L−拓扑空间上的L−超算子.pdf

文章编号：1009 444X（2023）01 0083 05L拓扑空间上的L超算子苏淑华1，李琪2（1.上海工程技术大学 数理与统计学院,上海 201620；2.东华理工大学 抚州师范学院,抚州 344000）摘要：基于 L拓扑空间和 L超群胚，定义 L超运算的(强)L伪连续性，并由此构造 L拓扑L超群胚.结果表明，经典的拓扑超群胚是 L拓扑 L超群胚的特例.关键词：L超算子；L超群胚；(强)L伪连续性；L拓扑空间中图分类号：O159 文献标志码：ALhyperoperators on Ltopological spacesSU Shuhua1，LI Qi2（1.School of Mathematics,Physics and Statistics,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China；2.Fuzhou Teachers College,East China University of Technology,Fuzhou 344000,China）Abstract：Based on Ltopological spaces and Lhypergroupoids,the (strong)Lpseudocontinuity ofLhyperoperator was defined,and the Ltopological Lhypergroupoids were constructed.The result showsthat the classical topological hyergroupoids are special cases of Ltopological Lhypergroupoids.Key words：Lhyperoperator；Lhypergroupoid；(strong)Lpseudocontinuity；Ltopological space 自 Rosenfeld1在群论中引入模糊集以来，许多研究者致力于将抽象代数推广到模糊集2的框架上.模糊超结构是该领域中一个有趣的研究课题.模糊超算子是赋予非空集合 S 的每一对元素一个模糊子集的映射.该超算子由 Corsini 等3引入，由 Kehagias 等4 5发展.随后，Sen 等6引入模糊超半群，在此基础上，Chowdhury 等7 9引入并研究了模糊超环、模糊转置超群和模糊超模.由于拓扑结构和代数结构在模糊集中处于关键地位，许多数学学者研究了模糊情形下两种结构之间的联系10 17.通过 Chang10对模糊拓扑空间的定义，Foster11定义了模糊拓扑群.为确定一个经典拓扑群是一个模糊拓扑群的特例，Ma 等12通 过 用 模 糊 点 替 换 分 明 点 重 新 定 义 模 糊 拓 扑群.特别是受到 Ameri13和 HoKovMayerov15的启发，Cristea 等14引入模糊拓扑超群胚及其上的模糊(伪)连续超算子，并关注模糊拓扑空间上分明超算子的性质，而不是模糊超算子.因此，本研究试图研究 L拓扑空间上的 L超算子，希望能够延续这个问题.本研究中对术语“模糊”作如下说明：在模糊集理论中，“模糊”通常表示该理论是建立在单位区间0,1 上；本研究是以完全分配格L 为真值结构，因此用“L”代替“模糊”.例如，用“L超算子”和“L拓扑空间”分别表示“模糊超算子”和“模糊拓扑空间”.1 预备知识首先介绍本研究需要的一些基本概念.完全分 收稿日期：2021 12 02基金项目：国家自然科学基金项目资助（11861006）作者简介：苏淑华（1975 ），女，教授，博士，研究方向为格上拓扑及其应用.E-mail： 第 37 卷 第 1 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol.37 No.12023 年 3 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEMar.2023(L,0,1)配格是满足下列等式的完备格，定义为jJkK(j)aj,k=fMjJaj,f(j)aj,k:j J,k K(j)LMJf(j)K(j)a,b L,a b=c L|ac b其中为定义在 上，值的 选 择 函 数 集.SA:S LSLLSSLA LS,A 1且A 0设 为 非 空 集，映 射为 的子 集，为 由的 全 体子 集 构 成 的 集 合.显 然，其中0,1:S L,0(x)=0,1(x)=1,x S.A LSxSA(x)=1LSSLA,B LSABsub(A,B)=xSA(x)B(x)而且，称为非空的，如果.