4年级奥数-等差数列求和一名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

小学四年级奥数小学四年级奥数第1页小故事小故事 一位教师布置了一道很繁杂计算题，要求学生把1到 100全部整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案小石板交了上去。1+2+3+4+.+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发觉全班唯一正确答案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊是男孩算法.第2页小故事小故事 老师发觉：第一个数加最终一个老师发觉：第一个数加最终一个数是数是101，第二个数加倒数第二个数，第二个数加倒数第二个数和也是和也是101，共有共有50对这么数，对这么数，用用101乘以乘以50得到得到5050。这种算法是。这种算法是教师未曾教过计算等级数方法，高斯教师未曾教过计算等级数方法，高斯才华使老师才华使老师彪特耐尔十分激动，彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩了。已经没有什么可教这位男孩了。卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高高斯斯 此男孩叫高斯，是德国数学家、此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大数学家之一，和阿基米德、上伟大数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。牛顿并列，同享盛名。第3页第一讲第一讲 四则运算四则运算（等差数列求和）（一）（等差数列求和）（一）第4页等差数列主要内容等差数列主要内容1、等差数列基本知识、等差数列基本知识2、等差数列项、等差数列项3、等差数列和、等差数列和第5页一、等差数列基本知识一、等差数列基本知识第6页（1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030 像这么按照一定规律排列成一列数我们称它为像这么按照一定规律排列成一列数我们称它为数列数列数列中每一个数称为数列中每一个数称为一一项项；第第1 1项称为项称为首项首项；最终最终1 1项称为项称为末项末项；在第几个位置上数就叫在第几个位置上数就叫第几项第几项；有多少项称为有多少项称为项数项数；（一）数列基本知识（一）数列基本知识第7页（二）等差数列基本知识（二）等差数列基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1）（公差（公差=2）（公差（公差=5）经过观察，我们能够发觉上面每一个数经过观察，我们能够发觉上面每一个数列中，从第一项开始，后项与前项差都相列中，从第一项开始，后项与前项差都相等，含有这么特征数列称为等，含有这么特征数列称为等差数列等差数列，这，这个差称为这个数列个差称为这个数列公差公差。第8页二、等差数列项二、等差数列项第9页数列：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项：3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项：5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项：7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项：9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1）第第6项：项：11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1）等差数列通项公式：等差数列通项公式：等差数列某一项等差数列某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列末项等差数列末项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列首项等差数列首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：适用条件：该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列第10页等差数列某一项等差数列某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它第）它第10项是多少？项是多少？（2）它第）它第98项是多少？项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同余数？）这个数列各项被几除有相同余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项：2+3（10-1）=29 （2）第）第98项：项：2+3（98-1）=293 第11页等差数列某一项等差数列某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（3）这个数列各项被几除有相同余数？）这个数列各项被几除有相同余数？分析：分析：被除数被除数=余数余数+除数除数商商 等差数列某一项等差数列某一项=2+3（项数（项数-1）规律：规律：等差数列某一项与被除数相对应，首项与余数相对等差数列某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。）与商相对应。这个数列每这个数列每1项除以项除以3都余都余2。等差数列每等差数列每1项除以它公差，余数相同。项除以它公差，余数相同。答：这个数列第答：这个数列第10项是项是29；第；第98项是项是293；这个数列；这个数列各项除以各项除以3余数相同。余数相同。第12页例例2 已知数列已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有，这个数列有多少项。多少项。分析：第分析：第2项比首项多项比首项多1个公差，第个公差，第3项比首项多项比首项多2个个公差，第公差，第4项比首项多项比首项多3个公差个公差，那第，那第n项比首项项比首项多（多（n-1)个公差。个公差。规律：规律：末项比首项多公差个数，再加上末项比首项多公差个数，再加上1，就得到这个，就得到这个数列项数。数列项数。等差数列项数等差数列项数=公差个数公差个数 +1 =（末项（末项-首项）首项）公差公差+1这个数列项数这个数列项数=（17-2）3+1=6第13页小结：小结：等差数列项相关规律等差数列项相关规律等差数列某一项等差数列某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列每等差数列每1项除以它公差，余数相同。项除以它公差，余数相同。等差数列项数等差数列项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1第14页练习练习1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（。（1）它第）它第21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？2、一串数：、一串数：2、4、6、8、。（。（1）它第）它第25项是多项是多少少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？3、一串数：、一串数：101、102、103、104、199。（。（1）它第它第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？4、一串数：、一串数：7、12、17、22。（。（1）它第）它第60项是项是多少多少?（2）这个数列各项被几除有相同余数？）这个数列各项被几除有相同余数？第15页练习答案：练习答案：1、它第、它第21项项=1+2（21-1）=41；这个数列项数这个数列项数=（49-1）2+1=25；2、它第、它第25项项=2+2（25-1）=50；这个数列项数这个数列项数=（-2）2+1=1004；3、它第、它第30项项=101+1（30-1）=130；这个数列项数这个数列项数=（199-101）1+1=994、它第、它第60项项=7+5（60-1）=302；这个数列各项被这个数列各项被5除有相同余数。除有相同余数。（提醒：等差数列每（提醒：等差数列每1项除以它公差，余数相同。）项除以它公差，余数相同。）第16页二、等差数列和二、等差数列和第17页例：例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=6，末项，末项=38，公差，公差=4原数列和：原数列和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来和：倒过来和：38+34+30+26+22+18+14+10+6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和两数列之和=（6+38）9解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列和等差数列和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2第18页例：计算例：计算1+6+11+16+21+26+.+276分析：这是一个等差数列；首项分析：这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=276，公差，公差=5 等差数列和等差数列和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2？等差数列项数等差数列项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1解：等差数列项数：解：等差数列项数：（276-1）5+1=56（项）（项）原数列之和原数列之和=（1+276）562 =27728 =7756第19页练习练习1、计算、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+99第20页练习答案：练习答案：解：（解：（1）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=37，公差，公差=3,项数项数=（37-7）3+1=11 和和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=403，公差，公差=4，项数项数=（403-7）4+1=100 和和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=9，末项，末项=99，公差，公差=10，项数项数=（99-9）10+1=10 和和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=99，公差，公差=2，项数项数=（99-1）2+1=50 和和=（1+99）502=2500第21页等差数列知识总结：等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列任意一项或项数怎样求出等差数列任意一项或项数怎样求出等差数列前几项和怎样求出等差数列前几项和必须切记等差数列基本公式和主要结论必须切记等差数列基本公式和主要结论1、等差数列某一项、等差数列某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）2、等差数列项数、等差数列项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+13、等差数列和、等差数列和=（首项（首项+末项）末项）项数项数24、等差数列每、等差数列每1项除以它公差，余数相同。项除以它公差，余数相同。第22页