保积BiHom-Poisson Color代数的广义导子 (1).pdf

第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 0 9保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子陈明露,曹 燕(哈尔滨理工大学 理学院,哈尔滨1 5 0 0 8 0)摘要:给出保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数A的导子代数D e r(A)、广义导子代数G D e r(A)、拟导子代数Q D e r(A)、型心C(A),拟型心Q C(A)及中心导子代数Z D e r(A)的一些基本性质,并证明G D e r(A)=Q D e r(A)+Q C(A).关键词:保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数;广义导子;拟导子;型心中图分类号:O 1 5 2.5 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 2 4-0 9G e n e r a l i z e dD e r i v a t i o n so fM u l t i p l i c a t i v eB i H o m-P o i s s o nC o l o rA l g e b r a sCHE N M i n g l u,C AOY a n(S c h o o l o fS c i e n c e,H a r b i nU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,H a r b i n1 5 0 0 8 0,C h i n a)A b s t r a c t:W eg a v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ed e r i v a t i o na l g e b r aD e r(A),g e n e r a l i z e dd e r i v a t i o na l g e b r aG D e r(A),q u a s i d e r i v a t i o na l g e b r a Q D e r(A),c e n t r o i dC(A),q u a s i c e n t r o i d Q C(A)a n dc e n t r a l d e r i v a t i o na l g e b r aZ D e r(A)o fam u l t i p l i c a t i v eB i H o m-P o i s s o nc o l o ra l g e b r a sA,a n dp r o v e dt h a tG D e r(A)=Q D e r(A)+Q C(A).K e y w o r d s:m u l t i p l i c a t i v e B i H o m-P o i s s o n c o l o ra l g e b r a;g e n e r a l i z e d d e r i v a t i o n;q u a s i d e r i v a t i o n;c e n t r o i d收稿日期:2 0 2 2-1 0-0 3.第一作者简介:陈明露(1 9 9 9),女,汉族,硕士研究生,从事李代数的研究,E-m a i l:c h e n m i n g l u 2 0 2 11 6 3.c o m.通信作者简介:曹 燕(1 9 8 1),女,汉族,博士,副教授,从事李代数的研究,E-m a i l:4 8 0 6 9 6 0 7q q.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:1 1 8 0 1 1 2 1)、黑龙江省自然科学基金(批准号:Q C 2 0 1 8 0 0 6)和黑龙江省普通高校基本科研业务费项目(批准号:L GY C 2 0 1 8 J C 0 0 2).P o i s s o n代数是同时具有李代数结构和结合代数结构且满足L e i b n i z等式的代数.文献1-2 研究了P o i s s o n代数的上同调群、变形、张量积和G-分次等问题,并给出了P o i s s o nc o l o r代数的定义及其相关性质,进一步研究了P o i s s o n超代数的一些性质;H a r t w i g等3定义了H o m-李代数,与李代数的不同之处是其J a c o b i恒等式被线性映射扭曲;M a k h l o u f等4定义了H o m-P o i s s o n代数,其为在H o m-李代数的基础上呈现张量理论的代数结构;A t t a n5研究了H o m-P o i s s o nc o l o r代数的构造方法;G r a z i a n i等6利用范畴论的方法刻画了被两个同态映射扭曲的B i H o m-李代数.此外,文献7-9 研究了B i H o m-型代数结构.