混凝土损伤力学中的分形应用研究.pdf

l 9 4 四川建筑科学研究 S i c hu a n Bu i l d i ng S c i e n c e 第 3 7卷第 1 期 2 0 1 1 年 2月 混凝土损伤力学中的分形应用研究 孙洪泉 ， 张翔 ， 王毅欣 ， 丁 俊 ( 苏州科技学 院土木工程学 院 ， 江苏 苏州2 1 5 0 1 1 ) 摘要： 利用分形几何的原理 ， 通过对混凝土骨料进行研究得出骨料分维数和级配关系， 进而讨论了混凝土断面分形测量方 法的优缺点， 并给出了相关裂纹扩展的分形几何模型。 关键词： 分形几何； 混凝土； 骨料级配； 断裂面； 裂纹 中图分类号： T U 5 2 8 1 文献标识码： A 文章编号： 1 0 0 81 9 3 3 ( 2 0 1 1 ) 0 11 9 4 0 3 Ap p l i c a t i o n o f da ma g e me c h a n i c s o f c o n c r e t e o n f r a c t a l s S UN Ho n g q u a n ， Z HANG X i a n g ， WANG Yi x i n， DI NG J u n ( S c h o o l o f C i v i l E n g i n e e r i n g ， U S I S ， S u z h o u 2 1 5 0 1 1 ，C h i n a ) Ab s t r a c t ： Us i n g t h e t h e o r y o f f r a c t a l g e o me t r y ，b y s t u d y i n g o f c o n c r e t e a g g r e g a t e，t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n a g g r e g a t e f r a c t a l d i me n s i o n a nd a g g r e g a t e r a t e i s o b t a i n e dTh e n t h e r e l a t i o ns h i p o f t h e a d v a n t a g e s a n d d i s a dv a nt ag e s o f f r a c t a l me a s u r e me t h o d o n c o n c r e t e s e c t i o n i s d i s c u s s e d T h e f r a c t a l g e o me t r y mod e l o f c r a c k p r o p a g a t i o n i s g i v e n Ke y wo r ds： f r a c t a l g e o me t ry ； c o nc r e t e； agg r e g a t e r a t e； f r a c t u r e s u r f a c e； c r a c k s 0 前言 分形几何学是 由 Ma n d e l b o r t 在 1 9 7 3年创建的， 其为描述复杂问题提供了一个得力的方法 ， 分形的 核心是 自相似性 ， 分形 的特征量是分维数。分形 理论的主要价值在于在极端有序和真正混沌之间提 供了一种可能性， 使人们可以抛开复杂的表面现象 ， 从中提取本质的、 规律性 的东西， 从而大大拉近 了人 们的认知 能力 与所研 究 问题 的复杂性 之 问 的距 离 。 分形理论认为： 一个 曲折、 不光滑可以用 1 2 之间的分数来表示其位数 ， 称为分维数。同样， 一个 粗糙不平的表面或一个千疮百孔的海绵可以用 2 3之间的维数来描述。