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第八章第八章 函数函数主要内容主要内容函数定义与性质函数定义与性质函数定义函数定义函数性质函数性质函数运算函数运算函数逆函数逆函数合成函数合成双射函数与集合基数双射函数与集合基数1/6018.1 函数定义与性质函数定义与性质主要内容主要内容函数定义与相关概念函数定义与相关概念函数定义函数定义函数相等函数相等从从A到到B函数函数f:ABBA函数像与完全原像函数像与完全原像函数性质函数性质单射、满射、双射函数定义与实例单射、满射、双射函数定义与实例结构双射函数结构双射函数一些主要函数一些主要函数2/602函数定义函数定义定义定义8.1设设F 为二元关系为二元关系,若若 xdomF 都存在唯一都存在唯一yranF 使使xFy 成立成立,则称则称F 为为函数函数对于函数对于函数F,假如有假如有xFy,则记作则记作y=F(x),并称并称y 为为F 在在x 值值.例例F1=,F2=,F1是函数是函数,F2不是函数不是函数定义定义8.2设设F,G 为函数为函数,则则F=G F GG F假如两个函数假如两个函数F 和和G 相等相等,一定满足下面两个条件：一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)xdomF=domG 都有都有F(x)=G(x)函数函数F(x)=(x2 1)/(x+1),G(x)=x 1不相等不相等,因为因为domF domG.3/603从从A到到B函数函数定义定义8.3设设A,B为集合为集合,假如假如 f 为函数为函数,domf=A,ranf B,则称则称f 为为从从A到到B函数函数,记作记作f：AB.例例f：NN,f(x)=2x 是从是从N到到N函数函数,g：NN,g(x)=2也是从也是从N到到N函数函数.定义定义8.4全部从全部从A到到B函数集合记作函数集合记作BA,符号化表示为符号化表示为BA=f|f：AB|A|=m,|B|=n,且且m,n0,|BA|=nmA=,则则BA=B=A且且B=,则则BA=A=4/604实例实例例例1设设A=1,2,3,B=a,b,求求BA.解解BA=f0,f1,f7,其中其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,5/605函数像和完全原像函数像和完全原像定义定义8.5设函数设函数f：AB,A1 A,B1 B(1)A1在在f 下像下像f(A1)=f(x)|xA1,函数像函数像f(A)(2)B1在在f 下完全原像下完全原像f 1(B1)=x|xAf(x)B1注意：注意：函数值与像区分：函数值函数值与像区分：函数值f(x)B,像像f(A1)B普通说来普通说来f 1(f(A1)A1,不过不过A1 f 1(f(A1)例例设设f：NN,且且令令A=0,1,B=2,那么有那么有f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2f 1(B)=f 1(2)=1,46/606函数性质函数性质定义定义8.6设设f：AB,(1)若若ranf=B,则称则称f:AB是是满射满射(2)若若 yranf 都存在唯一都存在唯一xA 使得使得f(x)=y,则称则称f:AB 是是单射单射(3)若若f:AB 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称f:AB是是双射双射例例2判断下面函数是否为单射判断下面函数是否为单射,满射满射,双射双射,为何为何?(1)f:RR,f(x)=x2+2x 1(2)f:Z+R,f(x)=lnx,Z+为正整数集为正整数集(3)f:RZ,f(x)=x(4)f:RR,f(x)=2x+1(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x,其中其中R+为正实数集为正实数集.7/607例题解答例题解答解解(1)f:RR,f(x)=x2+2x 1在在x=1取得极大值取得极大值0.既不是单射也不是满射既不是单射也不是满射(2)f:Z+R,f(x)=lnx是单调上升是单调上升,是单射是单射.