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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 P(x0,%)及斜率，其求法为：设P(%九)是曲线y=/(x)上的一点，则以P的切点的切线 方程为：为=/(%)(工-/)若曲线y=/(x)在点P(“/(%)的切线平行于y轴(即导 数不存在)时，由切线定义知，切线方程为工=%.下面例析四种常见的类型及解法.类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数尸(幻，并代入点斜式方程即可.例1曲线 =三_3/+1在点(1,1)处的切线方程为()A.y=3x-4 B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=Ax-5解：由 o At A t-t例1.已知自由落体的运动方程为 S=；g产.求(1):落体从到%+加这段时间内的平均速度V.(2)：落体在时的瞬时速度。解(1)v s=-gt2,so)=；g%2,/0+A。=；g(%+A厅.二 As=so+4)-3(%)=5且(%+A，?-21 2 A 1 z A 2 1 2-劭)i 7:.As=gt0At-g(Aty.平均速度 v=-|=gr0+-gAr.(2)：落体在。时的瞬时速度。瞬时速度只=limLr0+-0(2A t0g(3.切线的斜率设有一连续函数y=/(x),则平均变化率丝是指曲线y=/(%)上的 AxHEAl-L-I I.即切两点的割线的斜率Ay:/(一Ax当Ax 0时，显(如果存在)lim定 Ax90杰:瞥范矗惟矗翻矗生点尸(见/)的切线心的斜 图3.2例2.求曲线y=Y在点MJ)处的切线斜率和切线方程解：先计算从点尸(1,1)到邻近任意点e(l+Ax,/(l+Ax)的平均变化率Ay J(l+Ax)T=(l+AxfAx Ax Ax=3Ax+3(y+(Ax)3=3+3Ax+)2.故曲线y=x3在点P(l,l)处一的切线斜率冽应为m=lim =lim 3+3Ax+(Ax)2 =3.A%-0 x Ax-0而过点尸(L 1)的切线方程为y-1=3(-1).即 y=3x-2.思考题 如果上题中改为求返点尸。2)的切线，此时要验证点是否在曲 线上。然后求出切点(x,y),再用点斜式求出切线方程，此时个能 有左、右两条切线。对一般曲线y=/(x),既使点PQZO在曲线上，如 果求在点P处的切线，则切线可能有1条、2条、3条。由上面的例题可以看出，平均变化率的极限可以给出不同的解释。一个是作为变速直线运动在某一时刻的瞬时速度，一个是看作曲线上某 一点的切线的斜率。其实这个量lim”或lim/()-()(其中 AxfOAx Xfa x ax=a+Ax)在各个不同领域中可以有许多不同的解释。数学上给它一个特殊的名称，叫做函数y=/(x)在点X=Q处的导数。4.导数的定义定义 设函数y=/(x)在点五的某个邻域内有定义，当自变量在点X。处取得改变量Ax(。0)时，函数y=/(x)取得相应的改变量y=/(x+Ax)-f(x).如果当-0时，改变量的比 电 的极限存在，即lim包=的必空WAx-O Ax Ax存在，则称此极限值为函数y=/(x)在点x。处的导数(或叫微商)。记作/(匕)，了 L1,，或，/(、)dx10 dx 0包是无从犬到X+的平均变化率，而M、)=lim”则称函数在点九 处的变化率。可见导数是函数在一点处的局部性质。如果/(%)在点/处有导数，则称x 在点X。处可导，否则称/（X）在点处不可导。如果/（X）在某区间 a,b 内每一点都可导，则称/（X）在（。内可导.设/（X）在（Q,Z?内可导，则对于区间（0,3内每一点X都对应一*Is导 数值，因此就定义了33内的一个新函数，称为导函数，简称为导数,记作尸 x,牛,-J-/Wax ax利用导数的符号，瞬时速度就是路程s对时间，的导数，即？=包.而 dt曲线y=小）在点x处的切线斜率应为/x.而过点（x,y。）的切线 方程应为-0=:（,）（一 0）.当lim包 是+8或-00（此时极限不存在，故导数不存在）在几何上-Ax则表示曲线在点X。处有一条垂直的切线。（所以“曲线函数在此点的导数不存在,则曲线在此点就没有切线”的说法是错误的）。例3.求线性函数 y=ax+b 的导数。解求导数的步骤是：1 计算函数的相应的改变量Ay=/(九+Ax)/(x)=Q(JT+Ax)+b_元+同=Ax.(2)计算改变量的比值包=四=。Ax Ax(3)求极限 lim =lima=a.:.yr=a.即 Ax0 Ax0(QX+6)=a.例4求的导数。解=/(&)-4)=士=太My*一1占y，二 lim 二 lim 彳 -r-即“AX-OAX&x(x+Ax)J x例5.求y=C的导数，并算出W一解 Ay=4c-C,”=也运用(2”型)Ax Ax 0,1.Ay 1.Jx+Ax-4xy=lim 二 lim-o Ax 0 Ax啊6+9+即(A/X)=(%2y=gx 2 因此 y(=12前面所采用的导数定义是如下形式y=r(%):lim.,1%=%。J A%-0 但有时为方便，也可以换一种形式：若记k=h,则有N=/(%)=lim/U+M-/U).，l%=%0 J -0 k另外一种形式是：若令Ax=x-x0,即x=x0+Ax,则有 yL=/Q)=lim/(x。).x一与 X X0以下要点|1.左导数，右导数2.分段点处导数要用定义求例6.用定义讨论函数/(%)=卜sin 0在点.0处的 0连续性与可导性。解lim/x =lim%sin-0=/（0）,故知/%在%=0处连续。