采样定理在冲击回波法检测混凝土内部损伤中的应用研究.pdf

第 2 1 卷第 3 期2023年 6 月17工业技术与职业教育Industrial Technology&Vocational Education采样定理在冲击回波法检测混凝土内部损伤中的应用研究杨海林（唐山工业职业技术学院，河北 唐山 063299）摘 要：针对冲击回波法检测混凝土内部损伤产生的连续波形信号，通过理论分析与实例验证，研究了采样定理在信号处理过程中的应用，结果表明：采样问题是信号处理领域的核心问题，连续信号和离散信号在一定条件下可以互相转换；当采样周期小于正弦信号周期的一半时，离散信号可以恢复成原始连续信号；当采样周期等于波形信号的半周期时，采样定理能在特定条件下应用；采样周期越小，得到的采样信号越好，实际工程中，在综合考虑计算系统承受能力的情况下可适当提高采样频率。关键词：连续信号；离散信号；采样周期；采样定理；冲击回波中图分类号：TU375 文献标志码：B 文章编号：1674-943X(2023)03-0017-05StudyontheApplicationofSamplingTheoremintheDetectionofConcreteInternalDamagebyImpact-EchoMethodYANG Hailin(Tangshan Polytechnic College,Tangshan 063299,China)Abstract：Aiming at the continuous waveform signal generated by the impact-echo method to detect the internal damage of concrete,the application of the sampling theorem in the signal processing was studied through theoretical analysis and practical verification.The results show that:the sampling problem is the core problem in the field of signal processing,and continuous signal and discrete signal can be mutually converted under certain conditions;when the sampling period is less than half of the sinusoidal signal period,the discrete signal can be restored to the original continuous signal;when the sampling period is equal to the half period of the waveform signal,the sampling theorem can only be applied under certain conditions;the smaller the sampling period is,the better the sampling signal will be obtained.In practical engineering,the sampling frequency can be appropriately increased under the condition of comprehensively considering the bearing capacity of the calculation system.Keywords:continuous signal;discrete signal;sampling period;sampling theorem;impact echo0 研究背景 冲击回波检测法（IMPACT-ECHO-METHOD，简称 IE）是一种可应用于混凝土内部损伤探测的新型无损检测法，目前被广泛应用于高速公路、铁路、桥梁、建筑、隧道衬砌、水工大坝、港口码头、防洪堤等混凝土结构内部缺陷的检测。特别是对混凝土厚度的检测精度较高，可以达到 3%。IE 法检测原理如图 1 所示。小钢球冲击产生的位移压电信号以连续波形的形式被传感器记录并输出，再通过 FFT（快速傅里叶变换）就可得到所需的频率图谱，分析图谱就可判断混凝土厚度及内部缺陷信息。