但不满射但不满射,ranf=ln1,ln2,.(3)f:RZ,f(x)=x 是满射是满射,但不是单射但不是单射,比如比如f(1.5)=f(1.2)=1(4)f:RR,f(x)=2x+1是满射、单射、双射是满射、单射、双射,因为它是单调函数而且因为它是单调函数而且ranf=R(5)f:R+R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值有极小值f(1)=2.该函数既不是单射也不是满射该函数既不是单射也不是满射8/608实例实例例例3对于给定集合对于给定集合A和和B结构双射函数结构双射函数f:AB(1)A=P(1,2,3),B=0,11,2,3(2)A=0,1,B=1/4,1/2(3)A=Z,B=N(4),B=1,19/609解答解答(1)A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0,f1,f7,其中其中f0=,f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,.令令f:AB,f()=f0,f(1)=f1,f(2)=f2,f(3)=f3,f(1,2)=f4,f(1,3)=f5,f(2,3)=f6,f(1,2,3)=f710/6010(2)令令f:0,11/4,1/2,f(x)=(x+1)/4(4)令令 f:/2,3/2 1,1f(x)=sinx解答解答(3)将将Z中元素以以下次序排列并与中元素以以下次序排列并与N中元素对应：中元素对应：Z：0 11 22 33N：0123456这种对应所表示函数是：这种对应所表示函数是：11/6011一些主要函数一些主要函数定义定义8.7(1)设设f:AB,假如存在假如存在cB使得对全部使得对全部xA都有都有f(x)=c,则称则称f:AB是是常函数常函数.(2)称称A上恒等关系上恒等关系IA为为A上上恒等函数恒等函数,对全部对全部xA都都有有IA(x)=x.(3)设设,为偏序集，为偏序集，f:AB，假如对任意，假如对任意x1,x2A,x1 x2,就有就有f(x1)f(x2),则称则称f 为为单调递增单调递增；如；如果对任意果对任意x1,x2A,x1 x2,就有就有f(x1)f(x2),则称则称f 为为严严格单调递增格单调递增.类似也能够定义单调递减和严格单调递类似也能够定义单调递减和严格单调递减函数减函数12/6012(4)设设A为集合为集合,对于任意对于任意A A,A特征函数特征函数 A:A0,1定义为定义为 A(a)=1,aA A(a)=0,aA A(5)设设R是是A上等价关系上等价关系,令令g:AA/Rg(a)=a,aA称称g 是从是从A 到商集到商集A/R 自然映射自然映射一些主要函数一些主要函数13/6013实例实例例例4(1)偏序集偏序集,R 为包含关系为包含关系,为为普通小于等于关系普通小于等于关系,令令f:P(a,b)0,1,f()=f(a)=f(b)=0,f(a,b)=1,f 是单调递增是单调递增,但不是严格单调递增但不是严格单调递增(3)不一样等价关系确定不一样自然映射不一样等价关系确定不一样自然映射,恒等关系确定自恒等关系确定自然映射是双射然映射是双射,其它自然映射普通来说只是满射其它自然映射普通来说只是满射.比如比如 A=1,2,3,R=,IA g:AA/R,g(1)=g(2)=1,2,g(3)=3(2)A每一个子集每一个子集A都对应于一个特征函数都对应于一个特征函数,不一样子集对不一样子集对应于不一样特征函数应于不一样特征函数.比如比如A=a,b,c,则有则有=,，a,b=,14/60148.2函数复合与反函数函数复合与反函数 主要内容主要内容复合函数基本定理复合函数基本定理函数复合运算与函数性质函数复合运算与函数性质反函数存在条件反函数存在条件反函数性质反函数性质15/6015复合函数基本定理复合函数基本定理定理定理8.1设设F,G是函数是函数,则则F G也是函数也是函数,且满足且满足(1)dom(F G)=x|xdomFF(x)domG(2)xdom(F G)有有F G(x)=G(F(x)证证先证实先证实F G是函数是函数.因为因为F,G是关系是关系,所以所以F G也是关系也是关系.