4阶Hankel符号模式矩阵的若干研究.pdf

第4 6卷2期2 0 2 3年6月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.2J u n.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 6基金项目:辽宁省教育厅科学研究青年项目(L Q 2 0 2 0 0 2 1)作者简介:田岩(1 9 8 3-),女,吉林辽源人,辽宁师范大学讲师,博士.E-m a i l:t i a n t i a n 8 8 3 51 6 3.c o m 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 2-0 1 6 3-0 6 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 2 0 1 6 34阶H a n k e l符号模式矩阵的若干研究田 岩,赵心茹,蒋思源(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:主要考虑H a n k e l符号模式矩阵,研究4阶H a n k e l符号模式矩阵是否允许代数正以及要求代数正.结合组合矩阵论和图论的理论,研究零对角的4阶H a n k e l符号模式矩阵,分别给出零对角的4阶H a n k e l符号模式矩阵允许代数正以及要求代数正的等价条件.同时,给出一类允许代数正的4阶H a n k e l符号模式矩阵及其具体结构.关键词:H a n k e l符号模式矩阵;符号模式矩阵;允许代数正;要求代数正中图分类号:O 1 5 1.2 1 文献标识码:A0 引 言H a n k e l矩阵是一类非常重要的矩阵,在力学、控制理论、数字信号处理、数值计算、系统理论和自动控制理论等很多领域都有非常重要的应用.符号模式矩阵是组合矩阵论的一个重要问题,主要通过实矩阵的元素符号来研究实矩阵具有的仅与其元素的符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质.1 9 8 7年,C.A.E s c h e n b a c h1引入并研究了符号模式矩阵允许和要求某种性质.2 0 1 6年,S.K i r k l a n d、P.Q i a o和X.Z.Z h a n2引入并研究了代数正矩阵.同时,他们首次提出了符号模式矩阵要求代数正和允许代数正这两个重要问题.2 0 1 9年,J.L.A b a g a t等3讨论了3阶不可约符号模式矩阵,分别给出了符号模式矩阵要求代数正、允许代数正非要求代数正以及非允许代数正的刻画.同年,S.D a s等4研究了树符号模式矩阵允许代数正和要求代数正.2 0 2 1年,S.D a s5给出了5阶树符号模式矩阵要求代数正的等价条件.2 0 2 2年,A.B i s w a s和S.K u n d u6刻画了3阶对称符号模式矩阵要求代数正.同年,S.D a s7讨论了符号模式矩阵是允许代数正的充分条件,并且给出了从低阶代数正矩阵构造高阶代数正矩阵的方法.本文受到上述文献的启发,考虑H a n k e l符号模式矩阵,借助组合矩阵论和图论的理论以及M a p l e编程软件,分别给出阶数为4的零对角H a n k e l符号模式矩阵允许代数正和要求代数正的刻画,并且找到一类允许代数正的4阶H a n k e l符号模式矩阵.符号模式矩阵(简称符号模式)是指所有元素都来自集合+,-,0 的矩阵.任意实矩阵A=(ai j),以ai j的符号为元素构成的符号模式矩阵称为A的符号模式矩阵.Q(A)表示与符号模式矩阵A具有相同符号的实矩阵构成的集合.设符号模式矩阵A具有性质P,若Q(A)中每一个矩阵都具有性质P,则称符号模式矩阵A要求P.设符号模式矩阵A具有性质P,若Q(A)中存在一个矩阵具有性质P,则称符号模式矩阵A允许P.