由于测试仪器产生的波形信号是连续的，但数字处理技术无法直接对连续信号进行变换，因此要进行离散化处理。能否快速准确地对连续信号进行离散化就成了影响冲击回波检测精度的重要内容，笔者将对这个问题进行深入研究。图 1 冲击回波检测法原理图当前关于连续信号离散化的研究主要有：胡晓晓等1针对傅里叶变换和线性正则变换下采样收稿日期：2022-09-30基金项目：20212022 年度唐山工业职业技术学院院级课题“冲击回波法检测火灾后混凝土内部损伤的应用研究”（课题编号：YJKT202110），主持人杨海林。作者简介：杨海林（1987-），男，河北唐山人，硕士，唐山工业职业技术学院讲师，主研方向为桥梁工程防灾减灾。第 21 卷18工业技术与职业教育定理的应用进行了研究，讨论了不同采样公式在不同变换中的关系，分析了采样公式的截断误差，最后通过有限元模拟进行了验证；刘晓萍等2发现傅里叶变换过程中的非带限信号并不一定完全无带限，研究了分数傅里叶变换的信号采样方法，构建了一般函数空间采样与重构方法；库福立等3针对小波子空间上的信号处理进行了研究，通过二维四向多分辨率构建了 Shanon 采样定理的均匀与非均匀采样公式，为采样定理在工程中的进一步应用提供了支撑；周盼盼等4基于阶梯型滤波器对非带限信号的采样进行了研究，并对不同形式滤波器下的采样定理进行了证明，研究了采样误差。采样问题是信号处理领域的核心问题，综合上述研究成果，又查阅了相关文献5-10，发现当前关于采样定理在冲击回波检测混凝土内部损伤过程中的应用成果不丰富。本文通过大量的理论分析，研究了正弦信号和一般波形信号的采样定理，为冲击回波检测过程中波形信号的处理提供了理论基础。1 信号离散化概述 波形采集信号可以看作自变量为(-,+)的连续函数，但计算机无法直接对连续信号进行变换，需要先将进行离散化，分层完成后再将离散信号转换成连续信号输出。通常可以通过间隔采样达到离散化的目的，假设采样间隔（或采样周期）为，则可转换为离散信号（=,-2,-1,0,1,2,），如图 2 所示。图 2 间隔采样后连续时间信号的离散化下面举例说明，假设连续信号，则离散信号。假设连续信号，则离散信号。观察图 1，发现为连续曲线的一部分，为整体，为局部。整体能够分解成局部，局部如果能在一定条件下反映整体，就能够实现连续信号和离散信号之间的转换。2 正弦信号采样定理冲击回波测试过程中产生的波形是一个连续信号，这种连续信号的本质是多个正弦信号的叠加。因此，要研究波形信号的采样问题，可以先研究正弦信号，从而将复杂的问题简化，最后得出连续波形信号的采样规律。正弦信号如图 3 所示。如图 3 所示，正弦信号为时间t的连续函数，用式（1）表示。式（1）中A代表振幅，代表频率，代表初相位。（1）图 3 正弦信号波形首先对进行离散，可以设置时间为 的采样间隔，则将式（1）离散化后可得式（2）。（2）下面研究如何将离散后的信号输出为连续信号，即将恢复成。由式（1）发现，如果能得到A、的准确值，则可确定唯一的，下面详细研究A、的值如何确定。正弦波的周期T=1/，采用周期 为，与T的大小将直接影响分析结果的唯一性，下面分三种情况具体分析。2.1 等于T/2 的情况当=T/2=1/(2)时，式（2）可变换为式（3）。（3）当=0 时，式（3）简化为式（4）（4）下面取另一组值A1、1，则可得到连续信号式（5）和离散信号式（6）。（5）（6）由式（6）可知，无法通过一个值确定一条波形曲线，即当=T/2 时，无法确定唯一的连续正弦函数，采用过程中要避免这种情况。2.2 大于T/2 的情况当 1/(2)时，即1/(2)，存在一个频率1大于 1/(2)，即1=+/，其中0 且为整数，使和相同。当1/(2)时，必然存在一个整数（1），使式（7）成立，化简后得到式（8）。（7）（8）第 3 期19杨海林:采样定理在冲击回波法检测混凝土内部损伤中的应用研究下面分两种情况具体讨论式（8）。1）当-/0 时，令1=-/，1=2，则=A1sin(21+1)和的离散信号相同。2）当-/0 时，令1=/-，1=-，因 为-1/(2)-/-0，即 011/(2)时，不同的正弦波与的离散信号相同，所以由无法确定唯一的。2.3 小于T/2 的情况当 1/(2)时，即1/(2)，根据上的三个点就可以确定的A、值，所以可确定唯一的。当 02时，s(0)=s(0)=Asin，于是可得式（10）。（10）下面分两种情况讨论式（10）。1）当s(0)0 时，由于s(-)+2s(0)=cos(2)，可确定唯一的 2，同时 02，则为唯一值。下面分析如何根据式(11)确定A、。