若对某个若对某个xdom(F G)有有xF Gy1和和xF Gy2,则则F GF Gt1(FG)t2(FG)t1 t2(t1=t2GG（F为函数）为函数）y1=y2（G为函数）为函数）所以所以F G 为函数为函数16/6016证实证实任取任取x,xdom(F G)t y(FG)t(xdomFt=F(x)tdomG)xx|xdomFF(x)domG 任取任取x,xdomFF(x)domGFGF Gxdom(F G)F G(x)G(F(x)所以所以(1)和和(2)得证得证17/6017推论推论推论推论1设设F,G,H为函数为函数,则则(F G)H和和F(G H)都是函数都是函数,且且(F G)H=F(G H)证证由上述定理和运算满足结合律得证由上述定理和运算满足结合律得证.推论推论2设设f:AB,g:BC,则则f g:AC,且且 xA都有都有f g(x)=g(f(x)证证由上述定理知由上述定理知f g是函数是函数,且且dom(f g)=x|xdomff(x)domg=x|xAf(x)B=Aran(f g)rang C所以所以f g:AC,且且 xA有有f g(x)=g(f(x)18/6018函数复合与函数性质函数复合与函数性质定理定理8.2设设f:AB,g:BC(1)假如假如f:AB,g:BC是满射是满射,则则f g:AC也是满射也是满射(2)假如假如f:AB,g:BC是单射是单射,则则f g:AC也是单射也是单射(3)假如假如f:AB,g:BC是双射是双射,则则f g:AC也是双射也是双射证证(1)任取任取cC,由由g:BC满射性满射性,bB使得使得g(b)=c.对于这个对于这个b,由由f:AB满射性，满射性，aA使得使得f(a)=b.由合成定理有由合成定理有 f g(a)=g(f(a)=g(b)=c从而证实了从而证实了f g:AC是满射是满射19/6019证实证实(2)假设存在假设存在x1,x2A使得使得f g(x1)=f g(x2)由合成定理有由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2)因为因为g:BC是单射是单射,故故f(x1)=f(x2).又因为又因为f:AB是单射是单射,所所以以x1=x2.从而证实从而证实f g:AC是单射是单射.(3)由由(1)和和(2)得证得证.注意：定理逆命题不为真注意：定理逆命题不为真,即假如即假如f g:AC是单射是单射(或满射、或满射、双双射射),不一定有不一定有f:AB 和和g:BC都是单射都是单射(或满射、双射或满射、双射).定理定理8.3 设设f:AB,则则f=f IB=IA f（证实略）（证实略）20/6020实例实例考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,C=c1,c2,c3.令令f=,g=,f g=,那么那么f:AB和和f g:AC是单射是单射,但但g:BC不是单射不是单射.考虑集合考虑集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,C=c1,c2.令令f=,g=,f g=,那么那么g:BC 和和f g:AC是满射是满射,但但f:AB不是满射不是满射.21/6021反函数反函数反函数存在条件反函数存在条件(1)任给函数任给函数F,它逆它逆F 1不一定是函数不一定是函数,只是一个二元关系只是一个二元关系.(2)任给单射函数任给单射函数f:AB,则则f 1是函数是函数,且是从且是从ranf 到到A双双射函数射函数,但不一定是从但不一定是从B到到A双射函数双射函数(3)对于双射函数对于双射函数f:AB,f 1:BA是从是从B到到A双射函数双射函数.定理定理8.4设设f:AB是双射是双射,则则f 1:BA也是双射也是双射.证实思绪：证实思绪：先证实先证实f 1:BA，即，即f 1是函数，且是函数，且domf 1=B,ranf 1=A.再证实再证实f 1:BA双射性质双射性质.22/6022证实证实证证因为因为f 是函数是函数,所以所以f 1是关系是关系,且且dom f 1=ranf=B,ran f 1=domf=A对于任意对于任意xB=dom f 1,假设有假设有y1,y2A使得使得f 1f 1成立成立,则由逆定义有则由逆定义有ff依据依据f 单射性可得单射性可得y1=y2,从而证实了从而证实了f 1是函数，且是满射是函数，且是满射.