正矩阵(非负矩阵)M是指所有元素都是正(非负)实数的矩阵,记作M0(M0).1 6 4 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷本文研究的矩阵都是实方阵.1 预备知识以下是本文用到的基本概念以及相关结论.引理1.12 代数正矩阵都是不可约矩阵.引理1.22 设A是符号模式矩阵,若A允许代数正,则A的每行每列都包含+或每行每列都包含-.引理1.36 若A是不可约的实矩阵,并且除对角线以外的元素都是非负或非正,则A是代数正矩阵.引理1.46 设A是对称的实矩阵,则A是代数正矩阵当且仅当存在单特征值以及对应的正的右特征向量.引理1.54 设A是符号模式矩阵,则A要求代数正当且仅当P A P要求代数正,其中,P是置换符号模式矩阵.引理1.64 设A是不可约符号模式矩阵,若A中除对角线以外的非零元符号都相同,则A要求代数正.定义1.1 设A是n阶矩阵(符号模式矩阵),若存在置换矩阵P使得PA P=B0CD,其中,B,D是阶数小于n的方阵,则称A可约.否则,称A不可约.设V是有限集合,EV2,则集合对D=(V,E)称为一个有向图.V中元素称为顶点,E中的元素称为弧8.设A是n阶矩阵(或符号模式矩阵),则对于D(A)中任意两个不同顶点i,j 1,2,n,存在i到j的有向路径当且仅当A(i,i+1)A(i+1,i+2)A(j-1,j)0.在n阶矩阵M的有向图D(M)中,若对于任意两个顶点i,j1,2,n,存在从i到j和j到i的有向路径,则称顶点i,j强连通.D(M)强连通当且仅当对于D(M)的任意两个顶点都强连通8.引理1.78 设M是n阶矩阵(符号模式矩阵),则M不可约当且仅当它的有向图D(M)强连通.定理1.13 设A是n阶符号模式矩阵.若A不可约且BA可约,则A不是允许代数正.2 4阶H a n k e l符号模式矩阵这部分主要考虑零对角的4阶H a n k e l符号模式矩阵,讨论其是否允许代数正以及要求代数正.最后,找到一类允许代数正的4阶H a n k e l符号模式矩阵.定义2.1 符号模式矩阵形如A=a0a1a2an-1a1a2a3ana2a3a4an+1an-1anan+1a2n-2,其中,ai+,-,0(i=0,1,2n-2),称A是H a n k e l符号模式矩阵.设A是n阶符号模式矩阵,A+表示A中非负符号位置的元素不变,负符号位置的元素用0代替;A-表示A中非正符号位置的元素不变,正符号位置的元素用0代替,定义BA=A+-A-3.第2期田 岩等:4阶H a n k e l符号模式矩阵的若干研究1 6 5 定义2.26 设A是符号模式矩阵,若A的对角线元素都是0,则A是零对角符号模式矩阵.引理2.1 设A是n阶对称符号模式矩阵.若A不可约,则BA不可约.证 由已知A是对称的,则1ijn,A(i,j)和A(j,i)符号相同.当A(i,j)=+,A(j,i)=+时,由BA的定义可知,(BA)(i,j)=+,(BA)(j,i)=+.当A(i,j)=-,A(j,i)=-时,由BA的定义可知,(BA)(i,j)=+,(BA)(j,i)=+.所以,BA对应A中非零元位置的元素都是+.由于A不可约,根据引理1.7,D(A)强连通,即A中任意两个顶点强连通,即任意两个顶点之间都存在有向路径.因此,D(BA)中任意两个顶点之间也存在有向路径,即任意两个顶点强连通,故D(BA)强连通.由引理1.7可知,BA不可约.因为H a n k e l符号模式矩阵是对称的,所以根据引理2.1,若BA可约,则A可约.根据定理1.1,讨论A是否允许代数正,只需考虑A是不可约的情况.定理2.1 设A是零对角的4阶H a n k e l符号模式矩阵,则A允许代数正当且仅当A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵S=0+0+0+00+0+0+0,0+0+0+00+00+000,0-0+-0+00+00+000,0+0+0+00+0-+0-0,0-0+-0+00+0-+0-0.证 设零对角的4阶H a n k e l符号模式矩阵为A=0a10a2a10a200a20a3a20a30,其中,ai+,-,0(i=1,2,3).必要性.设A允许代数正,则由引理1.1可知,A不可约.