为由 的全体非空 子集构成的集合.,在 中的包含度定义为.S:S S LSL(S,)LABSLx S设 为非空集，称为 超算子，称为 超群胚.上述定义中，如果和是 的两个非空 子集，定义(AB)(x)=y,zSA(y)B(z)(yz)(x)xA=xAAx=AxL(S,)Lx,y,z S,x(yz)=(xy)zL(S,)Lx S,x1=1=1xL(S,)LLL和.称 超群胚为超 半 群，若.称超群胚为 拟超群，若.若 超群胚既是 超半群也是 拟超群，则称其为 超群.T LSSL定定义义 110 称是 上的 拓扑，如果满足下列条件：(i)0 T,1 T;(ii)A1,A2 T A1A2 T;(iii)i I,Ai T iIAi T，(S,T)L此时，称为 拓扑空间.(S,T)(Y,U)Lf:S YLLA U,f1(A)Tf1(A)(x)=A(f(x),x S.定定义义 210 设,为 拓扑空间，称映射为 连续,如果子集，其中L定定理理 110 连续映射的复合仍连续.L(S,T)TBTAB定定义义 317 拓扑空间的基是的子集,且的每个元素都是中某些元素的并集.SLBBSLT定定理理 217 如果由 的一些 子集构成的集族满足下列条件，则为 的 拓扑的基：(B1)A1,A2 B,A1A2 B;(B2)ABA=1.BTL(S,T)A1A2Ak(Ai B,i=1,2,k)TSLB1SL此外,称为的 拓扑空间的子基.如果由所有有限交 构成的集族是的基，由 的 子集构成的任意集族(其并集为)是 上唯一 拓扑的子基.L(S1,T1),(S2,T2)(S1S2,T1T2)LT1T2L对于两个 拓扑空间，它们的积空间上的 拓扑是由如下结论中的基确定的，而且该结论可以推广到拓扑空间族.(S1,T1),(S2,T2)LS=S1S2LA1A2LA1T1,A2 T2(A1A2)(x1,x2)=A1(x1)A2(x2)定定理理 318 设是 拓扑空间，则积 空 间上 的 积拓 扑 有 一 个 由 形 如的 子集构成的集合作为子基，其中，且.(S1,T1),(S2,T2)LS=S1S2,T=T1T2:(S,T)(S,T)(S1 S1,T1 T1)(S2 S2,T2 T2)(x1,x2),(y1,y2)=(x1,y1),(x2,y2)L定定 理理 419设是拓 扑 空 间，则映射，是 连续.(Si,Ti)iI,(Yi,Ui)iIL(S,T),(Y,U)Li I,fi:(Si,Ti)(Yi,Ui)L(S,T)(Y,U)f=fi:(xi)(f(xi)L定定理理 511 设为两个 拓扑空间族，为它们各自的积 拓扑空间.若是 连续映射，则从到的乘积映射是 连续的.2 L拓扑L超群胚受拓扑超群胚20定义的启发，引入以下概念.(S,)L(S,T)LL定定义义 4 设为 超群胚，为 拓扑空间，则称 超算子 为LO T,S SLOLLO(x,y)=sub(xy,O),(x,y)S S；(i)伪连续或简称为 lp连续，如果的 子集为积 拓扑空间的 开子集，其中LO T,S SLOLLO(x,y)=sS(xy)(s)O(s),(x,y)S S.(ii)强 伪连续或简称为 slp连续，如果的 子集为积 拓扑空间的 开子集，其中(S,)SL=0,1:S S LS注注 1 显然，文献 15 中定义的(强)伪连续的超算子是定义 4 的特例.具体地说，令为超群胚，为 的拓扑，则可定义映射为x,y S,xy=xy,T=O:O SLTSLL易证明 是 上的 超算子，是 的 拓扑.此外，当 是(强)伪连续时，可以检验 是(强)伪连续的.LS SLSSLSL因为 超算子 是从到的映射，所以可以通过给定 和上的 拓扑来讨论 的连续性，具体如下.(S,)L(S,T)LTLSLLLT:S S LSLT T定定义义 5 设为 超群胚，为 拓扑空间，为上的 拓扑.称 超算子 为 连续，如 果 映 射关 于拓 扑与 84 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷TL是 连续的.LT注注 2(i)类 似 注 1，文 献 15 中 定 义 的 每 个连续的超算子是 连续的特例.(S,)L=0,1T,USP(S)LS=A:A P(S),U=U:U ULSLU(A)=U(A),A P(S)(ii)令为超群胚,，分别为和的 拓 扑.那 么是的一个 拓扑，其中.而且有U U,(x,y)S S,1(U)(x,y)=U(xy)=U(xy)=U(xy)=1(U)(x,y)UL:(x,y)S S 7 xy=xyLUU从而可得，是文献 14 中定义的模糊连续超算子当且仅当 超算子是连续的.