若存在若存在x1,x2B使得使得f 1(x1)=f 1(x2)=y,从而有从而有f 1f 1ffx1=x2对于双射函数对于双射函数f:AB,称称f 1:BA是它是它反函数反函数.23/6023反函数性质反函数性质定理定理8.5(1)设设f:AB是双射是双射,则则f 1 f=IB,f f 1=IA(2)对于双射函数对于双射函数f:AA,有有f 1 f=f f 1=IA 证实思绪：证实思绪：依据定理可知依据定理可知f 1:BA也是双射也是双射,由合成基本定理可知由合成基本定理可知f 1 f:BB,f f 1:AA，且它们都是恒等函数，且它们都是恒等函数.例例5设设 求求f g,g f.假如假如f 和和g 存在反函数存在反函数,求出它们反函数求出它们反函数.24/6024解解f:RR不是双射不是双射,不存在反函数不存在反函数.g:RR是双射是双射,它反函数是它反函数是g 1:RR,g 1(x)=x 2求解求解25/60258.3 双射函数与集合基数双射函数与集合基数主要内容主要内容集合等势及其性质集合等势及其性质主要等势或不等势结果主要等势或不等势结果集合优势及其性质集合优势及其性质集合基数集合基数可数集可数集26/6026则则f 是是Z到到N双射函数双射函数.从而证实了从而证实了ZN.集合等势集合等势集合等势实例集合等势实例例例6(1)ZN.定义定义8.8设设A,B是集合是集合,假如存在着从假如存在着从A到到B双射函数双射函数,就称就称A和和B是是等势等势,记作记作AB.假如假如A不与不与B 等势等势,则记作则记作A B.27/6027集合等势实例集合等势实例:NNNNNN.NN中全部元素排成有序图形中全部元素排成有序图形28/6028-2/1-2/155-1/1-1/144-3/1-3/118182/12/110103/13/111110/10/1001/11/111-2/2-2/2-1/2-1/233-3/2-3/217172/22/23/23/212120/20/21/21/222-2/3-2/366-1/3-1/377-3/3-3/32/32/3993/33/30/30/31/31/388-2/4-2/4-1/4-1/41515-3/4-3/416162/42/43/43/413130/40/41/41/41414PLAYNQ.双射函数双射函数f:NQ,其中其中f(n)是是n下方有理数下方有理数.集合等势实例集合等势实例:NQ29/6029(6)对对任何任何a,bR,ab,0,1a,b，双射函数双射函数f:0,1a,b,f(x)=(b a)x+a类似地能够证实类似地能够证实,对任何对任何a,bR,ab,有有(0,1)(a,b).(4)(0,1)R.其中实数区间其中实数区间(0,1)=x|xR0 x1.令令(5)0,1(0,1).其中其中(0,1)和和0,1分别为实数开区间和分别为实数开区间和闭区间闭区间.令令f:0,1(0,1)实数集合等势实数集合等势30/6030实例实例例例7设设A为任意集合为任意集合,则则P(A)0,1A.证证以下结构从以下结构从P(A)到到0,1A 函数函数f:P(A)0,1A,f(A)=A,AP(A).其中其中 A是集合是集合A特征函数特征函数.易证易证f 是单射是单射.对于任意对于任意g0,1A,那么有那么有g:A0,1.令令 B=x|xAg(x)=1则则B A,且且 B=g,即即 BP(A),f(B)=g.从而证实了从而证实了f 是满射是满射.由等势定义得由等势定义得P(A)0,1A.31/6031等势性质等势性质定理定理8.6设设A,B,C是任意集合，是任意集合，(1)AA(2)若若AB，则，则BA(3)若若AB，BC，则，则AC.证实思绪：利用等势等义证实思绪：利用等势等义.(1)IA是从是从A到到A双射双射(2)若若f:AB是双射，则是双射，则f 1:BA是从是从B到到A双射双射.