A%5E%28-1%29B的无穷范数的上界估计.pdf

第 卷第期 年月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t yo fA r t sa n dS c i e n c e(N a t u r a lS c i e n c e s)V o l N o J u l 收稿日期:基金项目:贵州省科学技术基金项目();贵州省教育厅自然科学基金项目(Q J J )作者简介:刘艳(),女,贵州纳雍人,在读硕士,研究方向为矩阵理论及其应用 E m a i l:q q c o m通信作者:王峰(),男,山东临沂人,教授,博士,硕士生导师,研究方向为数值代数 E m a i l:w a n g f e n gg z m u e d u c n 文章编号:()AB的无穷范数的上界估计刘艳,敖地珍,刘兰兰,王峰(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 )摘要:S D S D D 矩阵是H 矩阵的一个子类,其逆的无穷范数在计算数学中有着重要的应用价值当A是S D S D D 矩阵且B是一般矩阵时,得到了AB的上界估计式特别地,当B为单位矩阵时,给出了S D S D D 矩阵逆的无穷范数的上界和最小奇异值的下界,且新估计式只利用矩阵A的元素表示数值算例表明了新估计式的有效性关键词:S D S D D 矩阵;H 矩阵;无穷范数;上界;下界;奇异值中图分类号:O 文献标志码:AE s t i m a t i o no fU p p e rB o u n df o r I n f i n i t yN o r mo fABL I UY a n,A OD i z h e n,L I UL a n l a n,WANGF e n g(C o l l e g eo fD a t aS c i e n c ea n dI n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,G u i z h o uM i n z uU n i v e r s i t y,G u i y a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:S D S D D m a t r i c e sa r eas u b c l a s so fH m a t r i c e sw h o s e i n v e r s e i n f i n i t en o r mh a s i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s i nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s Wh e nAi saS D S D D m a t r i xa n dBi sag e n e r a lm a t r i x,t h eu p p e rb o u n de s t i m a t o r f o rABi so b t a i n e d I np a r t i c u l a r,w h e nBi sa nu n i tm a t r i x,w ep r e s e n t a nu p p e rb o u n df o r t h e i n f i n i t en o r mo f i n v e r s eo fS D S D D m a t r i c e sa n da l o w e rb o u n df o r t h em i n i m u ms i n g u l a rv a l u eo fS D S D D m a t r i c e s,a n dt h e s en e we s t i m a t i o n sa r eo n l yb a s e do n t h e e l e m e n t s o f t h em a t r i x N u m e r i c a l e x a m p l e s s h o wt h ev a l i d i t yo f t h en e we s t i m a t o r s K e yw o r d s:S D S D D m a t r i c e s;H m a t r i c e s;i n f i n i t en o r m s;u p p e rb o u n d;l o w e rb o u n d;s i n g u l a rv a l u e0引言A B和最小奇异值n(A)在研究大型稀疏线性方程组迭代解的收敛性分析、误差分析和扰动分析中有着重要的应用近年来,特殊结构矩阵逆的无穷范数上界的估计得到了广泛的关注和研究,取得了很多好的结果 本文继续研究A B的上界,且当B为单位矩阵时,给出S D S D D 矩阵A的A 上界估计式和n(A)的下界估计式1基础知识为叙述方便,给出以下记号用Cnn表示nn阶复矩阵的集合,N,n 非空子集SN,SNS设A(ai j)Cnn,n,且ai i,i,kn,且ri(A)kiai k,riS(A)kS,iai k,RiS(A)kSirkS(A)|ak k|ai k|,Ri(A),|A|(|ai j|),AB为ai jbi j(i,jN)定义设A(ai j)Cnn,若|ai i|ri(A)(iN),则称A为严格对角占优矩阵,简称A是S D D 矩阵定义设A(ai j)Cnn,如果对任意的j,iN,ij,都有ai j,则称A为Z矩阵,记AZn设AZn,则A可表示为As IB,其中B当s(B)时,称A为M矩阵定义设A(ai j)Cnn,若其比较矩阵(A)(i j)为M矩阵,则称A为H矩阵,其中:i jai j,ij;|ai j|,ij定义设A(ai j)Cnn(n),且ai i若存在非空子集SN,使得riS(A)RiS(A),iS,()riS(A)RiS(A)()rSj(A)RjS(A)()RSi(A)RSj(A),iS,jS,()则称A为S D S D D 矩阵注:由 文 献 知S D DS D