Feldman-Katok度量下Li-Yorke混沌和Proximal对.pdf

收稿日期2 0 2 3-0 3-0 1;修改日期2 0 2 3-0 3-2 8 基金项目国家自然科学基金(1 1 8 7 1 1 8 8)作者简介高昆梅(1 9 9 8-),女,硕士在读,应用数学专业.E-m a i l:2 1 0 2 3 7 9 0 0 3q q.c o m第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对高昆梅,张瑞丰(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要通过F e l d m a n-K a t o k引入了F KL i-Y o r k e混沌和F KP r o x i m a l对,并且研究它们之间的关系.证明如果一个拓扑动力系统是F K敏感的,并且含有一个由传递点和周期点组成的F KP r o x i m a l对,则它是F KL i-Y o r k e混沌的.关键词F e l d m a n-K a t o k度量;F KL i-Y o r k e混沌;F KP r o x i m a l对 中图分类号O 1 9 2 文献标识码A 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 0 9-0 51 引 言称(X,T)是一个拓扑动力系统(简称T D S),如果X是一个具有度量d的紧度量空间,T:XX是一个连续映射.在遍历理论中,一个基本问题是将保测系统通过同构进行分类.1 9 5 8年,文献1 在遍历论中定义了熵,同时证明熵对保测系统来说是同构不变量.关于同构问题的一个重要的结果是文献2 理论,他证明两个等熵的B e r n o u l l i过程是同构的.在O r n s t e i n的理论中H a mm i n gd i s t a n c edn起到了关键的作用,其中dn:dn=(x0 x1xn-1,y0y1yn-1)=0in-1xiyin.文献3 通过将O r n s t e i n的理论中的H a mm i n gd i s t a n c edn改为e d i td i s t a n c efn:fn=(x0 x1xn-1,y0y1yn-1)=1-kn,这里k是最大的整数,使得存在0i1ikn-1,0j1jkn-1,且对s=1,k有xis=yjs,定义了l o o s eB e r n o u l l i系统,同时给保测系统的分类提供了新的思路.基于这些,他建立一个新的平行于O r n s t e i n理论的理论.2 0 1 7年D.Kw i e t n i a k和M.L a c k a在通常动力系统中定义一种对应于e d i td i s t a n c efn的度量,称为F e l d m a n-K a t o k度量,具体看第二节基础知识部分.在2 0 2 2年,文献4使用F e l d m a n-K a t o k度量去描述零熵l o o s e l yB e r n o u l l保测系统,他们还定义F K连续和F K敏感,并得到A u s l a n d e r-Y o r k e二分法.2 0 2 2年,文献5 进一步研究F e l d m a n-K a t o k度量中的限制敏感和熵,并得到条件熵公式.混沌性质是动力系统研究中人们关心的问题,关于混沌有不同的定义,例如正熵、拓扑混合、D e v a n e y混沌以及L i-Y o r k e混沌等,因此对于它们之间的关系人们做出了很多研究.1 9 7 5年,文献6定义L i-Y o r k e混沌并且证明周期3蕴含混沌.2 0 0 2年,文献7 证明正熵可以推出L i-Y o r k e混沌.同年文献8 证明以敏感为核心的D e v a n e y混沌蕴含L i-Y o r k e混沌,还有一些其他的它们之间的关系具体看文献9-1 0.随着研究的深入,动力系统中的许多定义都进一步给出了其平均版本的定义,如平均敏感、平均等度连续、平均d i s t a l i t y等,具体见文献1 1-1 4.对于混沌,也有对应的平均版本的研究.1 9 9 4年,文献1 5 从概率理论中介绍了一种类似于平均版本的L i-Y o r k e混沌,称为d i s t r i b u t i o n a l混沌.2 0 0 6年,文献1 6 证明D e v a n e y混沌不能推出平均L i-Y o r k e混沌.2 0 1 4年,文献1 7 提出平均L i-Y o r k e混沌等价于D C 2混沌,而平均L i-Y o r k e混沌不能推出正熵(具体见文献1 8-1 9).2 0 1 7年,文献2 0 给出平均P r o x i m a l对和平均L i-Y o r k e混沌之间的关系.从定义可以看出F e l d m a n-K a t o k度量也是一种平均意义上的度量,因此本文利用F e l d m a n-K a t o k度量定义一种新的平均版本的L i-Y o r k e混沌(即F KL i-Y o r k e混沌).并且,研究了它的性质,得到下面的结果:定理1 如果一个拓扑动力系统(X,T)是F K敏感的,且存在(p,q)XX是F KP r o x i m a l对,其中p是周期点q是传递点,则(X,T)是F KL i-Y o r k e混沌的;并且这里存在一个正数和X的子集K(可数康托集的并集),使得K是一个F KL i-Y o r k e集(模).注1 定理1中的名词解释具体看第二节基础知识部分.2 基础知识本节主要介绍动力系统中的一些基础定义以及在F e l d m a n-K a t o k度量下的一些定义.一个点xX被称为传递点,如果它的轨道在X中稠密,等价于 Tnxn0=X.一个点的周期为n,如果Tnx=x;一个点的最小正周期为n,如果对于1in-1,Tnx=x但Tixx.下面给出具体的F e l d m a n-K a t o k度量的定义:令(X,T)是一个X上具有度量d的T D S,对x,yX和n 定义一个x和y的匹配的保序变换(即(i)(j),ij):D()R().这里的D(),R()0,1,n-1,并且对每个iD()有d(Tix,T(i)y)0,fn,(x,y)0,存在0,当d(x,y)时,dF Kn(x,y)0,由T是一个连续映射,知道存在1.