因为在点%0%0 JQx0=O处函数的改变量Ay=/（0+Ax-/（0）=Axsin0=Zbcsin.“Ax AxA.1A Ax-sm/.lim =lim-=lim sin一（不存在，上下振荡）。AX-O Ax 加Ax 一。Ax所以/在x=0处不可导。此例说明/在七处连续未必可导。*思考题讨论二？/（%）=桁5*在点x=0处（1）连续；（2 0,可导；（3 广连续。（答 1:n 0;2:n 1;3:n 2*例 设小卜E）旧，9（0）=必0）=0,求广（0）.解/，（。”.以正幽二小也吵上0%X%0 xr 9（x 1*0（x 9（0）1=lim cos =lim cos 其中 lim 4口一=910）=0,而 cos 1 X X/.尸 o =lim。-cos=0.%一。x x5.左，右导数的概念定义 设函数y=/（%）在犬。的某邻域内有定义，如果Umo+M-/U）心一0一 A%存在，则称此极限值为函数y=/x 在x。点处的左导数。记作/_ x0.如果lim/k。+角）一/（/）存在,则称此极限值为函数y=/x 在餐点处 Ax%A%的右导数。记作/+（%）由极限的性质可知，当且仅当在X。点处的左导数，右导数都存在且相 等时，函数在该点才是可导的。所以函数/（X）在 2们上可导，是指/x 在开区间（。内处处可导，且存在 a 与仅）.在求分段函数在 分段点处的导数时，就需要研究分段点处的左，右导数。例8.设/x =5f求/，.5 T X2解（去掉绝对值符号）n/x=1 x=2,x=2是分段点。5 2r X 0一 Ax令 贝lj log5 1+y =-x-log5 5=-Ax.limAxf(r5-1Axy 1lim-r=lim-o_iog5(l+y)iog5(1+j)-1 log5e1Ine-ln5.In 5同理-r/(2+Ax)-/(2)r 5-1 一f+(2)=lim-=lim-=ln5.Axf 0+Ax Ax-o+Ax故(2)w尸不存在，因此f(x)在x=2处不可导。例9.讨论函数y=/(%)=忖=%-在0处的连续性与可导一兀 x 0.性。A/-解连续性：/(o)=o.W 一.lim f(x)=limlxl=0.lim f(x)=limlxl=0.图 3.3lim/(x)=lim|x|=0./.lim|x|=/(0)=0.y=忖在 x=0 处连续。可导性：/(o)=lim =lim =lim 区=lim 心=一1.Axo-Ax 0一 Ax.f 一 Ax 0一 Ax,，/八、.Ay|Ax|-|0|I Ax I Axf+0)=lim =lim J一!=lim JL=lim=1.Axf 0+Ax Axf o+Ax Axf o+Ax-+Ax.(o)w(o),故/(x)在x=0处不可导。此例再一次说明函数在某点连续，未必在该点可导。6.可导必连续定理 如果/(X)在点X。处可导，则它在该点必连续。证,y=/(x)在点/可导，lim =f 1(x0).由 Ay=Ax,可知 一。Ax Axlim Ay=lim(Ax)=lim-lim Ax=/14)()=0AxfO AxfO x A%一0 4元 AxfO 即y=/3在点/处连续。根据此定理，如果已经判断出函数在某一点不连续，则立即可以得出 函数在该点不可导的结论。例10.讨论函数/(、)=x-1 2x x2+lx+4 12xQ 0 xl 1 x 2 2 x在分段点x=O,x=l及x=2处的连续性与可导性。解(1)在点x=0处lim f(x)=lim(x-l)=-1.lim f(x)=lim 2x=0.%01%CT%0+。+lim f(x)lim/(x),lim/(x)不存在；%0一%o+%o故/(x)在x=0不连续，从而/(x)在X=O处也不可导。(2)在点光=1处lim/(x)=lim2x=2.lim/(x)=lim(x2+1)=2.%广%1+%1+且/(1)=2lim/(x)=/(1)=2.因此在犬=1处连续。进一步研究在=1处的可导性，因为X=1是分段点，所以要考虑/(1+Ax)-/(1)2(1+Ax)-2 2 Ax./_(1);lim-lim-L 二 hm-:2.AxO-Ax AxfCT Ax ArfCT A%/；(1)=lim 川+编T(D=lim+=lim 2AX+&1.Axfo+Ax Ax-0+Ax Arf(T A%f(1)=(1)=f(1)=2.故/在=1处可导,且广=2.在点九=2的连续性:lim f(x)=lim(x2+11=5.lim f(x)=lim x+4=5.一 2-，-2-)一 2+八，2+(2)而/=5.,.lim/(x)=5=/，故/(x)在点x=2是连续的。再讨论可导性：/(2)=Hm/(2+M-/(2)=Hm(2+M2+l-5=小心+(-=4.AxO-Ax&.0-Ax AxO-Axf；(2)=lim/(2+8)/二 lim 二 AxfO+Ax AxfO+；(2+Ax)+4-5Ax Ax=lim Axfo+Ax2f“,故一不存在,即/(x)在犬=2处不可导。由上可知，在讨论分段点的连续性和可导性时，一般来说，都要先考 虑其左，右极限和左，右导数。附加例题 设。和人是常数，bQ,定义/(、)=0,x=0.求广(0)，其中 a=l-b.ff(O)=/=lim%-0fW-f(o)xlimx-sin()=lim xb sin(x)=0.%-o+本周作业:P.112.2(1,3),3,5(2,6,7);6(3,4,6,7,8,10,11,12,14,23,)2006.10.26(1)解答放在一班杜鹏同学那里。欢迎查看。(2)书 p.96 定理 2.1.1 o f(x)G。1见+00).(3)“数学之美”改在11月3日(周5)下午4点，于(东校门内)综合实验楼一楼报告厅。