(3)若若f:AB，g:BC是双射，则是双射，则f g:AC是从是从A到到C双射双射32/6032相关势主要结果相关势主要结果等势结果等势结果NZQNN任何实数区间都与实数集合任何实数区间都与实数集合R等势等势不等势结果不等势结果:定理定理8.7(康托定理康托定理)(1)N R；(2)对任意集合对任意集合A都有都有A P(A)证实思绪：证实思绪：(1)只需证实任何函数只需证实任何函数f:N0,1都不是满射都不是满射.任取函数任取函数f:N0,1,列出列出f 全部函数值，然后结构一个全部函数值，然后结构一个0,1区间小数区间小数b，使得，使得b与全部函数值都不相等与全部函数值都不相等.(2)任取函数任取函数f:AP(A)，结构，结构B P(A)，使得，使得B与与f 任何函任何函数值都不等数值都不等.33/6033Cantor定理证实定理证实证证(1)要求要求0,1中数表示中数表示.对任意对任意x0,1,令令x=0.x1x2,0 xi 9要求在要求在x 表示式中不允许在某位后有没有数个表示式中不允许在某位后有没有数个1情况情况.设设f:N0,1是任何函数，列出是任何函数，列出f 全部函数值：全部函数值：f(0)=0.a1(1)a2(1)f(1)=0.a1(2)a2(2)f(n 1)=0.a1(n)a2(n)令令y 表示式为表示式为0.b1b2,而且满足而且满足bi ai(i),i=1,2,那么那么y 0,1,且且y与上面列出任何函数值都不相等与上面列出任何函数值都不相等.这就推出这就推出y ranf,即即f 不是满射不是满射.34/6034(2)我们将证实任何函数我们将证实任何函数g:AP(A)都不是满射都不是满射.设设g:AP(A)是从是从A到到P(A)函数函数,以下结构集合以下结构集合B：B=x|xAx g(x)则则BP(A),但对任意但对任意xA都有都有 xB x g(x)从而证实了对任意从而证实了对任意xA都有都有Bg(x).即即B rang.注意：依据注意：依据Cantor定理能够知道定理能够知道N P(N)，N 0,1N.Cantor定理证实定理证实35/6035集合优势集合优势定义定义8.9(1)设设A,B是集合是集合,假如存在从假如存在从A到到B单射函数单射函数,就就称称B优势于优势于A,记作记作A B.假如假如B不是优势于不是优势于A,则记作则记作A B.(2)设设A,B是集合是集合,若若A B 且且A B,则称则称B 真优势于真优势于A,记记作作 A B.假如假如B 不是真优势于不是真优势于A,则记作则记作A B.实例实例N N,N R,A P(A),R NN R,A P(A),但但N N定理定理8.8设设A,B,C是任意集合是任意集合,则则(1)A A(2)若若A B且且B A,则则AB(3)若若A B且且B C,则则A C36/6036应用：证实等势应用：证实等势证证设设x 0,1),0.x1x2是是x 二进制表示二进制表示.要求表示式中不要求表示式中不允许出现连续无数个允许出现连续无数个1.对于对于x，以下定义，以下定义f:0,1)0,1N,f(x)=tx,且且tx:N0,1,tx(n)=xn+1,n=0,1,2,比如比如x=0.10110100,则对应于则对应于x 函数函数tx是：是：n01234567 tx(n)10110100tx0,1N,且对于且对于x,y0,1),xy,必有必有txty,即即f(x)f(y).这就证实了这就证实了f:0,1)0,1N是单射是单射.例例8证实证实0,1N0,1).37/6037考虑考虑t0,1N,其中其中 t(0)=0,t(n)=1,n=1,2,.按照按照f 定义定义,只有只有x=0.011才能满足才能满足f(x)=t.但依据要求但依据要求,这个数这个数x 记为记为0.100,所以根本不存在所以根本不存在x0,1),满足满足f(x)=t.定义函数定义函数g:0,1N0,1).g映射法则恰好与映射法则恰好与f 相反相反.即即 t0,1N,t：N0,1,g(t)=0.x1x2,其中其中xn+1=t(n).将将0.x1x2看作数看作数x 十进制表示十进制表示.这么就防止了形如这么就防止了形如0.0111和和0.1000.在二进制表示中对应了同一个数情在二进制表示中对应了同一个数情况，从而确保了况，从而确保了g单射性单射性.依据定理有依据定理有0,1N0,1).再使用等势传递性得再使用等势传递性得0,1NR.