当d(x,y)1时,对i=0,1,n-1有d(Tix,Tiy).取=i d(i)=i,i=0,1,n-1),对i=0,1,n-1,有d(Tix,T(i)y)=d(Tix,Tiy)0,fn,(x,y)=00完成证明.在文献2 0 中G a r c i a-R a m o s和J i n关于平均度量,引入了平均L i-Y o r k e混沌和平均P r o x i m a l对的定义.因此,类似地在F e l d m a n-K a t o k度量下也给出F KP r o x i m a l对和F K L i-Y o r k e混沌的定义如下:定义1 称点对(x,y)XX为F KP r o x i m a l对,如果l i mni n fdF Kn(x,y)=0.一个拓扑动力系统01大 学 数 学 第3 9卷(X,T)是F KP r o x i m a l的,如果每个点对(x,y)XX为F KP r o x i m a l对.定义2 称点对(x,y)XX为F KL i-Y o r k e对(模),如果(x,y)是F KP r o x i m a l对且满足l i mns u pdF Kn(x,y)()0.X的子集S称为F KL i-Y o r k e集(模),如果对xyS,(x,y)为F KL i-Y o r k e对(模).如果(X,T)具有不可数F K L i-Y o r k e集,则称(X,T)为F K L i-Y o r k e混沌的.类似地,下面给出F K敏感的定义:定义3 称动力系统(X,T)是F K敏感的,如果0,对每个xX和每个0,有yB(x,)满足l i mns u pdF Kn(x,y).3 F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对本节主要对本文最重要的一个定理 定理1进行证明.在证明定理1之前,需要介绍一个M y c i e l s k i引理2 1.引理2(M y c i e l s k i引理)2 1 令Y是一个没有孤立点的紧度量空间,C是YY的一个对称稠密的G子集.则存在一个稠密的子集KY,它是可数康托集的并集,使得KKCY.接下来开始证明定理1.证 设d为X上的度量,由于(X,T)是F K敏感的,故0,对于每个xX和每个0,有yB(x,),满足l i mns u pdF Kn(x,y),令=20且D=(x,y)XXl i mNs u pdF KN(x,y).注意到D能够被写为如下形式:D=m=1l=1nl(x,y)XX:dF Kn(x,y)-1m,令W=(x,y)XXdF Kn(x,y)-1m,下证W是开集.设(x,y)W,则dF Kn(x,y)-1m,设dF Kn(x,y)=0,记0-1m+2.由引理1存在1使得当d(x,x1)1,d(y,y1)1时有dF Kn(x,x1)和dF Kn(y,y1)-1m+2-2=-1m.因此有(x1,y1)W,即B(x,y),1)W(其中B(x,y),1)是x和y以1为半径的邻域),则W中的点都是内点,所以W是开集.由上可知D是XX的一个G子集.下证D在XX中是稠密的,反设D在XX中不是稠密的,则0和x,zX,对每个yB(x,)有l i mNs u pdF KN(y,z),l i mNs u pdF KN(x,z).则对每个yB(x,),有 l i mNs u pdF KN(x,y)l i mNs u p(dF KN(x,z)+dF KN(z,y)l i mNs u pdF KN(x,z)+l i mNs u pdF KN(z,y)+=.这与(X,T)是F K敏感的矛盾,因此D在XX中是稠密的.故D是XX的一个稠密子集.令PF K=(x,y)XXl i mNi n fdF KN(x,y)=0为所有XX的F KP r o x i m a l对的集合.则PF K可写为11第3期 高昆梅,等:F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对PF K=m=1l=1nl(x,y)XXdF Kn(x,y)1m,令H=(x,y)XX:dF Kn(x,y)1m,下证H是开集.设(x,y)H,则dF Kn(x,y)1m,设dF Kn(x,y)=0,记012 1m-0,则 01m-2.由引理1存在 1使得当d(x,x 1)1,d(y,y 1)1时有dF Kn(x,x 1)和dF Kn(y,y 1).因此由三角不等式有dF Kn(x 1,y 1)dF Kn(x,y)+dF Kn(x,x 1)+dF Kn(y,y 1)0+20和0jt-1,有l i mNidF KNi(Tn1t+jq,Tn2t+jq)l i mNidF KNi(Tn1t+jq,Tjp)+l i mNidF KNi(Tn2t+jq,Tjp)=0.这意味着(Tn1t+jq,Tn2t+jq)PF K.因此,对0jt-1,PF K在XjXj中是稠密的.由于X=t-1j=0Xj,故存在j使得Xj内部非空,用Aj表示非空Xj的内部.令A=Aj.由于AjAj是开的且由上述知D和PF K在AjAj中是稠密的,因此在AA中也是稠密的.故有PF KD(AA)是AA的对称G稠密子集.由(X,T)是F K敏感的定义,知X是没有孤立点的.又有Aj是开的,所以有Aj也是没有孤立点的.因此,A是一个没有孤立点的空间.应用引理2和上述证明以及L YF K的定义可以得到A的一个稠密子集K且K是可数康托集的并,满足KKL YF KA.这意味着(X,T)是F K L i-Y o r k e混沌的且K是一个F K L i-Y o r k e集(模),完成证明.4 结 论关于平均版本的动力学性质的研究已经取得了一系列成果,F e l d m a n-K a t o k度量也是一种平均意义下的度量.近年来,F e l d m a n-K a t o k度量也被广泛应用于动力系统复杂性的研究中.本文在F e l d m a n-K a t o k度量下研究了一种新的平均版本的L i-Y o r k e混沌,给出了F KL i-Y o r k e混沌以及F KP r o x i m a l对的定义.同时证明了如果一个拓扑动力系统是F K敏感的,并且含有一个由传递点和周期点组成的F KP r o x i m a l对,则它是F KL i-Y o r k e混沌的.