两个例题:*例 设于(X)在(-00,+00)上有定义，在 o,2 上/(x)=x(x2-4),若Vx者B有 f(x)=kf(x+2),其中一为常数.(1)写出在-2,0)内的表达式；(2)问人=?“X)在x=0处可导。解(1)当-2 4%0,即 0 x+20+X 10+X,，仆 r/(x)-/(0)kxx+2)(x+4)月(0);lim 一LL=lim -二 8k,%0-x 一 x故左=-g,/(x)在处可导，且尸(0)=-4.*例/(%)在(0,+oo)内可导,/(x)0,lim%)=L%+00且满足求lim”廉M=/，求/(x).2 小)解 设丁=/(元+力犬)；贝|jny=J_n止3,因为/h/(%)1 1.L/(x+/zx)xln f(x+/z x)-In/(x)rl 型、,士分lim In y=hm In =lim L 7 v 7，力=%nn 故D/(x)D hx网“=e 41n/(%)，.由已知条件得5/(X)1e/(%)=e，因此xlnx)=L 即ln/a)=,x x_i _1 _1角早出(?)ln/(x)=-i-c1?/(x)=eCie x=ce x.由 lim/(x)=1,得 c=l.故 X+8_ 1%)=e%.We i erstrass 曾举一例：00/(x)=21an cos(b办),n=03 3其中 odd number,abl-or ab l-(1 一 Q).处处连续处处不可导。导数【本章学习目标】本章章头图是由一幅超级市场饮料货架的照片和一幅圆柱形图象组成.与图相配，引言 给出了一个实际问题：当圆柱形金属罐的容积一定时，怎样选取圆柱形罐的尺寸，能使所用 材料最省?这可以归纳为求一个函数的最大(小)值的问题.在日常生活、生产和科研中，类似的问题大量存在，一般来说，这些问题是可以用初等 方法来解决的，但更有效、更简洁的工具还是微积分.另外利用微积分还可以解决曲线的切 线问题，物体运动的瞬时速度及方向等问题.本章主要内容有：(1)导数的概念.(2)几种常见函数的导数.(3)函数的和、差、积、商的导数.(4)复合函数的导数.(5)对数函数与指数函数的导数.(6)微分的概念与运算.(7)函数的单调性.(8)函数的极值以及函数的最大值与最小值.本章的重点是：1.导数的概念及导数的几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的应用.本章的难点是：1.导数概念的理解.2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.【基础知识导引】1.了解曲线的切线的概念.2.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.3.了解导数的概念，并能利用导数定义求导数.4.了解导数的几何意义.【教材内容全解】1.曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆 的切线，惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一 段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的.如图3-1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线尸sinx.直线乙与曲线C有惟一公共点M,但我们不能说直线与曲线C相切；而直线乙尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线乙是曲线C在点N处的切线.因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切 线的定义.所以课本PUO利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.2.瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指 出：运动物体经过某一时刻（或某一位置）的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.3.导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以 此为依据.对导数的定义，我们应注意以下三点：金是自变量X在X。处的增量(或改变量).导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果8-0时，包有极限，那么函数尸f(x)Ax在点与处可导或可微，才能得到f(X)在点与处的导数.(3)如果函数y二f(x)在点处可导，那么函数y二f(x)在点处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导.由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量 Ay=/(x0+Ax)/(x0)；(2)求平均变化率=+小)“/)；Ax Ax(3)取极限,得导数尸(%)=lim”。心f0 Ax4.导数的几何意义函数尸f(x)在点无。处的导数，就是曲线尸(x)在点P(%J(%)处的切线的斜率.由 此，可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点九0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,/(/)处的切线的斜 率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=/(%)(%/)特别地，如果曲线尸f(x)在点。