S D D,S D S D D S D D,S D S D D S D D 引理设A(ai j)Cnn,若A为S D S D D 矩阵,则A是H矩阵引理设A(ai j)Cnn,若A是H矩阵,则|A|(A)引理 A(ai j)Cnn是S D D矩阵,则A m i niN|ai i|ri(A)m a xiN|ai i|ri(A)()2主要结果定理设A(ai j)Cnn为S D S D D矩阵,且B(bi j)Cnm,则A B m a xiNxi m a x,()其中:xirSi(A)ai i(iS),xirSi(A)ai i(iS),m a xiSjS(rSj(A)RSj(A)mkbi kRSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A),m a xiSjSRSj(A)mkbi k(rSi(A)RSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)证明因为A是S D S D D矩阵,则由式()和式()知riS(A)(iS)且rjS(A)(jS)构造正对角矩阵Xd i a gx,x,xn(),其中:xirSi(A)ai i(iS),xirSi(A)ai i(iS)由引理和引理知A是H矩阵且|A|(A)令g|A B|e(g,g,gn)T,y(A)|B|e(y,y,yn)T,且e(,)T是m维列向量,则y(A)|B|e|A B|e|A B|eg因此,yX X(A)|B|e,即(A)X X y|B|e令X yz(z,z,zn)T,zpm a xiSzi,zqm a xjSzj,则|ai i|xizikN,i|ai k|xkzkmkbi k(iN)于是,mkbp k|ap p|rSp(A)ap pzpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzkkS|ap k|rSk(A)ak kzkrSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzkkS|ap k|rSk(A)ak kzkrSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq,()兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷且mkbq k|aq q|rSq(A)aq qzqkS|aq k|rSk(A)ak kzkkS,q|aq k|rSk(A)ak kzkrSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzkkS,q|aq k|rSk(A)ak kzkrSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)ak kzq()下面分两种情况讨论情况当|zp|zq|时,由式()rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k式()kS|ap k|rSk(A)ak k得,mkbp krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kmkbq kkS|ap k|rSk(A)ak k(rSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq)rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k(rSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)ak kzq)kS|ap k|rSk(A)ak kzprSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak k从而,zpmkbp k(rSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak k)mkbq kkS|ap k|rSk(A)ak k/rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak km a xiSjSmkbi k(rSj(A)kSkj|aj k|rSk(A)ak k)mkbj kkS|ai k|rSk(A)ak k/rSi(A)kS,i|ai k|rSk(A)ak krSj(A)kS,j|aj k|rSk(A)ak kkS|ai k|rSk(A)ak kkS|aj k|rSk(A)ak km a xiSjSmkbi krSj(A)RSj(A)()RSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)又因为A B(A)Bm a xiNyim a xiNxizim a xiNxim a xiNzizpm a xiNxi,所以A B m a xiNxi m a xiSjSrSj(A)RSj(A)()mkbi kRSi(A)mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()第期刘艳等:AB的无穷范数的上界估计RSi(A)RSj(A)()情况当|zq|zp|时,由式()kS|aq k|rSk(A)ak k式()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k得,mkbp k()kS|aq k|rSk(A)ak kmkbq k()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k(rSp(A)zpkS,p|ap k|rSk(A)ak kzpkS|ap k|rSk(A)ak kzq)kS|aq k|rSk(A)ak k(rSq(A)zqkS|aq k|rSk(A)ak kzpkS,q|aq k|rSk(A)ak kzq)rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak kzqrSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak k于是,zqmkbp k()kS|aq k|rSk(A)ak kmkbq k()rSp(A)kS,p|ap k|rSk(A)ak k/rSp(A)kSkp|ap k|rSk(A)ak krSq(A)kS,q|aq k|rSk(A)ak kkS|ap k|rSk(A)ak kkS|aq k|rSk(A)ak km a xiSjSmkbi k()kS|aj k|rSk(A)ak kmkbj k()rSi(A)kS,i|ai k|rSk(A)ak k/rSi(A)kS,i|ai k|rSk(A)ak krSj(A)kS,j|aj k|rSk(A)ak kkS|ai k|rSk(A)ak kkS|aj k|rSk(A)ak km a xiSjSRSj(A)mkbi krSi(A)RSi(A)()mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)又因为A B(A)Bm a xiNyim a xiNxizim a xiNxi m a xiNzizqm a xiNxi,所以A B m a xiNxi m a xiSjSRSj(A)mkbi krSi(A)RSi(A)()mkbj k/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)()由式()和式()知式()成立当矩阵B为n阶单位矩阵时,可得到下面的结果推论设A(ai j)Cnn为S D S D D 矩阵,则A(A)m a xiNxi m a x,()其中xirSi(A)ai i(iS),xirSi(A)ai i(iS),m a xiSjSrSj(A)RSj(A)RSi(A)/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷RSi(A)RSj(A),m a xiSjSRSj(A)rSi(A)RSi(A)/rSi(A)RSi(A)()rSj(A)RSj(A)()RSi(A)RSj(A)推论设A Cnn和它的转置AT均是S D S D D 矩阵,且S是相同的,则A(AT)()定理设A Cnn和它的转置AT均是S D S D D 矩阵且S是相同的,则n(A)(A)(AT)()证明由文献知,对任意A Cnn,有A AA由推论和推论得n(A)A (A)(AT)3数值例子例A ,B 取S,S,则A和AT是S D S D D 矩阵,但A不是S D D 矩阵故由式(),式(),式()和式(),分别得到A B ,A ,A ,(A)事实上,A B ,A ,A ,(A)例考虑以下矩阵A 取S,S,则A和AT是S D S D D 矩阵,且A是S D D 矩阵故由式(),式()和式(),分别得到A ,A ,(A)由式()得到A 事实上,A ,A ,(A)4结语本文给出了S D S D D 矩阵A Cnn和一般矩阵B Cnm的A B的上界估计式同时,利用新结果给出S D S D D 矩阵A的A 的新上界估计式及其最小奇异值n(A)的下界估计式数值算例表明了新估计式的可行性参考文献:B E RMAN A,P L EMMON SRJ N o n n e g a t i v em a t r i c e s i nt h em a t h e m a t i c a l s c i e n c e sM N e wY o r k:A c a d e m i cP r e s s,赵仁庆,何 建锋AB的无 穷大 范 数的 上界 估计J数学的实践与认识,():C V E T KOV IL,KO S T IV N e wc r i t e r i af o ri d e n t i f y i n gH m a t r i c e sJ J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a la n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,()(下转第 页)第期刘艳等:AB的无穷范数的上界估计取了文献中常用的资产定价模型作为比较测试选用个宏观经济变量(G D P,I D P和C F NA)作为美国未来投资机会的代理变量,通过构建时间序列预测回归模型验证流动性因子及因子模型对未来投资机会的预测效果结果表明,个基于不同维度构建的流动性因子对未来的投资机会具有不一致的预测力一般来说,L i u 的流动性因子正向预测个经济变量;S a d k a 的流动性因子负向预测G D P和C F NA;P a s t o r S t a m b a u g h在I D P回归中产生显著的负斜率对于其他的因子模型,发现只有H o u X u e Z h a n g 因子模型的投资因子I A对宏观经济指标具有显著为正的预测效果本文基于I C A PM理论证实了流动性风险是系统性风险的一个重要来源,同时预测能力的差异也反映了个流动性因子从不同的角度捕获了流动性风险参考文献:S HA R P E W F C a p i t a l a s s e tp r i c e s:At h e o r yo fm a r k e t e q u i l i b r i u mu n d e rc o n d i t i o n so fr i s kJ J o u r n a lo fF i n a n c e,():L I N T N E R J S e c u r i t y P r i c e s,R i s k,a n d M a x i m a lG a i n sF r o m D i v e r s i f i c a t i o nJ J o u r n a lo fF i n a n c e,():周爱民,葛琛,遥远惊弓之鸟:流动性恐慌与股票价格J南开经济研究,():刘维奇,卫飞扬货币政策、流动性溢价与股票市场波动J金融与经济,():王冠英,韩璐,苏畅流动性风险对我国公司债收益率的影响研究J天津大学学报(社会科学版),():陈金鑫,朱元倩基于非对称C