这说明模糊连续超算子是定义 5 的特例.(S,)L(S,T)L例例 1 设为 超群胚,为 拓扑空间.T=0,1LSLLLTA T,A=0A=1A=11(A)(x,y)=A(xy)=1,(x,y)S S1(A)=11 T T.A=01(A)=00 T T.(i)令为上 的 离 散拓 扑，则超算子 是 连续的.事实上，或.当时，从 而，类 似 可 得，若，则TLSLT=LST T=LSSA T,o1(A)T TLT(ii)令为上的 拓扑.若，则.从而，由此可得，是连续的.(S,)L(S,T)LTLSL(S,T)LLLL定定义义 6 设为 超群胚，为 拓扑空间，为上的 拓扑.称为(强)伪拓扑 超群胚，如果 超算子 是(强)伪连续.(S,T)LU=SA LLS:A TLSLTUTULSTLSASA(B)=sub(B,A),B LS引引 理理 1 设为拓 扑 空 间，则 集 族是上的一个 拓扑的基，称该拓扑为的一个由诱导的 上拓扑.其中，定义为.SA1,SA2 U,A1,A2 T,则A1A2 T.B LS,(SA1SA2)(B)=SA1(B)SA2(B)=sub(B,A1)sub(B,A2)sub(B,A1A2)=SA1A2(B)1 T,S1(B)=1,SAUSA(B)=1,证明：证明：令从 而,=.这样，基公理(B1)就实现了.进一步，由于所 以 这 意 味 着 基 公 理(B2)也满足.(S,)L(S,T)L(S,T)LLLLTU定定理理 6 设为 超群胚，为 拓扑空间，则是伪 拓 扑超 群 胚 当 且 仅 当超算子 是 连续的.L:S S LS(x,y)7 xy.LA T,1(SA)(x,y)=SA(xy)=sub(xy,A)=A(x,y).LTU证明：证明：显然，超算子 是映射，对任意 开子集 因 此，是A T,A连续当且仅当是开的.换言之，为 lp连续.通过注 1、注 2 和定理 6 可以检验得出文献15 中定义的伪拓扑超群胚和模糊伪拓扑超群胚都是定义 6 的特例.S(S,)L例例 2 令 为有限非空集，为 超群胚，其中 定义为xx=x,xy=x,y,x,y STSLTULSL(S,T)LLLTUSATUL令为 的拓 扑，为的拓 扑，则是伪 拓 扑超 群 胚，只 要 证 明是连续.事实上，令为的 子集，则(x,y)S S1(SA)(x,y)=SA(xy)=SA(x,y)=sub(x,y,A)=(AA)(x,y)1(SA)T T由此可得.(S,T)LL=IA LLS:A TLSLTLLSTLIA引引 理理 2 设为拓 扑 空 间，则 集 族是的 拓 扑的 一 个 子 基.该拓扑为的一个由诱导的 下拓扑，定义为IA(B)=xSA(x)B(x),B LSB LS,(ATIA)(B)=ATIA(B)=ATxSA(x)B(x)=xS(ATA)(x)B(x)=xSB(x)=1LTL证 明：证 明：由 于，所以是的一个子基.(S,)L(S,T)L(S,T)LLLLTL定定理理 7 设为 超群胚，为 拓扑空间，则是伪 拓 扑超 群 胚 当 且 仅 当超算子 是 -连续.A T,1(IA)(x,y)=IA(xy)=sSxy(s)A(s)=A(x,y).LTLA T，A证明：证明：因此，是 连续当且仅当是开的，换言之，为 slp连续.S(S,)例例 3 令 为有限非空集，为 L超群胚，其中 定义为xx=x,xy=x,y,x,y STSLTLLSL(S,T)LLL TLIATLL(x,y)S S1(IA)(x,y)=IA(xy)=IA(x,y)=zSA(z)x,y(z)A(x)A(y)=(AA)(x,y)1(IA)T T令为 的拓 扑，为的拓 扑，则是强 伪拓扑 超群胚.只要证明 是 连续的.事实上，令为的 子集，则，=，由此可得.L(S1,1),(S2,2)L(S1S2,)对于两个 超群胚乘积 超群胚定义为(x1,x2)(y1,y2)=(x11y1,x22y2),(x1,x2),(y1,y2)S1S2第 1 期苏淑华 等：L拓扑空间上的 L超算子 85(S1,1,T1),(S2,2,T2)LL(S1S2,T1T2)LL定定理理 8 如果是强 伪拓扑 超群胚，则也是强 伪拓扑 超群胚.(S1,1,T1),(S2,2,T2)LL12L T1LL T2LL T1LT2LL证 明：证 明：由 于是 强伪 拓扑 超群，因此得到映射与是 slp连续的，且根据定理 7，它们分别是 连续和 连续.因此，由定理 5 可得，乘积映射是 连续的.