导子代数是李代数和广义李代数的重要课题.L e g e r等1 0确定了拟导子和广义导子代数的结构,并证明了李代数的拟导子代数可以嵌入较大李代数的导子代数中;K o m a t s u等1 1研究了结合代数的导子代数及其相关性质;周佳等1 2给出了H o m-李代数的导子代数的一些基本性质;Z h o u等1 3研究了H o m-李c o l o r代数的导子及其性质;H a s s i n e1 4将H o m-李代数的导子推广到了B i H o m-李代数中.基于此,本文给出保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数的导子、广义导子和拟导子的定义及一些性质.1 预备知识定义11 设G是交换群,FF是任意域.若对任意的,G,存在线性映射:GGFF 0,满足:1)(,)(,)=1;2)(,+)=(,)(,);3)(+,)=(,)(,).则称映射为G的斜对称双特征标(或交换因子).易知(,0)=(0,)=1,(,)=1.如果存在V的一簇子空间VG,满足V=GV,则线性空间V称为G-阶化的.如果xV(G),则x称为次齐次元素.如果x,y,z是G-阶化向量空间中的齐次元,则用x,y,zG表示它们的次数.为方便,通常用(x,y)表示(x,y),用(x,y+z)表示(x,y+z),以此类推.此外,(x,y)即表明其中的x,y是齐次元.本文用h g(V)表示V中所有齐次元.设V,W是两个G-阶化的线性空间,如果对任意的xV,都有f(x)W+,则称线性映射f:VW是次的.若f是零次的,即f(V)W,则称f是偶的.若对任意的,G,A是G-阶化线性空间,即A=GA,且满足AAA+,则A称为G-阶化的代数.若(A)B,则称同态:AB是偶的.定义21 P o i s s o nc o l o r代数是一个四元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)和,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的两个偶的双线性映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)(A,)是一个结合c o l o r代数,即满足(x,(y,z)=(x,y),z);2)(A,)是一个李c o l o r代数,即满足x,y=-(x,y)y,x,(z,x)x,y,z+(y,z)z,x,y+(x,y)y,z,x=0;3)(L e i b n i zc o l o r等式)(x,y),z=(x,y,z)+(x,y)(y,x,z).其中x,y,zh g(A).定义36 B i H o m-结合c o l o r代数是一个五元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)是A上的一个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足=,(x),(y,z)=(x,y),(z),其中x,y,zh g(A).若x y=(x,y)y x,则B i H o m-结合c o l o r代数称为可交换的B i H o m-结合c o l o r代数.定义48 B i H o m-李c o l o r代数是一个五元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的一个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)=;2)(-反对称性)(x),(y)=-(x,y)(y),(x);3)(B i H o m-J a c o b i等式)(z,x)2(x),(y),(z)+(x,y)2(y),(z),(x)+(y,z)2(z),(x),(y)=0.527 第4期 陈明露,等:保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子 其中x,y,zh g(A).定义59 B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数是一个六元组(A,),其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,:AAA(对任意的g,hG,有(Ag,Ah)Ag+h)和,:AAA(对任意的g,hG,有Ag,AhAg+h)是A上的两个偶的双线性映射,:AA是A上的两个偶自同态映射,:GGFF 0 是G上的一个斜对称双特征标,满足:1)(A,)是一个B i H o m-结合c o l o r代数;2)(A,)是一个B i H o m-李c o l o r代数;3)(B i H o m-L e i b n i zc o l o r等式)(x,y),(z)=(x),y,(z)+(y,z)(x,(z),(y).其中x,y,zh g(A).特别地,若还满足x,y=(x),(y),x,y=(x),(y),(x,y)=(x),(y),(x,y)=(x),(y),则A称为保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数.