可微函数可微函数.8(4)式的写法会带来不少好处式的写法会带来不少好处,首先可以把导数看首先可以把导数看 所以导数也称为所以导数也称为微商微商.更多的好处将体现在后面更多的好处将体现在后面习惯上喜欢把习惯上喜欢把 写成写成 ,于是于是(3)式可改写成式可改写成这相当于这相当于 的情形的情形,此时显然有此时显然有 (5)积分学部分中积分学部分中.成成函数的微分与自变量的微分之商函数的微分与自变量的微分之商,即即9例例110由导数与微分的关系由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则可方便得出微分运算法则:故运算法则故运算法则 4 又可以写成又可以写成二、微分的运算法则二、微分的运算法则11解解它在形式上与它在形式上与(4)式完全一样式完全一样,不管不管 是自变量还是自变量还例例2 求求 的微分的微分.立立.这个性质称为这个性质称为“一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性”.是中间变量是中间变量(另一个变量的可微函数另一个变量的可微函数),上式都成上式都成12的计算中的计算中,用了一阶微分形式不变性用了一阶微分形式不变性.例例3 求求 的微分的微分.解解13三、高阶微分三、高阶微分或写作或写作称为称为 f 的的二阶微分二阶微分.则当则当 f 二阶可导时二阶可导时,dy 关于关于 x 的微分为的微分为若将一阶微分若将一阶微分 仅看成是仅看成是 的函的函数数,注注 由于由于 与与 x 无关无关,因此因此 x 的二阶微分的二阶微分 三者各不相同三者各不相同,不可混淆不可混淆.14当当 x 是中间变量是中间变量 时时,二阶微分二阶微分依次下去依次下去,可由可由 阶微分求阶微分求 n 阶微分阶微分:对对 的的 n 阶微分均称为高阶微分阶微分均称为高阶微分.高阶微分不高阶微分不具有形式不变性具有形式不变性.当当 x 是自变量时是自变量时,的二的二阶微分是阶微分是为为15例例4解法一解法一不一定为不一定为 0,而当而当 x 为自变量时为自变量时,它比它比(6)式多了一项式多了一项当当时时,由由(6)得得16解法二解法二 依依(7)式得式得如果将如果将漏掉就会产生错误漏掉就会产生错误.17四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算函数值的近似计算(9)式的几何意义是当式的几何意义是当 x 与与 x0充分接近时充分接近时,可用点可用点故当故当 很小时很小时,有有 由此得由此得记记 ,即当即当 时，时，(8)式可改写为式可改写为18公式公式(9)分别用于分别用于sin x,tan x,ln(1+x),ex(x0=0),例例5 试求试求 sin 33o 的近似值的近似值(保留三位有效数字保留三位有效数字).解解 由公式由公式(9)得到得到 处的切线近似代替曲线处的切线近似代替曲线,这种线性近这种线性近可得近似计算公式可得近似计算公式(试与等价无穷小相比较试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题似的方法可以简化一些复杂的计算问题.192.误差的估计误差的估计设数设数 x 是由测量得到的是由测量得到的,y 是由函数是由函数 经过经过果已知测量值果已知测量值 x0 的误差限为的误差限为 ,即即算得到的算得到的 y0=f(x0)也是也是 y=f(x)的一个近似值的一个近似值.如如差差,实际测得的值只是实际测得的值只是 x 的某个近似值的某个近似值 x0.由由 x0 计计计算得到计算得到.由于测量工具精度等原因由于测量工具精度等原因,存在测量误存在测量误20例例6 设测得一球体直径为设测得一球体直径为 42cm,测量工具的精度测量工具的精度则当则当 很小时很小时,量量 y0 的绝对误差估计式为的绝对误差估计式为:相对误差限则为相对误差限则为而而 的的为为 y0 的绝对误差限的绝对误差限,为为 0.05cm.试求以此直径计算球体体积时引起的试求以此直径计算球体体积时引起的21解解 以以 d0=42,计算的球体体积和误差估计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限绝对误差限和相对误差限.计分别为计分别为:.22