资源描述
1/42一、基本概念观察以下曲面侧观察以下曲面侧(假设曲面是光滑假设曲面是光滑)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2/42曲面分类曲面分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.经经典典双双侧侧曲曲面面要求要求法向量法向量方向来区分曲面两方向来区分曲面两侧侧.3/42莫比乌斯带莫比乌斯带经典经典单侧曲面单侧曲面:播放播放4/42曲面法曲面法向量指向向量指向决定曲面决定曲面侧侧.决定了侧曲面称为决定了侧曲面称为有向曲面有向曲面.曲面投影问题曲面投影问题:5/42 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面投影面投影:希自己写出希自己写出希自己写出希自己写出在在xOy面上面上投影投影在在xOy面上投影区域面积附以一定面上投影区域面积附以一定实际上就是实际上就是正负号正负号.二面角二面角.6/42二、概念引入实例实例:流向曲面一侧流量流向曲面一侧流量.7/428/421.分割分割则该点流速为则该点流速为 .法向量为法向量为 .9/422.求和求和10/423.3.取极限取极限11/42三、概念及性质三、概念及性质12/42被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义13/42存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:14/42性质性质:15/42四、计算法16/42注注:当曲面当曲面 母线平行于母线平行于z轴柱面时轴柱面时,17/42注意注意:对坐标曲面积分对坐标曲面积分,必须注意曲面所取侧必须注意曲面所取侧.18/42解解19/42极坐标极坐标20/42 计算计算对坐标曲面积分对坐标曲面积分时时:(1)认定对哪两个坐标积分认定对哪两个坐标积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量函数这两个变量函数,并确定并确定投影域投影域.(2)将将 方程代入被积函数方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上二重积分二重积分.(3)依据依据侧侧(法向量方向法向量方向)确定二重积分确定二重积分前正负号前正负号.一投一投二代二代三定号三定号21/42 例例其中其中是是所围成正方体表面所围成正方体表面24563 先计算先计算因为平面因为平面都是都是母线平行于母线平行于x轴柱面轴柱面,则在其上对坐标则在其上对坐标y,z积分为积分为0.解解三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧.122/42x=a面在面在yOz面上投影为面上投影为正正,而而x=0面在面在yOz面上投影为面上投影为负负.投影域均为投影域均为:0ya,0za,故故由由 x,y,z 对等性对等性知知,所求曲面积分为所求曲面积分为 3a4.后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.24563123/42五、两类曲面积分之间联络24/4225/42两类曲面积分之间联络两类曲面积分之间联络26/42向量形式向量形式27/4228上侧为正上侧为正,下侧为负下侧为负化为二重积分化为二重积分一投一投二代二代三定号三定号向量点积法向量点积法(合一投影法合一投影法)28/4229前侧为正前侧为正,后侧为负后侧为负若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 x=x(y,z)给出给出,在在yOz面上投影区域为面上投影区域为Dyz,函数函数x(y,z)在在Dyz上上含有含有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分29/4230若光滑有向曲面若光滑有向曲面由方程由方程 y=y(x,z)给出给出,在在xOz面上投影区域为面上投影区域为Dxz,函数函数y(x,z)在在Dxz上上含有含有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则化化为为二二重重积积分分右侧为正右侧为正,左侧为负左侧为负30/42解解 在在xOy面上投影面上投影区域为区域为Dxy:31/42对称性对称性32/42 例例其中其中解解 法一法一 直接用直接用对坐标曲面积分对坐标曲面积分计算法计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为因为因为取上侧取上侧,在第一卦限部分在第一卦限部分上侧上侧.面投影面投影都是都是正正,33/42取上侧取上侧 -+-1010d)222(dxyxyxx34/42法二法二 利用利用向量点积法向量点积法计算计算.取取上侧上侧,锐角锐角.则法向量则法向量n与与z轴正向夹角为轴正向夹角为35/42六、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面侧曲面侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”3、两类曲线积分之间联络、两类曲线积分之间联络向量点积法向量点积法(合一投影法合一投影法)36/42思索题思索题37/42思索题解答思索题解答此时此时 左侧为左侧为负负侧，侧，而而 左侧为左侧为正正侧侧.38/42作作 业业习题习题9-5(1559-5(155页页)2.(1)(2)(3)3.39/42练练 习习 题题40/4241/42练习题答案练习题答案42/42
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