当G=0 时,B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数成为B i H o m-P o i s s o n代数;当=I dA,=I dA及(x,y)恒为1时,B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数成为P o i s s o n代数;当G=2且(x,y)=(-1)xy时,B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数成为B i H o m-P o i s s o n超代数.命题1 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,其中A=gGAg是域FF上的一个G-阶化向量空间,是A上的偶同态,E n d(A)表示A的所有线性变换构成的线性空间,令=DE n d(A)D=D,D=D,则对任意的D,Dh g(),五元组(,)关于李c o l o r括积运算D,D=DD-(,)DD(1)构成一个B i H o m-李c o l o r代数,其中同态,:是偶的,且满足(D)=D,(D)=D.证明:由B i H o m-李c o l o r代数的定义,对任意的D,D,Dh g(),首先有(D)=(D)=D=D=(D)=(D);其次可得(D),(D)=D,D=DD-(,)DD=DD-(,)DD=DD-(,)DD=-(,)D,D=-(,)(D),(D).再利用李c o l o r括积运算证明B i H o m-J a c o b i等式,对任意的D,D,Dh g(),有(,)2(D),(D),(D)=(,)(D),(D),(D)=(,)2D,D D-(,)DD=(,)2D,D D-(,)(,)2D,DD=(,)(2DD D-(,+)D D2D)-(,)(,)(2D DD-(,+)DD2D)=(,)2DD D-(,)D D2D-(,)(,)2D DD+(,)(,)DD2D,(2)类似可得(,)2(D),(D),(D)=(,)2DD D-(,)D D2D-(,)(,)2D DD+(,)(,)DD2D,(3)(,)2(D),(D),(D)=(,)2DD D-(,)D D2D-(,)(,)2D DD+(,)(,)DD2D.(4)627 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 将式(2)(4)相加,可得(,)2(D),(D),(D)+(,)2(D),(D),(D)+(,)2(D),(D),(D)=0.所以五元组(,)是B i H o m-李c o l o r代数.任取G,对任意的G,令E n d(A)=DE n d(A)D(A)A+.定义6 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,DE n d(A),k,l.1)对任意的x,yh g(A),若满足:D=D,D=D;D(x,y)=D(x),kl(y)+(D,x)kl(x),D(y);D(x,y)=(D(x),kl(y)+(D,x)(kl(x),D(y).则D称为A的次kl-导子.2)对任意的x,yh g(A),如果存在D,D E n d(A),满足:D=D,D=D,D=D,D=D,D=D,D=D;D(x,y)=D(x),kl(y)+(D,x)kl(x),D(y);D(x,y)=(D(x),kl(y)+(D,x)(kl(x),D(y).则D称为A的次kl-广义导子.3)对任意的x,yh g(A),如果存在D E n d(A),满足:D=D,D=D,D=D,D=D;D(x,y)=D(x),kl(y)+(D,x)kl(x),D(y);D(x,y)=(D(x),kl(y)+(D,x)(kl(x),D(y).则D称为A的次kl-拟导子.4)对任意的x,yh g(A),若满足:D=D,D=D;D(x,y)=D(x),kl(y)=(D,x)kl(x),D(y);D(x,y)=(D(x),kl(y)=(D,x)(kl(x),D(y).则D称为A的次kl-型心.5)对任意的x,yh g(A),若满足:D=D,D=D;D(x),kl(y)=(D,x)kl(x),D(y);(D(x),kl(y)=(D,x)(kl(x),D(y).则D称为A的次kl-拟型心.6)对任意的x,yh g(A),若满足:D=D,D=D;D(x,y)=D(x),kl(y)=0;D(x,y)=(D(x),kl(y)=0.则D称为A的次kl-中心导子.用D e rkl(A),G D e rkl(A),Q D e rkl(A),Ckl(A),Q Ckl(A),Z D e rkl(A)分 别 表 示 六 元 组(A,)的次kl-导子、次kl-广义导子、次kl-拟导子、次kl-型心、次kl-拟型心、次kl-中心导子构成的全体.