（11）将式（11）变形为式（12），根据式（12）可知，可以确定A、的唯一值。（12）所以，通过s(-)，s(0)，s()三点可以确定A、的唯一值。2）当s(0)=0 时，可 以 知 道=0 或=，则s()=Acossin(2)，02 0，再根据s()为正数还是负数就可以确定=0 或=，根据式（13）还可以确定。当确定了、的唯一值后，由s()=Acossin(2)可确定A的唯一值。（13）所以，通过s(0)，s()，s(2)三点可以确定A、的唯一值。综上，可以得出正弦波采样定理：对于正弦信号=Asin(2 t+)，其中t=，=,-2,-1,0，1,2,当1/(2)时，离散信号不可恢复成唯一正弦曲线。3 一般信号采样定理从正弦信号的研究可知，要想将离散信号恢复成连续信号，必须满足1/(2)。一般波形信号可以看作是多个正弦波的叠加，波形和频谱见式（14）和式（15）。（14）（15）分析式（14），对于，当X()0 时，表明包含了 的谐波。由恢复出，表明包含的谐波能唯一地确定出来。当X()=0 时，表示表明不包含 的谐波。下面具体讨论X()0 的情况，当 无限大时，1/(2)趋近于 0，则=0，此时不能由离散信号恢复出来，发现要恢复成，X()和 必须满足两个条件：（1）X()有截止频率C，即时X()=0。（2）1/(2c)或c 1/(2)。条件（1）（2）直观含义见图 4。图 4 条件（1）（2）直观意义观察图 4：对于条件（1）的频率都没有超过，所以可以看作谐波的叠加，且，由于T=1/，则 1/cTc时X()=0。c为截止频率，所以满足采样定理条件（1），只需满足条件（2），即 1/(2c)，就可以恢复唯一的正弦信号。下面讨论 值对离散信号的影响。分别取不同的 值，求得的采样分布见图 6，其中图 6（a）中 值 分 别 为 1/(16c)、1/(8c)、1/(4c)，图 6（b）中 值为 1/(2c)。当=1/(16c)时，分别令=0,1,2,3,，可求得离散信号分布情况。同理，可求得=1/(8c)、=1/(4c)时离散信号的分布，如图 6（a）所示。观察图 6（a），发现将这些离散点连接后得到的平滑曲线与初始连续信号接近，认为采样间隔=1/(16c)、=1/(8c)、=1/(4c)是合适的。当=1/(2c)时，情况发生了变化，离散信号见式（26）。式（26）中 0 2，=0,1,2,3,，离散分布如图 6（b）所示。第 3 期21（a）=1/(16c)、1/(8c)、1/(4c)时的离散值分布（b）=1/(2c)时的离散值分布图 6 不同采样周期函数离散值分布示意图 （26）分析式（26），发现 sin值会对结果产生影响：1）当 sin =0 时，=0，采样值为 0；2）当0 sin1 时，求得的离散值振幅小于原信号的振幅；3）当 sin =1 时，则=(-1)A，与原信号的振幅相同，但此时必须保证采样初始点正确，即满足 =/2。通过实例可以看出，上述采样定理对单频波形信号=1/(2c)是不完全适用的，只有 sin =1，即 =/2 时才能由离散信号恢复成连续信号，当 1/(2c)上述采样定理完全适用。综上发现：当采用周期 越小时，采样频率 值越高，得到的离散信号和原始连续信号的幅值越接近。因此，为了达到良好的采样信号，实际工程中的采样频率要高于最低采样频率的理论值，有时甚至高出几十倍。但也不能无限提高采样频率，此时会极大地增加采样系统的运算量，反而对信号恢复产生负面影响。因此，要根据实际情况选用合理的 值。5 结论运用理论计算研究了采样定理在冲击回波检测混凝土内部损伤中的应用，总结了连续信号和离散信号之间转换的方法，并对采样定理在波形信号处理中的应用进行了实例验证，得出以下结论：1）冲击回波信号可以看作是多个正弦信号的叠加，当采样周期小于正弦信号周期的一半时，离散信号可以恢复成原始连续信号；2）一般离散信号的恢复过程较正弦信号复杂，但同样要求满足采样周期小于一般波形信号的半周期；3）当采样周期等于波形信号的半周期时，采样定理不完全适用，只有当 =/2时才可以应用；4）当采样周期越小，即频率越高时，采样效果越好，实际工程中的采样频率必须高于最低采样频率的理论值，为了提高采样效果，在综合考虑计算系统承受能力的情况下可以适当提高采样频率。1 胡晓晓,程冬,高洁欣.基于四元数傅里叶变换和线性正则 变换的二维四元数信号采样定理 J.Frontiers of Information Technology&Electronic 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