(尤0，/(与)处的切线平行于丫轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x=%【难题巧解点拨】例1已知f(x)在x=a处可导，且f，(a尸b,求下列极限：(1)1加以”如gi；描/)7MfO 2h bhO h分析 在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，Ay也 必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在%=处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等 变形转化为导数定义的结构形式。解 limf(.+3/z)-f(.-/z)2h加(。+3%)一/()+/()/(%)小o2h2h ho 2h=3Hma+3，)-I him”MT2 3h2 5-h3 1=-fa)+-fa)=2b(2)1加。+叽14。+力？-/叫一5 h h=lim-乙上-lim/z=f(aYO=05 力2 J 点拨 只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价 变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例2(1)求函数y=4x在x=l处的导数；(2)求函数y=/+元+/7(、b为常数)的导数。分析 根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。解(1)Ay=Vl+Ax-lAy_Jl+Ax-1_ 1Ax Ax V1+Ax+1 r Ay _r 1 1-Ax zoJl+Ax+1 2,L=i=2(2)Ay=(x+Ax)2+a(x+Ax)+/?-(x2+x+b)=2x-Ax+(Ax)2+Q Ax,电二(2X+Q)AX+(AX)2 二+)+1Ax Axlim =lim=(2x+a)+Ax=2x+aAxf0 AY Ar.0:H=2x+a点拨应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。例3已知抛物线y=r-4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和12 0(1)求A、B两点的坐标；(2)求直线与I的夹角。分析理解导数的几何意义是解决本例的关键。解(1)由方程组y=九2 _4,xQ Axf 0=lim/(x1+Ax)-/(x0)+/(x0)=lim X。+、)-八/)&+小。)心.Ax=小。)+典也=f(x0)+limAxf 0/(4+Ax)-/(/)Ax lim AxArf 0=/(%oO+/(/)=/(%)函数f(x)在点x0处连续。点拨 函数f(x)在点/处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是:导数存在n连续n有极限。反之则不一定成立，例如尸冈在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。【课本习题解答】练习(P111)1.(1)切线的斜率为4；(2)切线方程为y=4x-2。2.切线方程为y=-4x-3。练习(P113)1.瞬时速度为10m/s(比较略)。2.瞬时速度为8m/s(比较略)。练习(P116)1.16.2 J%+43.切线方程y=4x-2。44.切线方程为y=x+8。习题 3.1(P116)1.速度为210m/s.2.速度为2.8m/s3.y2x-2,yx=2=2.14.yyl=o=T(If 5.(1)y=3x2；(2)y=limArf 0 _1_Jx+Ax CAx_ Hm C-Jx+Ax 2。Jx+AX6-Ax。Jx+Ax C(C+Jx+Ax)2x4x 06.切线方程为y=6x+l及y=2x+l.7.切线方程为y=8x-10.8.切线方程为y=-x+6.9.切线方程为y=15x+16.【同步达纲练习】一、选择题1.设函数f x 在与处可导，则lim/（%八元）一/（/）等于（）心.o AxA.尸（%）B./（一%）C./（一%）D.-f-x0 2.若 lim/+2Ax-a。）=i,则/%等于（）心一。3Ax2 3A.一 B.一 C.3 D.23 23.若函数f x 的导数为f，（x尸-sinx,则函数图像在点（4,f 4 处的切线的倾斜角 为（）A.90 B.0 C.锐角 D.钝角Ac4.一直线运动的物体，从时间t到t+Zt时，物体的位移为$,那么11111为（）4fo ArA.从时间t到t+Zt时，物体的平均速度B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为At时该物体的速度D.从时间t到t+Zt时位移的平均变化率5.对任意x,有尸（无）=4/,则此函数为（）A./x =x4 B./（X）=x4-2 C./x =x4+1 D./x =x4+26.设f x 在/处可导，下列式子中与/（%）相等的是（）Hm f(x0)-fU-2Ax)；心。2 Ax(2)(m/Oo+8)-/(/-8)Ax0 Ax 1血”与+2A一/+&)(4)1加o+)-/Oo-2Ax)。Ax-AxA.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)二、填空题7.若函数f(x)在点/处的导数存在，则它所对应的曲线在点(%,/(%)处的切线方程是 O8.已知曲线丁 二X+、，则yl=i=o y/X9.