分维数能够有效地反映研究 对象填充空间的程度。纯粹的分形要具有 自相似性 和标度不变性 ， 但从简单严格的数学分形推广到 自 然界存在的大量复杂统计分形、 自防射分形 和多重 分形 ， 不可避免地要遇到有限陛、 物理性和可变性等 问题 ， 因此 ， 针对某一具体研究对象 ， 深入探讨其分 形体特征和分维数计算方法是应用分形理论的前提 和 关键 。 收稿 日期 ： 2 0 0 9 - 0 8 1 0 作者简介： 孙洪泉 ( 1 9 5 4一) ， 男， 江苏盐城 人， 教授 ， 博士 ， 主要从事 工程力学、 土木工程、 数学地质 、 分形理论 与应用的教学与研究。 E ma i l ： h q s u n ma i l u s ts e d u c n 混凝土作为一种工程材料 ， 无论在形成还是工 作过程 中均表现一系列的分形特征。首先是骨料级 配的分形效应 ， 有质量分形、 体积分形等； 其次是其 在受荷破坏下裂缝 的形成及发 展都表现 出分形特 征， 尤其是混凝土宏观形式上所表现出来 的非确定 性、 模糊性 、 非线性等特征 ， 充分反映了微观结构复 杂性 J 。正是 由于其 内部结构的极端复杂化 ， 人们 一 直无法有效地对其进行分析。引人分形理论后 ， 从各个方向分析混凝土相关 的各种分形效应， 都具 有实质性的意义。 1 分形原 理 维数是几何对象的一个重要特征量 ， 按传统 的 描述 ： 点是零维 ， 直线是一维 ， 平面是二维， 体积是三 维 。但在现实 中， 几 乎没有真正的直线 、 真正光 滑的物体存在。因此 ， 传统分维数描述只是一个理 想化的描述 ， 而分形维数却能定量地描述。 设有一条 曲线 ， 用长度为 s的尺子去测量， 其长 度 ( 8 )为 ： L= ( 占 ) ( 1 ) 1 ( )= ( 2 ) 式中 测量的码尺 ； N( ) 用码尺 8测量的次数 ， 即盒子数 ； d 拓扑维数。 孙洪泉 ， 等： 混凝土损伤力学中的分形应用研究 1 9 5 将式( 2 )两边取对数 ， 得拓扑维数关系式 ： d： ( 3 ) l n 对 ( 3 ) 式取极限， 得 Ha u s d o r ff分维数的关系式 ： D ：l i m ( 4 ) l n 该公式的前提在于分维 D大于拓扑维 ， 但小于 分形所在的空间维 ， 该公式的提出， 为后面分析骨料 级配和裂纹的开展提供好 的依据。 2 混凝土骨料 的分形特征 由于混凝土是 由粗细不一、 级配不 同的骨料组 成的。首先 ， 由于骨料本身形状 的不规则性 ， 所 以， 骨料颗粒表面便构成了一种分形 ； 其次 ， 当不同尺寸 的骨料混合后 ， 代表骨料尺寸的粒径分布也 构成 了 一 种分形 ； 再次 ， 由于粒径分布分形而导致的质量分 布函数 ( 通过率 ) 、 体积、 孔隙率等也构成 了多种分 形。由此可见 ， 混凝土骨料存在着多种层次的分形。 2 1 混凝土骨料粒径级配分形 根据无穷破碎体分形原理 ， 对混凝土骨料颗粒 进行研究 ， 骨料的粒径尺寸分布函数 为： = = - D 毛 -D 骨料的质量级配分布函数式为： 附 = = 由此可见 ， 骨料的质量级配也可近似地认为是 一 种分形 。当式中 r 表示筛子的孔径时 ， ( 6 ) 式也表 明级配骨料的通过率。 2 2混凝土骨料的体积分形和孔隙分形 由( 5 ) 式同样可以推导出骨料的体积分布函数 ： ( r ) ，= = = p 可以看出， 骨料质量级配分布函数与体积分布 函数的表达式相同 ， 当 r i 很小时 ， 同样有 ( r )：( ) ( 8 ) 由体积分形得到孔隙分形分布函数为： ( r ) ( r ) ， = 年= 一 P =V ( r ) ( 1一 ) ( 9 ) 由此可以看 出， 孔隙分形分布函数与体积分形 分布函数密切相关。