令D e r(A)=k0,l0D e rkl(A),G D e r(A)=k0,l0G D e rkl(A),Q D e r(A)=k0,l0Q D e rkl(A),C(A)=k0,l0Ckl(A),Q C(A)=k0,l0Q Ckl(A),Z D e r(A)=k0,l0Z D e rkl(A).727 第4期 陈明露,等:保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子 D e r(A)=k0,l0D e rkl(A)称为A的导子,其中D e rkl(A)是G-阶化的,即D e rkl(A)=GD e rkl(A).G D e r(A)=k0,l0G D e rkl(A)称为A的广义导子,其中G D e rkl(A)是G-阶化的,即G D e rkl(A)=GG D e rkl(A).Q D e r(A)=k0,l0Q D e rkl(A)称为A的拟导子,其中Q D e rkl(A)是G-阶化的,即Q D e rkl(A)=GQ D e rkl(A).C(A)=k0,l0Ckl(A)称为A的型心,其中Ckl(A)是G-阶化的,即Ckl(A)=GCkl(A).Q C(A)=k0,l0QCkl(A)称为A的拟型心,其中Q Ckl(A)是G-阶化的,即Q Ckl(A)=GQ Ckl(A).Z D e r(A)=k0,l0Z D e rkl(A)称为A的中心导子,其中Z D e rkl(A)是G-阶化的,即Z D e rkl(A)=GZ D e rkl(A).根据上述定义易得Z D e r(A)D e r(A)Q D e r(A)G D e r(A)E n d(A),C(A)Q C(A)Q D e r(A).定义7 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,若Z(A)=xAx,A+(x,A)+(A,x)=0,(5)则Z(A)称为A的中心.下面给出B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数的子代数、B i H o m-子代数、理想以及B i H o m-理想的定义.定义8 设六元组(A,)是B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,L和I是A的G-阶化子空间.若L,L+(L,L)L,则称L是A的子代数.若I,A+(I,A)+(A,I)I,则称I是A的理想.定义9 设六元组(A,)是B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,L和I是L的G-阶化子空间.若L,L+(L,L)L,且(L)L,(L)L,则称L是A的B i H o m-子代数.若I,A+(I,A)+(A,I)I,且(I)I,(I)I,则称I是A的B i H o m-理想.2 主要结果定理1 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,则:1)G D e r(A),Q D e r(A)和C(A)是的B i H o m-子代数;2)Z D e r(A)是D e r(A)的B i H o m-理想.证明:1)设D1G D e rkl(A),D2G D e rst(A),则对任意的x,yh g(A),有(D 1)(x,y)=(D 1)(x,y)=(D 1)(x,y)=(D 1x,y)=(D1(x),kl(y)+(,x)kl(x),D 1(y)=(D1(x),kl(y)+(,x)(kl(x),D 1(y)=(D1)(x),k+1l(y)+(,x)k+1l(x),(D 1(y),(D1)(x),k+1l(y)=(D1(x),kl(y)=(D 1(x,y)-(,x)(kl(x),D 1(y)=(D 1)(x,y)-(,x)(k+1l(x),(D 1(y).由于(D 1)h g(E n d(A),(D 1)h g(E n d(A),因此(D1)G D e rk+1l(A).同理可证(D1)G D e rkl+1(A).此外,一方面有D1D2(x),k+sl+t(y)=D1(D2(x),kl(st(y)=827 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 D 1(D 2(x,y)-(,x)st(x),D 2(y)-(,+x)kl(D2(x),D 1(st(y)=D 1D 2(x,y)-(,x)D 1(st(x),D 2(y)-(,+x)kl(D2(x),D 1(st(y)=D 1D 2(x,y)-(,x)(D1(st(x),kl(D 2(y)+(,x)k+sl+t(x),D 1D 2(y)-(,+x)kl(D2(x),D 1(st(y)=D 1D 2(x,y)-(,x)(D1(st(x),kl(D 2(y)-(+,x)k+sl+t(x),D 1D 2(y)-(,+x)kl(D2(x),D 1(st(y).类似可得D2D1(x),k+sl+t(y)=D 2D 1(x,y)-(,x)(D2(kl(x),st(D 1(y)-(+,x)k+sl+t(x),D 2D 1(y)-(,+x)st(D1(x),D 2(kl)(y).同时利用式(1),可得 D1,D2(x),k+sl+t(y)=D 1,D 2(x,y)-(+,x)k+sl+t(x),D 1,D 1(y),即D 1,D 2(x,y)=D1,D2(x),k+sl+t(y)+(+,x)k+sl+t(x),D 1,D 1(y).