电动力学Laplace-equation拉氏方程完全解读.pptx

数学表述以下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外)(在两种绝缘介质分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向 )或惟一性定理指出,满足以上定解问题电势解就是区域V 中静电场分布惟一解.复习复习1/27b）数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)（待定）或a）数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)或2/272.3 拉普拉斯方程，分离变量法拉普拉斯方程，分离变量法Laplaces equation,method of separate variation 3/27基本问题：电场由电势描述基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程电势满足泊松方程+边界条件边界条件只有在界面形状是比轻简单几何曲面时，这类只有在界面形状是比轻简单几何曲面时，这类问题解才能以解析形式给出，而且视这体情况问题解才能以解析形式给出，而且视这体情况不一样而有不一样解法不一样而有不一样解法本节和以下几节我们研究几个求解解析方法本节和以下几节我们研究几个求解解析方法详细工作：解泊松方程详细工作：解泊松方程4/27在许多实际问题中，静电场是由带电在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定导体决定比如比如l电容器内部电场是由作为电极两个导体电容器内部电场是由作为电极两个导体板上所带电荷决定板上所带电荷决定l电子光学系统静电透镜内部，电场是由电子光学系统静电透镜内部，电场是由分布于电极上自由电荷决定分布于电极上自由电荷决定这些问题特点：自由电荷只出现在一些导体表面这些问题特点：自由电荷只出现在一些导体表面上，在空间中没有其它自由电荷分布上，在空间中没有其它自由电荷分布5/27选择导体表面作为区域选择导体表面作为区域V边界，边界，V内部自由电荷密度内部自由电荷密度0，泊，泊松方程化为比较简单拉普拉斯松方程化为比较简单拉普拉斯方程方程它通解能够用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标它通解能够用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中含有对称轴，取此轴为极轴，这中、并若该问题中含有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为种情形下通解为所以剩下问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系所以剩下问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件特解。确定常数，得到满足边界条件特解。6/27利用边界条件定解利用边界条件定解说明两点：第一，假如考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个对应Laplaces equation.第二，在每个区域交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体总电荷7/273、举例说明定特解方法举例说明定特解方法例例3 P68 半径为R0导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上电荷面密度。8/279/27例例1 P64一个内径和外径分别为R2和R3导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1导体球（R1R2)，使半径R1导体球接地，求空间各点电势和这个导体球感应电荷。QR1R2R3Solution:第一步：分析题意，找出定解条件。依据题意，含有球对称性，电势不依赖于极角 ，只与半径r相关。10/27即故定解条件为：边界条件：(i)因为导体球接地，有(ii)因整个导体球壳为等势体，有QR1R2R311/27(iii)球壳带电量为Q，依据Gauss theoremQR1R2R3第二步，依据定解条件确定通解和待定常数不依赖于，取 ,故得到导体球壳内、外空间电势：12/27从而得到QR1R2R313/27QR1R2R314/27令所以得到：15/27导体球上感应电荷为QR1R2R316/27zR例例2 P66 介电常数为均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。Solution:第一步：第一步：依据题意，找出定解条件。因为这个问题含有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷。所以电势 满足Laplaces equation。以 代表球外区域电势，代表球内区域电势，故17/27 18/27第二步：第二步：依据定解条件确定通解和待定常数 由（2）式得比较两边系数，得19/27由（6）式得从中可见故有：20/27再由 得:21/27比较 系数，得22/27由此得到电势为23/27zryx其中24/27第一步：分析题意，找出定解条件。第一步：分析题意，找出定解条件。第二步：写出通解第二步：写出通解分离变量法基本步骤：分离变量法基本步骤：第三步：依据定解条件确定待定常数第三步：依据定解条件确定待定常数总结本节课内容总结本节课内容26/27作业：书本作业：书本P93 习题习题227/27