在土木工程材料中， 1一 为 P 孑 L 隙比， 由式( 9 ) 可知 ， 体积分形分布函数与孑 L 隙分 布函数 的比值为孔隙 比， 这也符合对土木工程材料 的一般认识 。 3 混凝土损伤的分形效应 混凝土在受荷载或裂损压时， 在其断裂面、 磨蚀 面等损伤表面形成三维规则几何表面， 在统计意义 上遵循分形的基本规律 。近年来 ， 围绕断裂现象 对混凝土强度和断裂能 的尺寸效应 、 裂缝尖端应力 场的奇异性、 裂纹状态及其扩展过程 和混凝土疲劳 损伤与开裂等的研究一直是工程 的热点， 而分形理 论的核心 内容为分维 。因此 ， 如何求出混凝土损 伤表面的分维是非常重要的。 3 1 分形 几何在 混 凝土 断裂面 分析 中 的应 用 混凝 土内部裂纹扩散具有较明显 的分形特征 ， 可以采用分形方法研究 ， 并定 量描述研究 混凝土的 内部断裂行为。 目前 ， 断面的分形测量方法主要有 以下几种。 3 1 1 变步距 法 这是 E r w i n U n d e r w o o d研究断裂表面时所用 的 方法。使用这个方法， 必须得到垂直于断裂表面切 割而得到的剖面轮廓线。其缺陷在于 ， 在测量过程 中， 不仅会对断裂面造成破坏 ， 影响精度 ， 而且 ， 在一 定程度上表现出“ 笨拙” 的现象。 3 1 2小 岛法 小岛法也称周 长一面积 ( LA) 关 系方 法， 由 Ma n d e l b r o t 提出。该方法 由一 系列周长和面积数据 的双对数图上直线大斜率， 可以得到分形维数 D为 斜率的 2倍 。其缺陷在于 ， 在测量过程中， 会对断裂 面造成破坏， 进而影响精度。 3 1 3断 口剖面分析 该方法由 Ma n d e l b r o t ， P a s s o j a等提出 ， 其基本原 理与小岛法一样， 主要 区别在于分析波形方面采用 傅立叶变换分析。具体作法 为， 在断面上截取一个 剖面后 ， 选定许多条相互垂直大剖面曲线 ， 沿平行和 垂直与作用力的方向， 取 l 0 2 0条剖面线进行分形 曲线长度测量 ， 对所测定的分形维数进行平均 ， 用平 均值来代表该断面表面的粗糙程度和分形性质。该 方法具有与小岛法同样的缺陷。 1 9 6 四川建筑科学研究 第 3 7卷 3 1 4投 影覆盖 法 这是谢和平等人采用的一种测量断裂面分数维 的方法。该方法采用无接触激光表面测量技术 ， 利 用覆盖断裂表面的投影网格的变化 ， 得到不 同的断 裂表面的粗糙表面积 ， 根据由此得到的曲线 ， 就可以 直接求其分维值 。 3 1 5基 于激光 三 角测距 原理进 行 断裂 面 的三维 重构 这是同济大学基于激光三角测距原理 自行设计 的图像采集处理装置。这种方法在简单快速且不会 对断裂面造成任何破坏的情况下， 利用重构 的断裂 面三维轮廓 ， 可按小岛法的原理或剖面线法或投影 覆盖法， 来计算断裂面的分数维。 3 1 6幂律 谱方 法 幂律谱方法来源于时间序列分析， 在这一方法 中， 幂律谱是根据剖面数据来计算 的， 该方法获得的 最长和最短波长等于剖面长度和标度问隔的两倍。 3 1 7 自仿射 分形 方法 该方法采用 自仿射分形剖面和表面 ， 能对粗糙 的表面进行分析。 3 1 8 光 学非破损测试方法 ( 1 ) 显微干涉一图像处理法 该方法由刘 明华和李光霞提出， 运用分别从光 学平面和断 口表面反射 的光波进行干涉 ， 而形成表 征断 口表面微观形貌等高线 的干涉条纹 ， 其中封闭 的等高线可视为分形曲线 ， 利用周长一面积关系， 计 算分形维数。 ( 2 ) 二次电子灰度法 该方法是用扫描电子显微镜直接拍摄样品表面 的电子形貌图像， 再用计算机图像处理系统对表面 形貌图像等灰度值阴影边界， 可用该边界线的分形 维数 D来表征表面无规则粗糙度。 ( 3 ) 激光三角法 该方法 由吴科如教授提 出， 能较好地反映断裂 面的形貌 ， 但光学方法的盲区是不可避免的现象 ， 即 当光源与相机角度偏大时， 盲区更为明显 ， 影响测试 精度 。 3 1 9石 膏复型 方法 。 该方法是直接采用高强石膏在混凝土断裂试件 表面复型的方法。其具有快速取样、 便于高精度分 割和无破损直接测试 ， 避免了小岛法加工难度大、 失 误无法弥补的缺点 ， 也避免 了激光法盲区对重构断 面精度的影响 ， 测试精度高。同时， 可以直接统计计 算出断裂面的真实面积 ， 为探索混凝土断裂面分形 特征与断裂行为之间的内在规律、 建立相关的数学 模型提供了重要的依据 。 断裂面分维值的测量是混凝土断裂面研究中的 一 个重要方面， 获得准确的分维值， 才能进一步探讨 它与混凝土其他性能之问的关系。 3 2分形描 述的混凝 土裂 缝模型 分形理论考察混凝 土损伤表面， 为与混凝土断 裂有关的许多问题提供 了一种新颖的方法， 得出了 一 些有价值 的研究结论 。 ， 采用盒记数法 ， 用一系列不同尺寸的网格反盖 在具有裂缝图形的试件表 面上 ， 用分形几何方法 对不同尺寸的混凝土立方体试件的受压破坏形态进 行定量描述 ， 提出混凝土立方体抗压强度的尺寸效 应规律： 。 g fou 去 。 一 方 ) + a 5( 1 0a a ) ， lO g 上， 十 式 中 a 一 血 5 待定系数 ； D 用盒记数法计算 的混凝 土开裂 表面分数维 ， 其值 越大， 强度 越 低。 因而 ， D在某种意义上可以看作受压破坏立方 体的损伤变量， 而表面的裂缝形态是试件受力状态、 材料物理力学性能及微力学效应的综合反映。这一 研究借助于直接将分数维与试件尺寸相联系， 为定 量描述尺寸规律提供了一种新思路。混凝土裂缝的 扩展并非沿着理想的一维直线进行 ， 往往按 Z字形 路径向前扩展 ， 而大的 z字形路径又包含不同尺寸 小的 Z字形微裂隙 ， 层层嵌套， 从而混凝土 的断裂 表面必定凸凹不平。 裂缝顶端沿分形轨迹运动， 开裂路径垂直于最 大主应力方向 ， 由此建立了描述裂缝非规则扩展 的分形几何模型， 给出了用 C语言开发模拟混凝土 简支梁在集中荷载作用下裂缝生成与扩展 的例子 ， 直接计算出分形裂缝扩展的分数维值为： D 丽l o g 5 4 c o s O ) ( 1 1 ) r + 式 中 分形裂缝扩展 的弯折角 ， 取值范围为 0。一9 0。 。 这一模型给出了 与 0之间的关系， 随 0的 增加而增加 ， 很好地模拟 了裂缝扩展过程 ， 且与实际 意义相符。 ( 下转 第 2 5 3页) 李晓虹 ， 等： 地板辐射采暖与风机盘管采暖实验对比研究 2 5 3 几点值得注意： ( 1 ) 规范 规定 ， 地暖供水温度 6 0 C， 所 以， 夏热冬冷地区采用风冷热泵机组与低温热水地板辐 射采暖作为末端相匹配， 是很合适 的。但 为了使一 套地暖末端冬夏两用 ， 需要进一步研究 夏季辐射供 冷工况。如果能同时将地板辐射采暖 、 供冷 和地源 热泵相结合 ， 将更具节能潜力。 ( 2 ) 低温热水 地板采暖系统程序 自动控 制起 、 停是关键。从实验结果看 ， 地板采暖温升有滞后 ， 蓄 热能力很强 ， 实际应用 中， 必须根据地暖工作周期 ， 程序控制起、 停时间， 才能做到既舒适又节能。 ( 3 ) 本建筑年代久 远， 房间未采取任何节 能措 施 ， 热负荷较大。采用低温热水地板采暖时， 外窗、 外墙 的节能措施应跟上 。 4 结论 通过对地板辐射采暖和风机盘管采暖的对 比实 验研究 ， 得出结论 ： ( 1 ) 地板采暖地面温度高 ， 脚 暖头凉， 空气竖 向 温、 湿度梯度非常小 ， 无吹风感 ， 室内空气十分洁净， 噪声低， 人体热感舒适。 ( 2 ) 地板采 暖辐射散热量 占 5 9 8 ， 热量传递 以辐射换热为主， 热稳定性高于盘管采暖， 在相同工 况下 ， 地板采暖的有效 采暖时间是 盘管采暖的 2 7 倍 ， 地板采暖更高效节能。 参 考 文 献： 1 建设 部 J G J 2 69 5民用建筑节能设计 标准 ( 采 暖居住建筑 部 分 ) s 2 建设部 J C J 1 3 4 2 0 0 1夏 热冬冷地 区居住建筑 节能设 计标 准 S 3 卜 一德 地板采暖与分户热计量技 术 M 2版 北京 ： 中国建 筑工业出版社 ， 2 0 0 7 4 建设部 G B S 0 0 1 9 2 0 0 3 采暖通风与空调设计规范 S 5 王智伟 ， 杨振耀 建筑环 境与设备 工程实 验及测 试技术 M 北 京 ： 科 学 出 版 社 ， 2 0 o 4 ( 上接 第 1 9 6页) 通过对混凝土结构损伤开裂形态、 裂缝覆盖率 、 总延长及分支延伸作 了定量化解析 ， 分形特征值和 混凝土强度 、 裂缝宽度的关系 。混凝土损伤表面 的分数维值在 1 1 01 9 0之间， 对应损伤状态可分 为线状 、 面状和网状三类 。线状分维值大致为 1 1 0 1 4 0， 面状为 1 3 01 6 0， 网状 为 1 5 01 9 0 。 分维值反映了损伤裂缝的几何特征， 其值越大， 损伤 开裂越严重。 混凝土断裂 G 与分维值 D在一定程度上呈现 正相关关系- 8 ， 随着裂纹路 径分形维数 D 的增大 ， 断裂能 G 也越大。 4 结语 本文对混凝土中存在的分形效应作较为系统 的 记述 ， 可以看出， 分形理论应用于混凝土的研究有实 际性 的意义。它能将在混凝土中许多常规数学工具 难以解决的问题快速且较为准确地得到各个影响因 素之间的关系。因此， 加强混凝土中及其各个方向 的分形效应 的存在 ， 有助于混凝土的进一步研究 。 参 考 文 献： 1 陈顺 ， 陈凌 分形几何学 J 北京 ： t g震出版社 ， 1 9 9 8 陈瑜， 张大干 ， 尹健 分形在混凝土损伤表面的应用及其 分维的计算方法探讨 j 混凝土 ， 2 0 0 4 ( 1 0 ) 李维涛， 孙洪泉， 邢君 混凝土中的分形效应初探 J 水利 与建筑 工程学报 ， 2 0 0 4 ( 3 ) 夏春， 刘 浩吾 混 凝土细骨料 级配分 形特 征研究 J 西南 交通大学学报 ， 2 0 0 2 ( 4 ) 李维涛 ， 孙洪泉 ， 邢 君 分形 几何理 论在混凝 土研究 中的应 用 J 河北工业大学学报 ， 2 0 0 3 ( 1 2 ) 刘小艳 ， 李文伟 ， 梁 正平 分形理 论在混凝 土断裂 面研 究中 的 应用 J 三峡大学学报， 2 0 0 3 ( 1 2 ) 孙洪军 ， 董锦坤 ， 赵红 丽 分形插值 方法对 混凝 土损伤裂 纹 的 预测 J 辽宁工学 院学报 ， 2 0 0 7 ( 2 ) 唐明 ， 宁作君 ， 孙颖 混凝 土断裂 面的复型 重构及其 分形 特征的评价 J 沈阳建筑工程学院学报， 2 0 0 7 ( 2 ) 段庆全 ， 刘彩平 ， 鞠杨 ， 谢 和平 混 凝土亚临界裂 纹扩 展的分 形效应 J 中国矿业大学学报。 2 0 0 6 ( 1 ) 1 0 孙丽凤 分形几何方法模拟混 凝土材料 的裂 纹扩展 J 青岛 建筑工程学 院学报 ， 1 9 9 8 ( 2 ) I 1 姜晓伟， 宓永宁， 高跃 不同分维骨料级配对混凝土性能影 响的研究 J 房材与应用 ， 2 0 0 6( 2 ) 1 2 胡春明 ， 周 海强 ， 李红 ， 李贤丽 断裂分 形理论 的应用 J 大庆石油地 质与开发 ， 2 0 0 4 ( 1 2 ) 1 3 王铁成 混凝土结构裂缝状态及其扩展的分形几何解析 J 大连理工大学 学报 ， 1 9 9 ( 8 ) 1 j 1 J 1 1j