混凝土梯板抗弯刚度计算考虑梯级贡献的公式推导.pdf

第3 期 2 0 0 8 年3 月 广东 土木 与建筑 GUANGD0NG ARCHI r ECTURE CI VI L ENGI NEERI NG N 0 3 MA R 2 o 0 8 混凝土梯板抗弯刚度计算考虑梯级贡献的公式推导 宁潘芳 胡卫红 ( 佛 山市顺德建筑设计院有限公司 广东佛 山 5 2 8 3 0 0 ) 摘 要 ： 目前现浇混凝土板式楼梯设计 时是 以梯板最 小结构厚 度来计算梯板挠度的 ， 这样 设计的梯板往往较厚 ， 文 中考虑梯级 对梯板抗 弯刚度的贡献 推导 出梯板抗弯刚度计算公式， 据此可对板式楼梯挠度作 出较准确的计 算。 关键词 ： 板 式楼梯的挠度 ；梯板抗弯刚度 ；梯级单元 1 引言 在现浇混凝土房屋建筑结构 中， 楼梯 同柱 、 梁 、 板一样 属于常用 的结构构件 对于现浇混凝土板 式楼梯 ， 当以梯板最小结构厚度来计算挠度时， 因为 忽略 了梯级对梯板抗弯刚度 的贡献 以至于计算得 出的挠度值总是 大于实际值 为了满足规范对变形 的要求 就需增大板厚 这势必导致结构既笨重又耗 材 如果考虑板式楼梯的梯级对抗弯 刚度的贡献 ， 则挠度会 比不考虑 时明显减小 挠度计算公式 中的 关键参数是梯板 的抗弯刚度 ， 而众所周知梯板抗弯 刚度是忽略梯级影响的 本文考虑梯级对梯板抗弯 刚度 的贡献 ， 试 推导板 式楼 梯 的梯板 抗 弯刚度 公式 方便设计使用 2 梯级单元的抗弯刚度模型 要计算板式楼梯 的挠度 ， 必须先计算梯段的抗 弯刚度 ， 但 由于梯段是非等截面 的 因此应把梯 段按梯级划分为多个单元并求 出各单元的抗弯刚度 如果梯段上各梯级单元一致 ，则可将其抗弯 刚度作 为梯段的抗弯刚度 现从梯段中垂直斜板方向截取 1个梯级单元进行抗弯 刚度分析 梯板宽度取 1 个 长度单位 ， 如图 1 a ， 截取 的梯级单元如图 1 b所示 1 0 ( a ) 图 1梯 级 单 元 及 其 尺 寸 ( b ) 步级为直角三角形 ， b为步级 宽度 ， a为步级高 度 ， c 为步级斜长 ，h为梯板厚度。本文定义的梯级 单元 由步级 三角形 AF B和梯板 矩形 AG K B构成 ， 即为五边形 A G K B F， D点为 F点在直角三角形斜边 A B上 的垂 直投影 由几何关系可得： A D长度c 1 = a 2 c ； B D长度c = b 2 c ； 且 A B长度 c = c 1 + c 2 ； c 2 = a 2 + b 3 梯 级单 元的抗 弯 刚度公 式推 导 已知等截面板在弯矩 作用下的弯 曲曲率公 式 为 ： P= M E I 式 中： 为等截面板 的抗弯 刚度 ： 为混凝土 弹性 模量 ： 为板横截 面惯 性矩 梯板不考 虑三 角梯级 A F B对抗弯刚度的影响时， 梯板横截面惯性矩 为： I = h 3 1 2 ( 2 ) 当梯板考虑三角梯级对抗弯 刚度的贡献时 ， 其 梯级单元横截面就成为非等截面矩形 其横截面高 度( + y ) 在单元长度 c 范 围内是变化的 ， v为横截面 交三角形邻边至斜边 的距离 如图 2 a 所示 梯级单元在长度 C范围任意横截面惯性矩 为： L = ( h + y ) 3 1 2 ( 3 ) 当横截面在A D范围内时， v b a ： 在 B D范围 ： 童 t斗 ( a )任意横截面 ( b )弯矩作用下 的弯 曲 图 2梯级单元任意横截面及弯 曲示意 图 内时， y ： 6 ， 此时横截 面惯性 矩分别 为 ： 1 = ( 厅 + 1 b a ) 1 2 L 2 = ( h + x 2 6 ) 3 1 2 式 中 ： 、 分别 为横 截 面至左端 、 右端的距离 ， 取 1 = 0 c 1 ， 2 = 0 c 2 。 于是梯级单元 的弯 维普资讯 http:/ 2 0 0 8 年3 月 第3 期 宁潘芳 等： 混凝土 梯板 抗弯刚度 计算考 虑梯 级贡献的 公式推 导 M A R 2 0 0 8 N o 3 = = 鲁 = 。 = 等r 十 厂 z = E 姗 E “ z ( l6 ) 。 ( 2 6 ) 。 M 6 c r 1 1 一 一 抗弯刚度定义为单位长度梯级单元发生单位弯 曲转角所作用的最大弯矩 ， 即 ： 等= E a b h 2 面 ( 1 + a b c h )2 (4 ) 警 6 1 1(5 ) c ( + c ) 一 、 即是考虑梯级对梯板刚度影响后的梯级单元 等效等截面板的截 面惯性矩。 4考虑 或 忽略梯 级 作用 的梯 板抗弯 刚 度 比较 考虑梯级 的梯板抗弯刚度 E 由式( 4 ) 给出 ， 忽 略梯级的梯板抗弯刚度 E 由式( 2 ) 给出， 两者的抗弯 刚度之比为 ： = 1 a b c h辫1 (6 ) E c ( + ) 一 、 为对上述两个抗弯刚度之比有个数量概念 现 举几个常用梯级和梯板厚度 的例子利用式( 6 ) 计算 比 值 ， 其结果列于表 1 表 1 考虑或忽略梯级作用的梯板抗弯刚度 比值 板 厚 h 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 7 0 1 8 0 2 0 0 E L ， 2 9 5 2 7 9 2 6 6 2 5 4 2 3 5 2 2 7 2 1 3 注)梯级宽 b = 2 8 0 n m l ， 高 a = l S O mm， 斜长 c = 3 2 2 m m。 5 梯板 弹性 挠度 计算 值与 A NS Y S分析 结 果 比较 为了检验有梯级梯板抗弯刚度式( 4 ) 的精确性 现拿一简支梯板 的弹性挠度计算结果与 A N S Y S有 限元计算结果进行对比分析 简支梯板结构参数如下 ： 水平跨度 ， J ： 5 0 4 m， 水 平夹角为 ， h = 1 5 0 mm b = 2 8 0 m m a = 1 6 0 mm 斜长 c ： 3 2 2 m m ， 简支梯板承受的竖向线荷载总计 口 ： 1 0 k N m 混凝土弹性模量 E ： 2 8 x 1 0 7 k N m 2 简支梯板在竖向 均布荷载 口作用下 ， 垂直倾斜梯板 的挠度按式( 7 ) 计 算 计算简 图如图 3 = 5 队 q L 4 ( 7 ) 使 用 A N S YS有 限 元 软 件 建 模 分 析 时 采用 P L A N E 4 2单 元 它 是二 维 四边形 4 节点单元 每个节点 图3 计算简图 仅有 2个 自由度。计算分析对比结果列于表 2 。 表 2计算分析对比结果 弹性挠度 ( 式( 7 ) ) ( mi l 1 ) ( ANS YS ) 5 5 5 ( 按式( 4 ) ) 1 4 1 5 7 9 3 ( 按式( 8 ) ) 7 9 3 f 按式【 8 J ) 1 501 7 86 从分析结果来看 运用式( 2 ) 、( 8 ) 和式( 7 ) 计算出的 挠度与 AN S YS有限元分析结果较为接近 且 A N S Y S 的挠度结果也说明忽略梯级 的梯板抗弯刚度要比不 忽略时小得多 但按式( 4 ) 计算出的抗弯刚度值稍偏 大 ，其原 因是对梯级单元弯 曲时所做的横截面仍保 持平面的假定与实际有一定差别 另外还发现步级 凹角有应力集 中现象 因此应对式( 4 ) 进行一些修正 经 比较分析 ，认为梯板 的弹性抗弯刚度按式( 4 ) 计算 时应乘以修正系数 0 7而得出式( 8 ) ：而混凝土梯板 短期弹塑性抗弯刚度按式( 4 ) 计算时宜乘以修正系数 0 5 ， 并将式( 4 ) 中梯板厚度 h改为 h ， 即取受拉钢筋 形心至板顶距离后 ， 得出式( 9 ) 现浇混凝土梯板的弹 性抗弯刚度和短期弹塑性抗弯刚度分别为 ： E L = E 辫(8 ) E 鬻 ( +l + a b 。 