结构另一个单射结构另一个单射38/6038自然数集合定义自然数集合定义 定义定义8.10设设a为集合为集合,称称aa为为a后继后继,记作记作a+,即即a+=aa.以下定义自然数：以下定义自然数：0=1=0+=+=02=1+=+=,=0,13=2+=,+=,=0,1,2 n=0,1,n 1自然数相等与大小，即对任何自然数自然数相等与大小，即对任何自然数 n和和m，有有 m=n m n，mn m n39/6039有穷集和无穷集有穷集和无穷集定义定义8.11(1)一个集合是一个集合是有穷有穷当且仅当它与某个自然数等势；当且仅当它与某个自然数等势；(2)假如一个集合不是有穷假如一个集合不是有穷,就称作就称作无穷集无穷集.实例：实例：(1)a,b,c是有穷集是有穷集,因为因为3=0,1,2,且且a,b,c0,1,2=3(2)N和和R都是无穷集都是无穷集,因为没有自然数与因为没有自然数与N和和R等势等势利用自然数性质能够证实：任何有穷集只与惟一自然数利用自然数性质能够证实：任何有穷集只与惟一自然数等势等势.40/6040集合基数定义集合基数定义定义定义8.12(1)对于有穷集合对于有穷集合A,称与称与A等势那个惟一自然数为等势那个惟一自然数为A基数基数,记记作作cardA(也能够记作也能够记作|A|)cardA=n A n(2)自然数集合自然数集合N基数记作基数记作0,即即cardN=0(3)实数集实数集R基数记作基数记作,即即cardR=41/6041基数相等和大小基数相等和大小定义定义8.13设设A,B为集合为集合,则则(1)cardA=cardB AB(2)cardAcardB A B(3)cardAcardB cardAcardBcardAcardB依据上一节关于势讨论不难得到：依据上一节关于势讨论不难得到：cardZ=cardQ=cardNN=0cardP(N)=card2N=carda,b=card(c,d)=0cardAcardP(A)其中其中2N=0,1N42/6042基数大小基数大小不存在最大基数不存在最大基数.将已知基数按从小到大次序排列就将已知基数按从小到大次序排列就得到：得到：0,1,2,n,0,其中：其中：0,1,2,n,是全体自然数是全体自然数,是有穷基数是有穷基数.0,是无穷基数是无穷基数,0是最小无穷基数是最小无穷基数,后面还后面还有更大基数有更大基数,如如cardP(R)等等.43/6043可数集可数集定义定义8.14设设A为集合为集合,若若cardA0,则称则称A为为可数集可数集或或可列集可列集.实例：实例：a,b,c,5,整数集整数集Z,有理数集有理数集Q,NN等都是可数集等都是可数集,实数集实数集R不是可数集不是可数集,与与R等势集合也不是可数集等势集合也不是可数集.对于任何可数集对于任何可数集,它元素都能够排列成一个有序图形它元素都能够排列成一个有序图形.换换句话说句话说,都能够找到一个都能够找到一个“数遍数遍”集合中全体元素次序集合中全体元素次序.可数集性质：可数集性质：可数集任何子集都是可数集可数集任何子集都是可数集.两个可数集并是可数集两个可数集并是可数集.两个可数集笛卡儿积是可数集两个可数集笛卡儿积是可数集.可数个可数集笛卡儿积仍是可数集可数个可数集笛卡儿积仍是可数集.无穷集无穷集A幂集幂集P(A)不是可数集不是可数集44/6044实例实例解解(1)由由T=B,A,S,E,L知知cardT=5(2)由由B=,可知可知cardB=0.(3)由由|A|=4可知可知cardC=cardP(A)=|P(A)|=24=16.例例9求以下集合基数求以下集合基数(1)T=x|x是单词是单词“BASEBALL”中字母中字母(2)B=x|xRx2=92x=8(3)C=P(A),A=1,3,7,1145/6045例例10设设A,B为集合为集合,且且cardA=0,cardB=n,n是自然数是自然数,n0.求求cardAB.实例实例解解方法一方法一结构双射函数结构双射函数由由cardA=0,cardB=n,可知可知A,B都是可数集都是可数集.令令 A=a0,a1,a2,B=b0,b1,b2,bn 1对任意对任意,AB有有=i=kj=l 定义函数定义函数f:ABNf()=in+j,i=0,1,j=0,1,n 1易见易见f是是AB到到N双射函数双射函数,所以所以cardAB=card N=046/6046方法二方法二直接使用可数集性质求解直接使用可数集性质求解.