设/，()=3,则lim%：-3)=_。力一0 h10.在抛物线y=一上依次取两点，它们的横坐标分别为马=1,12=3,若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为 O三、解答题11.曲线/()=/在点A处的切线的斜率为3,求该曲线在A点处的切线方程。12.在抛物线=/上求一点p,使过点p的切线和直线3x-y+l=0的夹角为工。4x(x 0)13.判断函数/(%)=)在x=0处是否可导。,-x(x=，相切的直线方程。参考答案【同步达纲练习】一、选择题1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.B二、填空题7 y/(%)=/(%)(%)。9.-6。10.(2,4)o三、解答题11.由导数定义求得/(元)=3%2,令 3/=3,贝U x=lo当x=l时,切点为（1,1,所以该曲线在以，1 处的切线方程为yT=3 xT 即3x-y-2=0；当x=-l时，则切点坐标为（T,T）,所以该曲线在（-1,-1 处的切线方程为y+l=3 x+l 即 3x-y+2-0 o12.由导数定义得（x=2x,设曲线上P点的坐标为（%,%）,则该点处切线的斜率 为kp=2x。,根据夹角公式有2/-3 二iP l+2x0-3解得=T或%=；,由元 二 一1,得%=1；由/=；，得,一记；则 P(-1,1)或尸(；,)。r Ay r f(0+Ax)-f(0)r Ax-0 1 13.lim 二 lim-=lim-二 1,Axf o+Ax o+Ax Axf o+Axr Ay r/(0+Ax)-/(0)r-Ax-0 1lim 二 lim-二 lim-二-1,心f0-Ax 心-0-Ax Axf(F Ax/lim lim,+Ax 0-AxJim包不存在。Ax函数f(x)在x=0处不可导。14.可以验证点(2,0)不在曲线上，故设切点为尸(无0，%)。1 1由=lim*+&=lim 0 Axf0 x Ax-0_ AxAx(%0+Ax)-xQ-XoOo+Ax x；得所求直线方程为由点（2,0 在直线上，得X:丁0=2-%,再由。（犬0，0）在曲线上，得%（）%）=1，联立可解得%=1,%=1。所求直线方程为x+y-2=0。导徽应用的敢型与方法-复习目标：1.了解导数的概念，能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义，理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出 变化率的概念.2.熟记基本导数公式 c,xm m为有理数），sinx,cos x,e,a*,Inx,logq x的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能 够用导数求单调区间，求一个函数的最大（小）值的问题，掌握导数的基本应用.3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正 确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。4.了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。二.考试要求：了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,x m为有理数），sinx,cos x,e*,a*,lnx,log。x的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最 小值。三.教学过程：I；基砒知例样折导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导 数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：1 刻画函数（比初等方法精确细微）；（2 同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3 应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项 式的导数问题属于较难类型。2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法 快捷简便。3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力 的一个方向，应引起注意。4.曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做 圆的切线，惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为 一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推 广是不妥当的.如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线ksinx.直线/与曲线C有惟 一公共点M,但我们不能说直线乙与曲线C相切；而直线右尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线右是曲线C在点N处的切线.因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲 线的切线的定义.