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 K O LMO G O R OV A.A n e w m e t r i ci n v a r i a n to ft r a n s i e n td y n a m i c a ls y s t e m sa n da u t o m o r p h i s m si n L e b s e g u eS p a c e sJ.D o k l a d yA k a d e m i iN a u kS S S R,1 9 5 8,1 1 9(5):8 6 1-8 6 4.2 O R N S T E I N D.E r g o d i ct h e o r y,r a n d o m n e s s,a n d d y n a m i c a ls y s t e m sJ.P r o c e e d i n g s o ft h e E d i n b u r g hM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,1 9 7 7,2 0(3):2 7 0.21大 学 数 学 第3 9卷3 F E L DMANJ.N e wK-a u t o m o r p h i s m s a n dap r o b l e mo fK a k u t a n iJ.I s r a e l J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,1 9 7 6,2 4(1):1 6-3 8.4 G A R C I A-R AMO SF,KW I E T N I AK D.O nt o p o l o g i c a lm o d e l so fz e r oe n t r o p yl o o s e l yB e r n o u l l is y s t e m sJ.T r a n s a c t i o n so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 2 2,3 7 5(9):6 1 5 5-6 1 7 8.5 N I EX,HYAN G Y.R e s t r i c t e ds e n s i t i v i t y,r e t u r nt i m ea n de n t r o p yi nF e l d m a n-K a t o ka n d m e a n m e t r i c sJ.D y n a m i c a lS y s t e m s,2 0 2 2,3 7(3):3 5 7-3 8 1.6 L IT,Y O R K EJ.P e r i o dT h r e e I m p l i e sC h a o sJ.Am e r i c a nM a t h e m a t i c a lM o n t h l y,1 9 7 5,8 2(1 0):9 8 5-9 9 2.7 B L AN CHA R D F,G L A S N E R E,KO L YA D A S,e ta l.O n L i-Y o r k ep a i r sJ.J o u r n a lF rD i e R e i n e U n dA n g e w a n d t eM a t h e m a t i k,2 0 0 2,5 4 7:5 1-6 8.8 HUAN G W,Y EX.D e v a n e ys c h a o so r 2-s c a t t e r i n g i m p l i e sL i-Y o r k esc h a o sJ.T o p o l o g ya n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 0 2,1 1 7(3):2 5 9-2 7 2.9 S M I T A LJ.C h a o t i cf u n c t i o n s w i t hz e r ot o p o l o g i c a le n t r o p yJ.T r a n s a c t i o n so ft h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y,1 9 8 6,2 9 7(1):2 6 9-2 8 2.1 0 X I ONGJ.Ac h a o t i cm a pw i t ht o p o l o g i c a l e n t r o p yJ.A c t aM a t h e m a t i c aS c i e n t i a,1 9 8 6,6(4):4 3 9-4 4 3.1 1 D OWNA R OW I C Z T,G L A S N E R E.I s o m o r p h i ce x t e n s i o n sa n da p p l i c a t i o n sJ.T o p o l o g i c a l M e t h o d si nN o n l i n e a rA n a l y s i s,2 0 1 6,4 8(1):3 2 1-3 3 8.1 2 GA R C I A-R AMO SF,J I N L.M e a nP r o x i m a l i t ya n d m e a nL i-Y o r k ec h a o sJ.P r o c e e d i n g so ft h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 1 7,1 4 5(7):2 9 5 9-2 9 6 9.1 3 L I J,TUS,Y EX.M e a ne q u i c o n t i n u i t ya n dm e a ns e n s i t i v i t yJ.E r g o d i cT h e o r yD y n a m i c a lS y s t e m s,2 0 1 5,3 5(8):2 5 8 7-2 6 1 2.1 4 O R N S T E I ND,WE I S SB.M e a nd i s t a l i t ya n dt