因为因为cardA=0,cardB=n,所以所以A,B都是可数集都是可数集.依据性质依据性质(3)可知可知AB也是可数集也是可数集,所以所以cardAB0显然当显然当B时时,cardA cardAB,这就推出这就推出0 cardAB综合上述得到综合上述得到cardAB=0.实例实例47/6047第八章第八章 习题课习题课主要内容主要内容函数，函数，从从A到到B函数函数f:AB，BA，函数像与完全原像，函数像与完全原像函数性质：单射、满射、双射函数函数性质：单射、满射、双射函数主要函数：恒等函数、常函数、单调函数、集合特征函主要函数：恒等函数、常函数、单调函数、集合特征函数、自然映射数、自然映射集合等势定义与性质集合等势定义与性质集合优势定义与性质集合优势定义与性质主要集合等势以及优势结果主要集合等势以及优势结果可数集与不可数集可数集与不可数集集合基数定义集合基数定义48/6048基本要求基本要求给定给定f,A,B,判别判别f 是否为从是否为从A到到B函数函数判别函数判别函数f:AB性质（单射、满射、双射）性质（单射、满射、双射）熟练计算函数值、像、复合以及反函数熟练计算函数值、像、复合以及反函数证实函数证实函数f:AB性质（单射、满射、双射）性质（单射、满射、双射）给定集合给定集合A,B，结构双射函数，结构双射函数f:AB能够证实两个集合等势能够证实两个集合等势能够证实一个集合优势于另一个集合能够证实一个集合优势于另一个集合知道什么是可数集与不可数集知道什么是可数集与不可数集会求一个简单集合基数会求一个简单集合基数49/6049练习练习11给定给定A,B 和和f,判断是否组成函数判断是否组成函数f:AB.假如是假如是,说明该说明该函数是否为单射、满射、双射函数是否为单射、满射、双射.并依据要求进行计算并依据要求进行计算.(1)A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,9,10,f=,.(2)A,B同同(1),f=,.(3)A,B同同(1),f=,.(4)A=B=R,f(x)=x3(5)A=B=R+,f(x)=x/(x2+1).(6)A=B=RR,f()=,令令 L=|x,yRy=x+1,计算计算 f(L).(7)A=NN,B=N,f()=|x2 y2|.计算计算f(N0),f 1(0)50/6050解解答解答(1)能组成能组成f:AB,f:AB既不是单射也不是满射既不是单射也不是满射,因为因为 f(3)=f(5)=9,且且7 ranf.(2)不组成不组成f:AB,因为因为f 不是函数不是函数.f 且且f,与与函函数定义矛盾数定义矛盾(3)不组成不组成f:AB,因为因为domf=1,2,3,4A(4)能组成能组成f:AB,且且f:AB是双射是双射(5)能组成能组成f:AB,f:AB既不是单射也不是满射既不是单射也不是满射.因为该因为该函数在函数在x=1取极大值取极大值f(1)=1/2.函数不是单调函数不是单调,且且ranfR+.(6)能组成能组成f:AB,且且f:AB是双射是双射.f(L)=|xR=R 1(7)能组成能组成f:AB,f:AB既不是单射也不是满射既不是单射也不是满射.因为因为f()=f()=0,2 ranf.f(N0)=n2 02|nN=n2|nNf 1(0)=|nN51/6051练习练习22.设设f1,f2,f3,f4 RR，且，且令令Ei 是由是由fi 导出等价关系，导出等价关系，i=1,2,3,4，即，即xEiy fi(x)=fi(y)(1)画出偏序集画出偏序集哈斯图，其中哈斯图，其中T 是加细关系：是加细关系：T x(x R/Eiy(y R/Ej x y)(2)gi:RR/Ei 是自然映射，求是自然映射，求gi(0),i=1,2,3,4.(3)对每个对每个i,说明说明gi 性质（单射、满射、双射）性质（单射、满射、双射）.52/6052(1)哈斯图以下哈斯图以下(2)g1(0)=x|x R x 0,g2(0)=0,g3(0)=Z,g4(0)=R(3)g1,g3,g4是满射；是满射；g2是双射是双射.