所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.(图3-1)5.瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先 指出：运动物体经过某一时亥U(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.6.导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是 以此为依据.对导数的定义，我们应注意以下三点：(x是自变量x在/处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果x-o时，也有极限，那么函数y=f(x)Ax在点x0处可导或可微，才能得到f(x)在点/处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点/处可导，那么函数y=f(x)在点与处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导.由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量Ay=f(x0+Ax)f(x0)；(2)求平均变化率=/(%+Ax)-A/)；Ax Ax(3)取极限，得导数/(x0)=lim”。心一。Ax7.导数的几何意义函数尸f(x)在点/处的导数，就是曲线厂(x)在点(%,/(%)处的切线的斜率.由 此，可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1)求出函数产f(x)在点/处的导数,即曲线y=f(x)在点(%,/(%)处的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y 九=/(演)(%)特别地，如果曲线kf(x)在点(%,/(%)处的切线平行于y轴，这时导数不存，根 据切线定义，可得切线方程为九二与8.和(或差)的导数对于函数/(!=/+/的导数，如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。小)=眄/(x+Ax)-/(犬)Ax.(X+A%),+(X+A%)2 +/)-Ax_ Hm 3,-Ax+3X(AX)2+(Axp+2x.Ax+(Ax Ax=lim(3x2+2x+3x Ax+(Ax)2+Ax)=3x2+2x我们不难发现(丁+，y=3/+2x=(d)，+(/)，即两函数和的导数等于这两函数的 导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个 函数的和(或差)的求导法则。9.积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导 数定义的结构形式。(具体过程见课本P120)说明：(1)(2)若c为常数，则(cu)，=cu110.商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证 明如下：设y=/(无)=u(x)V(%)Ay=u(x+Ax)u(x)_ ux+Ax)v(x)-u(x)v(x+Ax)v(x+Ax)v(x)v(x+Ax)v(x)u(x+Ax)-W(X)V(JC)-+Ax)-v(x)v(x+Ax)v(x)u(x+Ax)-u(x)v(x+Ax)-v(x)-vx)-ux)-_Ax-AxAx v(x+AX)V(JT)因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是一0时，v(x+Ax)v(x),从而 lim 包=)v(x)-”(x)M(x)4rf。Ax V(JC)2即u uv-uv)学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幕函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数 的定义去求。11.导数与函数的单调性的关系/(X)0与“X)为增函数的关系。广(工)0能推出“X)为增函数，但反之不一定。如函数/(九)=/在(_*+8)上单 调递增，但尸(x)NO,(1)0是“X)为增函数的充分不必要条件。/(九)w 0时，/(X)0与/(%)为增函数的关系。若将尸(幻=0的根作为分界点，因为规定尸(x)wO,即抠去了分界点，此时“X)为 增函数，就一定有尸(x)0。,当/(x)wO时，/(X)0是/(x)为增函数的充分必要 条件。尸(x)2 0与f(x)为增函数的关系。“X)为增函数，一定可以推出r(x)20,但反之不一定，因为r(x)20,即为 尸(x)0或/(x)=0。当函数在某个区间内恒有r(x)=0,则(x)为常数,函数不具 有单调性。./(X)0是/(%)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上 三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用 开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的 讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知y=/(x)(1)分析y=/(x)的定义域；(2)求导数y=7(x)(3)解不等式/(x)0,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式/(x)0恒成立.y=/(x)为(*)上个对任意X(Q)不等式 f(a)f(x)f(Z?)