另一方面,同理有D 1,D 2(x,y)=(D1,D2(x),k+sl+t(y)+(+,x)(k+sl+t(x),D 1,D 2(y).又因为D 1,D 1h g(E n d(A),D 1,D 2h g(E n d(A),所以D1,D2G D e r+k+sl+t(A),从而G D e r(A)是的B i H o m-c o l o r子代数.同理可证Q D e r(A)和C(A)是的B i H o m-子代数.2)设D1Z D e rkl(A),D2D e rst(A),则对任意的x,yh g(A),有(D1)(x),k+1l(y)=(D1(x),kl(y)=(D1(x,y)=(D1)(x,y)=0,(D1)(x),k+1l(y)=(D1(x),kl(y)=(D1(x,y)=(D1)(x,y)=0,因此(D1)Z D e rk+1l(A).同理可得(D1)Z D e rkl+1(A).又由于(D1,D2(x),k+sl+t(y)=(D1(D2(x),kl(st(y)-(,)(D2(D1(x),st(kl(y)=D1(D2(x),st(y)-(,)(D2(D1(x),kl(y)-(,+x)st(D1(x),D2(kl(y)=D1(D2(x,y)-(,x)D1(st(x),D2(y)-(,)D2(D1(x,y)+(,x)D1(st(x),D2(y)=D1,D2(x,y)=0,类似可得(D1,D2(x),k+sl+t(y)=D1,D2(x,y)=0.因此D1,D2Z D e r+k+sl+t(A),即Z D e r(A)是D e r(A)的B i H o m-理想.定理2 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,则:1)D e r(A),C(A)C(A);2)Q D e r(A),Q C(A)Q C(A);3)Q C(A),Q C(A)Q D e r(A);4)C(A)Q D e r(A).证明:1)设D1D e rkl(A),D2Cst(A),则对任意的x,yh g(A),一方面有D1D2(x),k+sl+t(y)=D1(D2(x),kl(st(y)=D1(D2(x),st(y)-(,+x)kl(D2(x),D1(st(y)=D1(D2(x,y)-(,+x)D2(kl(x),st(D1(y)=D1(D2(x,y)-(,+x)(,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y)=D1(D2(x,y)-(,)(+,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y),(6)类似可得D2D1(x),k+sl+t(y)=D2(D1(x),st(kl(y)=927 第4期 陈明露,等:保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子 D2(D1(x,y)-(+,x)k+sl+t(x),D2(D1(y).(7)由式(6),(7)知D1,D2(x,y)=D1,D2(x),k+sl+t(y).又有(+,x)k+sl+t(x),D1D2(y)=(,x)(,x)kl(st(x),D1(D2(y)=(,x)(D1(st(x),D2(y)-D1(st(x),kl(D2(y)=D1(,x)st(x),D2(y)-(,x)D1(st(x),kl(D2(y)=D1(D2(x,y)-(,x)st(D1(x),D2(kl(y),(8)类似可得(+,x)k+sl+t(x),D2D1(y)=D2(D1(x,y)-(,+x)st(D1(x),D2(kl(y).(9)由式(8),(9)知D1,D2(x,y)=(+,x)k+sl+t(x),D1,D2(y).因此有D1,D2(x,y)=D1,D2(x),k+sl+t(y)=(+,x)k+sl+t(x),D1,D2(y).另一方面,有(D1D2(x),k+sl+t(y)=(D1(D2(x),kl(st(y)=D1(D2(x),st(y)-(,+x)(kl(D2(x),D1(st(y)=D1(D2(x,y)-(,+x)(D2(kl(x),st(D1(y)=D1(D2(x,y)-(,+x)(,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y)=D1(D2(x,y)-(,)(+,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y),(1 0)类似可得(D2D1(x),k+sl+t(y)=(D2(D1(x),st(kl(y)=D2(D1(x,y)-(+,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y).(1 1)由式(1 0),(1 1)知D1,D2(x,y)=(D1,D2(x),k+sl+t(y).又有(+,x)(k+sl+t(x),D1D2(y)=(,x)(,x)(kl(st(x),D1(D2(y)=(,x)(D1(st(x),D2(y)-(D1(st(x),kl(D2(y)=D1(,x)(st(x),D2(y)-(,x)(D1(st(x),kl(D2(y)=D1(D2(x,y)-(,x)(st(D1(x),D2(kl(y),(1 2)类似可得(+,x)(k+sl+t(x),D2D1(y)=D2(D1(x,y)-(,+x)(st(D1(x),D2(kl(y).