o p u l a函数的系统流动性风险研究J统计与决策,():欧阳红兵,喻静琼基于因子模型的流动性对资产定价的影响研究J金融发展研究,():ME R TON RA ni n t e r t e m p o r a la s s e tp r i c i n gm o d e lJ E c o n o m e t r i c a,(),P A S TO RL,S TAMB AUGH RF L i q u i d i t yr i s ka n de x p e c t e ds t o c kr e t u r n sJ J o u r n a l o fP o l i t i c a lE c o n o m y,():F AMAEF,F R E N CH KR C o mm o nr i s kf a c t o r s i nt h er e t u r n so ns t o c k sa n db o n d sJ J o u r n a lo fF i n a n c i a lE c o n o m i c s,():L I U W Al i q u i d i t y a u g m e n t e dc a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e lJ J o u r n a l o fF i n a n c i a lE c o n o m i c s,():S A D KAR M o m e n t u ma n dp o s t e a r n i n g s a n n o u n c e m e n td r i f t a n o m a l i e s:T h er o l eo f l i q u i d i t yr i s kJJ o u r n a lo fF i n a n c i a lE c o n o m i c s,():C A RHA R T M M O np e r s i s t e n c ei n m u t u a lf u n dp e r f o r m a n c eJ J o u r n a lo fF i n a n c e,(),F AMAEF,F r e n c hKR Af i v e f a c t o ra s s e tp r i c i n gm o d e lJ J o u r n a l o fF i n a n c i a lE c o n o m i c s,():HOU K,X U EC,Z HANGL D i g e s t i n ga n o m a l i e s:A ni n v e s t m e n ta p p r o a c hJ R e v i e w o fF i n a n c i a lS t u d i e s,():N EWE Y W,WE S T K As i m p l e,p o s i t i v es e m i d e f i n i t e,h e t e r o s k e d a s t i c i t ya n da u t o c o r r e l a t i o nc o n s i s t e n t c o v a r i a n c em a t r i xJ E c o n o m e t r i c a,责任编辑:赵慧霞(上接第 页)陈公宁矩 阵 理 论 与 应 用M北 京:科 学 出 版 社,L ICQ,P E IH,G AOAN,e t a l I m p r o v e m e n t so n t h ei n f i n i t yn o r mb o u n df o rt h ei n v e r s eo fN e k r a s o vm a t r i c e sJ N u m e rA l g o r i t h m s,:李艳艳 N e k r a s o v矩阵逆的无穷范数改进的估计式J云南大学学报,():KO L O T I L I NALY N e wc l a s s e so fn o n s i n g u l a rm a t r i c e sa n du p p e rb o u n d s f o r t h e i r i n v e r s e sJ J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,():KO L O T I L I NALY N e k r a s o vt y p em a t r i c e sa n du p p e rb o u n d sf o rt h e i ri n v e r s e sJ J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,():O R E R A H,P E NAJM I n f i n i t yn o r mb o u n d sf o r t h ei n v e r s eo fN e k r a s o v m a t r i c e su s i n gs c a l i n g m a t r i c e sJ A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,():佘丽丽,赵建兴最终N e k r a s o v矩阵A的A的上界J黑龙江大学自然科学学报,():高磊,井霞,王亚强 S N e k r a s o v矩阵的逆矩阵无穷范数的新上界J高等学校计算数学学报,():VA R AHJM Al o w e rb o u n df o r t h e s m a l l e s t s i n g u l a r v a l u eo fm a t r i xJ L i n e a rA l g e b r a a n d i t sA p p l i c a t i o n s,():责任编辑:赵慧霞兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