解图1解答解答53/6053练习练习33对于以下集合对于以下集合A和和B，结构从，结构从A到到B双射函数双射函数f:AB(1)A=1,2,3，B=a,b,c(2)A=(0,1)，B=(0,2)(3)A=x|x Zx0，B=N(4)A=R，B=R+解解(1)f=,(2)f:AB,f(x)=2x(3)f:AB,f(x)=x 1(4)f:AB,f(x)=ex54/60544.4.设设 证实证实 f 既是满射，也是单射既是满射，也是单射.证 任取任取 R R，存在，存在使得使得 练习练习4所以所以f 是满射是满射对于任意对于任意,R R,有有所以所以f 是单射是单射.55/6055证实方法证实方法1.证实证实f:AB是满射方法是满射方法:任取任取y B,找到找到x(即给出即给出x表示表示)或者证实存在或者证实存在x A，使得，使得f(x)=y.2.证实证实f:AB是单射方法是单射方法方法一方法一 x1,x2 A,f(x1)=f(x2)x1=x2推理前提推理前提推理过程推理过程推理结论推理结论方法二方法二 x1,x2 A,x1 x2f(x1)f(x2)推理前提推理前提推理过程推理过程推理结论推理结论3.证实证实f:AB不是满射方法：不是满射方法：找到找到y B,y ranf4.证实证实f:AB不是单射方法：找到不是单射方法：找到x1,x2 A,x1 x2,且且 f(x1)=f(x2)56/60565.设设A,B为二集合为二集合,证实：假如证实：假如AB,则则P(A)P(B)练习练习5证证因为因为AB，存在双射函数，存在双射函数f:AB，反函数，反函数f 1:BA结构函数结构函数g:P(A)P(B),g(T)=f(T)，T A（f(T)是是T在函数在函数f 像）像）证实证实g 满射性满射性.对于任何对于任何S B,存在存在f 1(S)A,且且g(f 1(S)=f f 1(S)=S证实证实g单射性单射性.g(T1)=g(T2)f(T1)=f(T2)f 1(f(T1)=f 1(f(T2)IA(T1)=IA(T2)T1=T2综合上述得到综合上述得到P(A)P(B).57/6057证实集合证实集合A与与B等势方法等势方法方法一：直接结构从方法一：直接结构从A到到B双射双射,即定义一个从即定义一个从A到到B函数函数f:AB，证实证实f 满射性，证实满射性，证实f 单射性单射性方法二：利用定理方法二：利用定理8.8，结构两个单射，结构两个单射f:AB 和和g:BA.即即定义函数定义函数f 和和g，证实，证实f 和和g 单射性单射性方法三：利用等势传递性方法三：利用等势传递性方法四：直接计算方法四：直接计算A与与B基数，得到基数，得到cardA=cardB.注意：注意：以上方法中最主要是方法一以上方法中最主要是方法一.证实集合证实集合A与自然数集合与自然数集合N等势通常方法是：找到一个等势通常方法是：找到一个“数数遍遍”A中元素次序中元素次序.58/6058练习练习66已知已知A=n7|nN,B=n109|nN,求以下各题：求以下各题：(1)CardA(2)CardB(3)card(A B)(4)card(A B)解解(1)结构双射函数结构双射函数f:NA,f(n)=n7,所以所以cardA=0(2)结构双射函数结构双射函数g:NA,g(n)=n109,所以所以cardB=0(3)可数集并依旧是可数集，所以可数集并依旧是可数集，所以card(A B)0,不过不过card(A B)cardA=0,从而得到从而得到card(A B)=0.(4)因为因为7与与109互素，互素，card(A B)=n7 109|n N，与与(1)类似得到类似得到card(A B)=059/60597.已知已知cardA=0,且且cardBcardA,求求card(A B)练习练习7解解由由A B A 得到得到card(A B)cardA,即即card(A B)0由由cardBcardA 可知可知B 为有穷集，即存在自然数为有穷集，即存在自然数n使得使得cardB=n.假设假设card(A B)0，那么存在自然数，那么存在自然数m，使得，使得card(A B)=m从而得到从而得到cardA=card(A B)B)n+m，与与cardA=0矛盾矛盾.所以，所以，card(A B)=0.60/6060