又由定理 4 得映射 是 连续的，且易验证12:(S1S1,T1T1)(S2S2,T2T2)(L(S1S2),T1LT2L),(12)(x1,y1),(x2,y2)=(x11y1,x22y2)(12)(x1,y1),(x2,y2)=(12)(x1,y1),(x2,y2)=(12)(x1,y1),(x2,y2)=(x11y1,x22y2)=(x1,x2)(y1,y2)L T1LT2L因此，根据定理 1，是 连续的,即是 slp连续的.类似地，可得以下结论.(S1,1,T1),(S2,2,T2)LL(S1S2,T1T2)L定定理理 9 如果是强 伪拓扑 超群胚，则也是 伪拓扑L超群胚.(S,T)LA,A1,A2,Ak T,k N,SA(ki=1IAi)=SA(ki=1IAAi)引理引理 3 设为 拓扑空间，则.i 1,2,k,B LS(SAIAi)(B)(SAIAAi)(B)证明：证明：，显然，且有(SAIAi)(B)=SA(B)IAi(B)=sub(B,A)xSAi(x)B(x)xSB(x)Ai(x)(B(x)A(x)xSB(x)A(x)Ai(x)=IAAi(B)SAIAi=SAIAAiSA(ki=1IAi)=SA(ki=1IAAi).因此,从而,(S,T)LA1,A2,AkT,k NV(A1,A2,Ak)(B)=Ski=1Ai(B)(ki=1IAi)(B),B LSLV(A1,A2,Ak)BLSLTVLTVLS引引理理 4 设为 拓扑空间，令，则由所有 子集组成的集族是的一个 拓扑的基，称该 拓扑为的 Vietoris L拓扑.O1,O2 BO1=V(A1,A2,Ak),O2=V(B1,B2,Bl)A1,A2,Ak T B1,B2,Bl TC LS证明：证明：令,即.这里，那么对于，根据引理 3 有(O1O2)(C)=Ski=1Ai(C)ki=1IAi(C)Si=1Bi(C)li=1IBi(C)=(Ski=1Ai(C)Sii=1Bi(C)ki=1IAi(C)li=1IBi(C)=SAB(C)ki=1IAi(C)li=1IBi(C)=SAB(C)ki=1IAiB(C)li=1IBiA(C)A=ki=1Ai,B=li=1Bi.A1,A2,Ak T B1,B2,Bl TA,B T.BAi T,ABjT,i=1,2,k；j=1,2,l(O1O2)=V(AB,A1B,AkB,B1A,BlA)其中，由，可得，从而，.因 此 有,1 TV(1)(B)=1,这表明它满足了公理(B1).此外,由得到 说明它满足公理(B2).LTVLTULTL根 据 引 理 3、引 理 4 可 得 下 列 关 于 Vietoris拓扑与 上拓扑和 下拓扑之间的关系.UVLTV引引理理 5 是 Vietoris 拓扑的子基.由此得到以下定理.(S,)L(S,T)L(S,T)LLLLLL TV定定理理 10 设为 超群胚，为 拓扑空间，则既是 伪拓扑 超群胚又是强 伪拓扑超群胚当且仅当超算子 是连续的.3 结语LLLLLLx,y,z S,xy(z)=(zy)(x),x/y(z)=(yz)(x)本研究将 HoKovMayerov关于拓扑超群胚的结果推广到 拓扑 超群胚的情形.作为该工作的延续,可将 Heidaril 等20意义上的拓扑超群推广到模糊情形,即 拓扑 超群.为此，需引入超群上的两个特殊 超算子：.xy,x/y LSLLL TL显然,.由此可以构造(强)伪拓扑 超群及 拓扑 超群,具体如下：(S,)(S,T)LL(S,T)LLxy,x/yLL1）设为 L超群，为(强)伪拓扑超群胚，称为(强)伪拓扑 超群，如果是(强)伪连续的 超算子；(S,)L(S,T,T)L T(S,T,T)L TLxy,x/yL TL2）设为 超群，为 拓扑超群胚，称为 拓扑 超群,如果是 连续的 超算子.86 上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 37 卷参考文献：ROSENFELD A.Fuzzy groupsJ.Journal ofMathematical Analysis and Applications，1971，35（3）：512 517.1 MORDESON J N,MALIK M S.Fuzzy commutativealgebraM.Singapore:World Scientific,1998.2 CORSINI P,TOFAN I.On fuzzy hypergroupsJ.PureMathematics and Applications，1997，8（1）：29 37.3 KEHAGIAS A.Lfuzzy join and meet hyperoperationsand 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