恒成立(2)/(x)f(x)f 恒成立注意事项1.导数概念的理解.2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数 的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式 对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例 题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3.要能正确求导，必须做到以下两点：(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数 的求导法则。(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变 量求导。4.求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；（3 把中间变量代回原自变量（一般是x 的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系尸f（N）,f x；然后 将已知函数对中间变量求导（y），中间变量对自变量求导（】）；最后求y小，并将 中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以 省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。II 范例今新V2 V Y V l%广色”(x)=a+b/(1)=1 a+b=1lim-=2 lim =a a=2 b=-lAxf 0-Ax Arf 0+Ax例2.已知f x 在x=a处可导，且f a=b,求下列极限：1 lim；勘-0 2h M-o h分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论Ax选择哪种形式，Ay 也必须选择相对应的形式。利用函数出乂）在兀=处可导的条件，可以将已给定的极限式恒 等变形转化为导数定义的结构形式。解.1加式61+3h -f a-）=礴+班-/+f G-2。2h 2h二 lim/S+3力）一/（）+lim）一 一二）2h h1。2h=31而/11而:）“，）2%o 3h 2o-h3 1=-fa +-fa =2b1血3+力2-/二1加型+丁必 h 2 h?=Hm当甘士山 5 h1厕=/（。）。=。说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价 变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例3.观察(犬)二,(sin%)=cosx,(cosx)r=-sinx,是否可判断，可导的 奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若幻为偶函数 r)=/a)令1加/3+8)一小)=/(/)心0 AxfX-x)=lim-is)=lim+Ax 以一。+Ax/(x Ar)/(x),=lim-=-fr(x)Axf0-A可导的偶函数的导函数是奇函数另证：尸=(T)r=/(+x)(r)=-fx)可导的偶函数的导函数是奇函数9 Y例4.(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程；(2)运动曲线方程为S=*+2，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数产f(x)在/处的导数就是曲线kf(x)在点pQo,%)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。解：y二2a2+1)2”2%(x2+1)22-2/(%2+1)22-2yli=一=0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=09 Y因此曲线 一在(1,1)处的切线方程为k1X+1(2)卜(2/丫t2 2t(t 1)?44 1 2)+4-+4r r tS,|1 2-26-1-F12=11 9 27 27例5.求下列函数单调区间(1)y=/(x)=x3 2-21+5(2)y=-xk2(3)=+无(左 0)x(4)y=2x2-Ina2解：(1)/=3元之一%一2=(3x+2)(JC-1)x (co,U(1,+0)时 y 02 2 2%(一,i)y 0 X E(左，0)U(0,女)/0.(8,%),(左，+8)个(k,0),(0)J1 4Y2-1(4)y=4x-=-定义域为(0,+oo)X(O,；)y0 T例6.求证下列不等式/x2(1)x-ln(l+x)JC (0,1)n 2(3)x-sinx 02 1+x x+1y=/(x)为(0,+oo)上T A:e(0,+oo)f(x)0 恒成立x2 v2 ln(l+x)x-g(x)=x-ln(l+x)g(0)=02 2(1+x)，/、i 4/+4x 2元2 1 2元 2g(x)=1-5-二-丁 04(1+x)2 1+x 4(1+x2)g(x)在(0,+oo)上T x e(0,+QO)x-ln(l+%)0 恒成立2(1+x)/八 hf sinx 2 人,/、./(2)原式。-令/(x)=smx/xx nx (0,)cos x 0 x-tan x 0.尸=cosManx).工(0与 尸 2 71 兀(3)令/(x)=t