(1 3)由式(1 2),(1 3)知D1,D2(x,y)=(+,x)(k+sl+t(x),D1,D2(y).因此D1,D2(x,y)=(D1,D2(x),k+sl+t(y)=(+,x)(k+sl+t(x),D1,D2(y).故D1,D2C+k+sl+t(A),从而D e r(A),C(A)C(A).2)证明类似1).3)设D1Q Ckl(A),D2Q Cst(A),则对任意的x,yh g(A),一方面,有 D1,D2(x),k+sl+t(y)=D1(D2(x),kl(st(y)-(,)D2(D1(x),st(kl(y)=(,+x)kl(D2(x),D1(st(y)-(,)(,+x)st(D1(x),D2(kl(y)=(,+x)D2(kl(x),st(D1(y)-(,)(,+x)D1(st(x),kl(D2(y)=(,)(+,x)(k+sl+t(x),D2(D1(y)-(+,x)(k+sl+t(x),D1(D2(y),则(D1,D2(x),k+sl+t(y)+(+,x)k+sl+t(x),D1,D2(y)=0.另一方面,类似有(D1,D2(x),k+sl+t(y)+(+,x)(k+sl+t(x),D1,D2(y)=0.令D1,D2=0,则D1,D2Q D e r+k+sl+t(A),因此Q C(A),Q C(A)Q D e r(A).4)设DCkl(A),则对任意的x,yh g(A),可得037 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 D(x),kl(y)=(,x)kl(x),D(y)=D(x,y),(D(x),kl(y)=(,x)(kl(x),D(y)=D(x,y),因此2D(x,y)=D(x),kl(y)+(,x)kl(x),D(y),2D(x,y)=(D(x),kl(y)+(,x)(kl(x),D(y).从而C(A)Q D e r(A).定理3 设六元组(A,)是特征不等于2的数域FF上的保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,则Z D e r(A)=C(A)D e r(A).证明:一方面,设DD e rkl(A)Ckl(A),则对任意的x,yh g(A),有D(x,y)=D(x),kl(y)+(,x)kl(x),D(y),D(x,y)=D(x),kl(y)=(,x)kl(x),D(y).所以2D(x,y)=0,又因为域FF特征不等于2,因此D(x,y)=0,同理D(x,y)=0.故DZ D e rkl(A),从而C(A)D e r(A)Z D e r(A).另一方面,设DZ D e rkl(A),对任意的x,yh g(A),有D(x,y)=D(x),kl(y)=0,D(x,y)=(D(x),kl(y)=0.直接验证可知DD e rkl(A)Ckl(A),从而Z D e r(A)C(A)D e r(A).综上,结论成立.定理4 设六元组(A,)是保积B i H o m-P o i s s o nc o l o r代数,则:1)Q D e r(A)+Q C(A)=G D e r(A);2)若Z(A)=0,则D e r(A)C(A)Q D e r(A).证明:1)一方面,由Q D e r(A)G D e r(A)和Q C(A)G D e r(A),有Q D e r(A)+Q C(A)G D e r(A).另一方面,设D1G D e rkl(A),对任意的x,yA,存在D 1,D 1E n d(A),使得D 1(x,y)=D1(x),kl(y)+(,x)kl(x),D 1(y),(1 4)故-(x,y)D 1(y,x)=-(+x,y)kl(y),D1(x)-(x,+y)(,x)D 1(y),kl(x),即-(x,y)D 1(y,x)=-(x,y)D 1(y),kl(x)-(+x,y)kl(y),D1(x),变形得-(y,x)D 1(x,y)=-(y,x)D 1(x),kl(y)-(+y,x)kl(x),D1(y),整理得D 1(x,y)=D 1(x),kl(y)+(,x)kl(x),D1(y).(1 5)将式(1 4)和式(1 5)相加,可得D1+D 12(x),kl(y)+(,x)kl(x),D1+D 12(y)=D 1(x,y),将式(1 4)和式(1 5)相减,可得D1-D 12(x),kl(y)-(,x)kl(x),D1-D 12(y)=0.故D1+D 12Q D e rkl(A),D1-D 12Q Ckl(A).因此D1=D1+D 12+D1-D 12 Q D e rkl(A)+Q Ckl(A),从而G D e r(A)Q D e r(A)+Q C(A).综上,结论成立.2)由 于D e r(A)Q D e r(A)和C(A)Q D e r(A),设DD e r(A)C(A),则 对 任 意 的137 第4期 陈明露,等:保积B i H o m-P o i s s o nC o l o r代数的广义导子 z,yh g(A),有D(z),y+(,z)z,D(y)=D(z,y),D(z),y=(,z)z,D(y)=D(z,y),故D(z),y=0.