i g h t n e s sJ.P r o c e e d i n g so ft h eS t e k l o vI n s t i t u t eM a t h e m a t i c s,2 0 0 4,2 4 4(1):2 9 5-3 0 2.1 5 S CHWE I Z E RB,S M I T A LJ.M e a s u r e so fC h a o sa n daS p e c t r a lD e c o m p o s i t i o no fD y n a m i c a lS y s t e m so nt h eI n t e r v a lJ.T r a n s a c t i o n so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,1 9 9 4,3 4 4(2):7 3 7-7 5 4.1 6 O P R O CHA P.R e l a t i o n sb e t w e e nd i s t r i b u t i o n a la n dD e v a n e yc h a o sJ.C h a o s:A nI n t e r d i s c i p l i n a r yJ o u r n a lo fN o n l i n e a rS c i e n c e,2 0 0 6,1 6(3):0 3 3 1 1 2.1 7 D OWNA R OW I C Z T.P o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p yi m p l i e sc h a o s D C 2J.P r o c e e d i n g s o ft h e Am e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 1 4,1 4 2:1 3 7-1 4 9.1 8 D OWNA R OW I C ZT,S T E F ANK OVA M.E m b e d d i n gT o e p l i t zs y s t e m si nt r i a n g u l a rm a p s:T h el a s tb u to n ep r o b l e mo f t h eS h a r k o v s k yc l a s s i f i c a t i o np r o g r a mJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 1 2,4 5(1 2):1 5 6 6-1 5 7 2.1 9 F O R T IG,P A G AN ON IL,S M I TA LJ.D y n a m i c so fh o m e o m o r p h i s m so nm i n i m a ls e t sg e n e r a t e db yt r i a n g u l a rm a p p i n g sJ.B u l l e t i no f t h eA u s t r a l i a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,1 9 9 9,5 9(1):1-2 0.2 0 GA R C I A-R AMO SF,J I N L.M e a nP r o x i m a l i t ya n d m e a nL i-Y o r k ec h a o sJ.P r o c e e d i n g so ft h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 1 7,1 4 5(7):2 9 5 9-2 9 6 9.2 1 叶向东,黄文,邵松.拓扑动力系统概论M.北京:科学出版社,2 0 0 8:2 8 0-2 8 1.L i-Y o r k eC h a o sa n dP r o x i m a lP a i rU n d e r t h eF e l d m a n-K a t o kM e t r i cGAOK u n m e i,Z HANGR u i f e n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,H e f e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 6 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:W e i n t r o d u c et h en o t i o n so fF K L i-Y o r k ec h a o sa n dF K P r o x i m a lp a i ri nt h es e t t i n go fF e l d m a n-K a t o km e t r i c.W e a l s os t u d i e d t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h e m.M o r ep r e c i s e l y,w ep r o v e t h a t i f a t o p o l o g i c a l d y n a m i c a l s y s t e mi sF Ks e n s i t i v ea n dc o n t a i n sa nF KP r o x i m a lp a i rc o n s i s t i n go fat r a n s i t i v ep o i n ta n dap e r i o d i cp o i n t,i t i sF K L i-Y o r k ec h a o t i c.K e yw o r d s:F e l d m a n-K a t o km e t r i c;F KL i-Y o r k ec h a o s;F KP r o x i m a lp a i r31第3期 高昆梅,等:F e l d m a n-K a t o k度量下L i-Y o r k e混沌和P r o x i m a l对