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对称矩阵的性质及应用

班级：数学1403班 学号：20142681 姓名：张庭奥

内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。

关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用

1. 导言

矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。

2.具体内容部分
2.1对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。
2.1.1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵，记为矩阵的转置.若矩阵满足条件，则称为对称矩阵.由定义知：
（1）对称矩阵一定是方阵
（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即，对任意、都成立。对称矩阵一定形如
定义2 形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵
定义3 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵。
定义4 若矩阵满足，则称为反对称矩阵。由定义知：
（1）反对称矩阵一定是方阵。
（2）反对称矩阵的元素满足，当时，，对角线上的元素都为零。反对称矩阵一定形如。
下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。
2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。
证 设、是阶对称矩阵，即,.则：
，，
性质2 设为阶方阵，则，，是对称矩阵
证 因为，则是对称矩阵。
因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵。
性质3 设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵（反对陈矩阵）
证 （1）因为可逆，，，所以是对称矩阵。
（2）因为可逆，，，则是对称矩阵。
性质4 任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
证 设为矩阵，，由性质2易证是对称矩阵，，则是反对称矩阵。
性质5 设为对称矩阵，与是同阶矩阵，则是对称矩阵。
证 因为,所以是对称矩阵。
性质6 设、都是阶对称矩阵，证明：也对称当且仅当、可交换。
证 必要性：若为对称矩阵，则，又，，因此，、可交换。
充分性：若，则，为对称矩阵。
2.1.2.1 对称矩阵的对角化
任意一个阶矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案。
2.2.2.2 对称矩阵可对角化的相关理论证明
定理1 实对称矩阵的特征值都是实数。
证 设是阶实对称阵，是的特征值，是属于的特征向量，于是有.令，其中是的共轭复数，则，考察等式，其左边为，右边为。故=，又因是非零量，故，即是一个实数。
注意，由于实对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组为实系数方程组，由知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。此定理的逆命题不成立。
例如，，，均为实数，而不是对称的。
定理2 设是实对称矩，定义线性变换,
（1）
则对任意向量，有或。
证 只证明后一等式即可。。
定理3 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交。
证 设是的两个不同的特征值，分别是属于的特征向量：,。定义线性变换如定理2中的（1），于是，。由，有。因为，所以。即正交。
定理4 对任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成为对角形且对角线上的元素为的特征值。
证 设的互不相等的特征值为，它们的重数依次为。则对应特征值，恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，这样的特征向量共可得个。由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这个单位特征向量两两正交。以它们为列向量作成正交矩阵，则，其对角矩阵中的对角元素含个，…,个，恰是的个特征值。
2.2.2.3 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例
定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形。定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵对角化找出正交阵的方法，具体步骤如下：
（1）求出实对称矩阵的全部特征值。
（2）对每个，由求出的特征向量.
（3）用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组。
（4）以这组向量为列，作一个正交矩阵，它就是所要求的正交阵。
根据上述讨论，下面举例说明。
例1 求一正交矩阵，将实对称矩阵化为对角阵。
解 由于，的特征值为
，。
对，由得基础解系，
对，由得基础解系，，与恰好正交，所以，，两两正交。
再将，，单位化，令，得，，
，于是得正交阵，
则。
例2 设，求。
解 （1）先将对角化求出正交阵。
，。
由，分别得基础解系，。则
，，则。
（2）利用求。

2.1.2.2 对称矩阵的正定性
二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价。以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法。
正定矩阵的定义
定义1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有。
定义2 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定。
由定义可知：
（1）二次型是正定的，因为只有在时，才为零。一般地，不难验证，实二次型是正定的当且仅当.非退化的线性替换保持正定性不变。
（2）任意阶实对称矩阵正定就是指，对于任意维非零列向量，都有。
（3）复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可。
（4）正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵。事实上，设、都是阶正定矩阵，则对于任意非零列向量，有，，那么，
，所以仍是正定矩阵。
对称矩阵正定性的判别
定理1 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
证 设二次型经过非退化实线性替换变成标准形
（1）
上面的讨论表明，正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当，即正惯性指数为。
由定理1可以得到下列推论：
（1）实对角阵正定的充要条件是。
（2）实对称矩阵正定的充要条件是的秩与正惯性指数都等于。
（3）实对称矩阵正定的充要条件是的特征值全为正。事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，可对角化为，是的特征值，正定即二次型正定，而的标准形为，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有，的特征值全为正。
定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。
证 由定理1可知，正定二次型的规范形为，而规范型的矩阵是单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。
由此得：
（1）正定矩阵的行列式大于零。由于正定矩阵与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使，两边取行列式，就有。
（2）正定矩阵的逆仍是正定矩阵。首先正定矩阵的逆仍是对称矩阵，又与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵使，两边取逆，令，则，所以也与单位矩阵合同。
有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：
定义3 子式称为矩阵的顺序主子式。
定理3 实二次型或矩阵是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零。
证 必要性：设二次型是正定的。对于每个，，令。我们来证是一个元的正定二次型。对于任意一组不全为零的实数，有
。因此是正定的。由上面的推论，的矩阵的行列式，。这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零。
充分性：对作数学归纳法，当时，，由条件显然有是正定的。
假设充分性的论断对于元二次型已经成立，现在来证元的情形。令，，于是矩阵可以分块写成。既然的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定，是正定矩阵，换句话说，有可逆的级矩阵使，这里代
表级单位矩阵。令，于是
。
再令，有
。
令，，就有。两边取行列式，.由条件，，因此。显然
。
这就是说，矩阵与单位矩阵合同，因之，是正定矩阵，或者说，二次型是正定的。根据归纳法原理，充分性得证。
应用定理3完成下题。
例3 若二次型正定，则的取值范围是什么？
解 设对应的矩阵为，则，它的三个顺序主子式为
，，。
所以当时，即时，为正定二次型。
2.2 应用举例
例4 设均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵使的充要条件是的特征多项式的根全部相同。
证 必要性：由条件可知相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证。
充分性：设的特征多项式的根全部相同，记它们为，则存正交阵使，，那么，所以，取为正交阵，则有。
例5 欧式空间中的线性变换称为反对称变换，若
。证明：反对称当且仅当在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵。
证 充分性：设是线性变换在标准正交基下的矩阵，且反对称，即，任给，记，则有，那么
，所以为反对称变换。
必要性：设是反对称变换，且，其中矩阵，为的标准正交基，那么，
，。
因此，所以。即知为反对称矩阵。
例6 设阶正定阵，阶实对称阵。证明：的特征值为实数。
证 设，其中，由于正定，则存在且正定，则，那么
。
因此，则。又也正定，且，则，则，即为实数。

3.总结

本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等。其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题。
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