同理(D(z),y)=0=(y,D(z).由式(5),直接验证可知DZ(A)=0,从而结论成立.参考文献1 王聪.P o i s s o n C o l o r代 数 D.长 春:东 北 师 范 大 学,2 0 1 5.(WANG C.P o i s s o n C o l o r A l g e b r aD.C h a n g c h u n:N o r t h e a s tN o r m a lU n i v e r s i t y,2 0 1 5.)2 张庆成,张爽.广义P o i s s o n超代数的同调与上同调群 J.数学年刊A辑(中文版),2 0 1 1,3 2(3):2 5 7-2 6 6.(Z HANGQC,Z HANGS.T h eH o m o l o g ya n dC o h o m o l o g yo fG e n e r a l i z e dP o i s s o nS u p e r a l g e b r a sJ.C h i n e s eA n n a l so fM a t h e m a t i c sA(C h i n e s eS e r i e s),2 0 1 1,3 2(3):2 5 7-2 6 6.)3 HA R TW I GJT,L A R S S ON D,S I L V E S T R OV SD.D e f o r m a t i o n so fL i eA l g e b r a sU s i n g-D e r i v a t i o n sJ.J o u r n a l o fA l g e b r a,2 0 0 6,2 9 5(2):3 1 4-3 6 1.4 MAKHL OU F A,S I L V E S T R OV S.N o t e so n 1-P a r a m e t e r F o r m a l D e f o r m a t i o n so f H o m-A s s o c i a t i v ea n dH o m-L i eA l g e b r aJ.F o r u m M a t h e m a t i c u m,2 0 1 0,2 2(4):7 1 5-7 3 9.5 A T TANS.S o m eC h a r a c t e r i z a t i o n so fC o l o rH o m-P o i s s o nA l g e b r a sJ.H a c e t t e p eJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,2 0 1 8,4 7(6):1 5 5 2-1 5 6 3.6 G R A Z I AN IG,MAKHL OU F A,ME N I N IC,e ta l.B i H o m-A s s o c i a t i v eA l g e b r a s,B i H o m-L i eA l g e b r a sa n dB i H o m-B i a l g e b r a sJ.S y mm e t r y,I n t e g r a b i l i t ya n d G e o m e t r y:M e t h o d sa n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 5,1 1:8 6-1-8 6-3 4.7 腾文,游泰杰.广义B i H o m-李代数与B i H o m-杨-巴克斯特方程 J.华中师范大学学报(自然科学版),2 0 2 2,5 6(3):3 9 4-4 0 0.(T E N G W,YOUTJ.G e n e r a l i z e dB i H o m-L i eA l g e b r aa n dB i H o m-Y a n g-B a x t e rE q u a t i o nJ.J o u r n a l o fC e n t r a lC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e s),2 0 2 2,5 6(3):3 9 4-4 0 0.)8 C AOY,T AO YL.O nS p l i tR e g u l a rB i H o m-L i eC o l o rA l g e b r a sJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c s,2 0 2 2,4 2(1):4 9-6 2.9 TAOYL,C AO Y.O nS p l i tR e g u l a rB i H o m-P o i s s o nC o l o rA l g e b r a sJ.O p e n M a t h e m a t i c s,2 0 2 1,1 9(1):6 0 0-6 1 3.1 0 L E G E RGF,L UK SE M.G e n e r a l i z e dD e r i v a t i o n so fL i eA l g e b r a sJ.J o