c h o可) 2 (9 ) 6结语 考虑到荷载长期作用 以及混凝土开裂情况下梯 板 刚度将会下降， 因此在对梯板进行挠度验算时 ， 还 要对弹塑性 短期抗弯刚度 B 进行折减 ， 再按 混凝 土结构设计规范 ( 8 2 2 ) 式计算 ， 不过规范公式中的 短期刚度 B 也只适用于等截面板 而不适合于现浇 混凝土板式楼梯， 因此暂建议按本文式( 9 ) 计算 B 板 式楼梯的梯板厚度可取水平跨度的 1 3 0 1 3 3 其挠 度一般可满足小于 1 2 0 0 梯板斜向跨度的规范要求 f 转第 9页 ) 1 1 维普资讯 http:/ 2 0 0 8 年3 月 第3 期 谢 琳： 博罗 体育馆 平台玻 璃光 棚钢管空间 梭形 桁架结 构设 计 MA R 2 0 0 8 N o 3 表 2 建筑物前 1 6个模态的动态特性 空问 周期 振型参与质量系数 ( ) 空间 周期 振型参与质量系数( ) 振型 ( S ) R ( 扭转) 振型 ( s ) R ( 扭转) 1 0 9 6 7 2 0 0 0 0 3 2 5 0 0 9 0 5 5 0 5 7 1 5 7 2 9 1 2 077 0 7 3 31 0 0 1 2 9 1 0 0 5 4 0 8 2 0 3 3 0 2 8 3 0 6 9 0 2 4 5 8 0 0 6 2 0 0 1 1 0 5 2 0 0 1 0 9 3 1 - 3 5 4 0 6 6 0 0 3 2 8 3 0 3 5 1 2 0 5 1 1 7 7 0 8 0 1 _ 6 9 5 0 61 8 - 3 2 0 0 0 1 1 3 1 3 0 4 9 0 1 9 0 0 0 0 0 9 6 0 6 0 0 2 2 0 2 1 0 8 0 1 4 0 4 5 0 1 1 0 4 8 0 7 9 7 0 5 7 0 41 0 0 0 0- 3 0 1 5 0 4 2 2 3 4 2 1 7 0 3 3 8 0 5 5 0 6 7 001 0 0 7 1 6 0 41 0 0 0 0 7 4 0 0 0 2 5 地震分析 在计算模型中动力反应谱分析运用国家规范 G B 5 0 0 1 1 - 2 0 0 1 ( 建筑抗震设计规范 的反应谱进行 结构在地震作用下的变形情况见表 1 计算结果表 明 结构在多遇地震下的水平位移很小 地震工况不起控 制作用 结构保持整体弹性状态 2 6 构件承载力 计算模型对主结构的所有构件进行荷载组合下 的强度校核 按最不利荷载组合 采用规范校核的构 件稳定应力 比的分布情 况如图 2所示 可见大部分 构件的应力 比在 0 1 0 7之间 图 2构 件 稳 定 应 力 比 的分 布 3 3 杆件采用钢管 截面刚度大 抗压和抗扭性 能 好 ， 刚度大 ， 几何特性好 ， 因而尽管该结构大部分杆 件选用 的钢管截面应力比偏小 但结构的用钢量也 仅为0 5 4 k N m ， 而且具有良好的整体性、 稳定性和 抗 震性 能 。 参考文献 1 G B 5 0 0 0 1 2 0 0 1 建筑抗震设计 规范 S 2 G B 5 0 0 1 7 2 0 0 3 钢结构设计规范 S 3 张荣 山特种钢结构设计与施工 M 北 京 ： 中国建筑工 业 出版社 2 0 0 4 3 结论 4 本书编委会轻型钢结构设计手册 M 北京 ： 中国建筑 工 业 出版 社 2 0 0 6 3 1 作为空间结构 ， 各杆件之间互相起到支撑作用 5 董石麟等 空问结构 M 中国计划出版社 既是受力构件也是支撑构件 ，能充分发挥各杆件 的 作用 ， 整个屋盖系统除设置少量的系杆外 一般不需 要其他支撑系统 3 2 屋架弦杆跨 中和两端杆件 内力相差不 大 各杆 件 的受力 比较合理 ， 能很好地发挥其各 自的作用 坏 坏 坏 矫 坏 珠 尔 ! ! ! ! ! 矫 ( 上接第 1 1页) 参考文 献 1 G B 5 0 0 1 0 2 0 0 2 混凝土结构设计规范 S 2 刘鸿文主编 材料力学 ( 上册) M 北京 ： 人 民教育出版 社 1 9 7 9 3 樊 映川等编高等数学讲义 ( 上册) M 北京 ： 人民教育 出版社 1 9 8 0 4 张 亚欧 等编A N S Y S 7 0有 限元分 析实用 教程 M 北 京 ： 清华大学 出版社 ， 2 0 0 4 9 维普资讯 http:/