所以a1a20;或a2a30;或a1a2a30.根据引理1.5,只需考虑a1a20和a1a2a30两种情况.再根据引理1.2,A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵.充分性.(1)设A或-A置换相似于S中第1个符号模式矩阵A=0+0+0+00+0+0+0,则A(1,2)A(2,3)A(3,4)A(4,1)0,所以D(A)强连通.根据引理1.7,A 不可约.设A或-A置换相似于S中第2个符号模式矩阵A=0+0+0+00+00+000,1 6 6 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷则A(1,2)A(2,3)A(3,2)A(2,1)A(1,4)A(4,1)0,所以D(A)强连通.根据引理1.7,A 不可约.因此,根据引理1.6,A 要求代数正,故S中第1个和第2个符号模式矩阵都是允许代数正.(2)若A或-A置换相似于S中的第3个符号模式矩阵,则在Q(A)中存在实矩阵M1=0-1 0 1-101 0010 0100 0,存在单特征值5-12以及对应的正的右特征向量(3-55-1,5-12,1,1).根据引理1.4,M1是代数正矩阵,因此S中的第3个符号模式矩阵允许代数正.(3)若A或-A置换相似于S中第4个符号模式矩阵,则Q(A)中存在实矩阵M2=0 1021 0100 10-22 0-40,存在单特征值2以及对应的正的右特征向量(7 22,5,3 22,1).根据引理1.4,M2是代数正矩阵,因此S中第4个符号模式矩阵允许代数正.(4)若A或-A置换相似于S中第5个符号模式矩阵,则Q(A)中存在实矩阵M3=0-102-1020020-120-10,存在单特征值2-1以及对应的正的右特征向量(1,1,1,1).根据引理1.4,M3是代数正矩阵,因此S中第5个符号模式矩阵允许代数正.定理2.2 设A是4阶零对角H a n k e l符号模式矩阵,则A要求代数正当且仅当A或-A置换相似于C中的符号模式矩阵C=0+0+0+00+0+0+0,0+0+0+00+00+000,0-0+-0+00+00+000.证 必要性.若A要求代数正,则A一定允许代数正.若A或-A置换相似于定理2.1中S的第4个符号模式矩阵,则Q(A)中存在实矩阵M1=0 1011 0100 10-11 0-10,对于任意实系数多项式f(x)=x3+x2+x+,都有f(M1)(1,3)=0,所以不存在实系数多项式f(x),使得f(M1)0,故M1不是代数正矩阵,于是S中的第4个符号模式矩阵不是要求代数正.第2期田 岩等:4阶H a n k e l符号模式矩阵的若干研究1 6 7 当A或-A置换相似于S中的第5个符号模式矩阵时,Q(A)中存在实矩阵M2=0-101-1010010-110-10.对于任意实系数多项式f(x)=x3+x2+x+,都有f(M2)(1,2)=-4-,f(M2)(1,4)=4+,f(M2)(1,2)和f(M2)(1,4)异号.所以,不存在实系数多项式f(x),使得f(M2)0,故M2不是代数正矩阵,因此S中的第5个符号模式矩阵不是要求代数正.综上,A要求代数正,那么A或-A置换相似于下列符号模式矩阵0+0+0+00+0+0+0,0+0+0+00+00+000,0-0+-0+00+00+000.充分性.(1)若A或-A置换相似于C中第1个或第2个符号模式矩阵,则根据引理1.6,A要求代数正.根据引理1.5,C中第1个和第2个符号模式矩阵要求代数正.(2)若A或-A置换相似于C中第3个符号模式矩阵,则Q(A)中任取实矩阵M=0-b10n1-b20n200n300n4000,其中,b1,b20,ni0(i=1,2,3,4).那么,存在实系数多项式f(x)=x3+x2+x+使得f(M)0,其中,=-1,=-1,m a x(b1b2+n1n4),(b1b2+n2n3)b1b2+n1n4+n2n3,充分大.所以M是代数正矩阵,故C中第三个符号模式矩阵要求代数正.定义2.37 若A是不可约符号模式矩阵,则A的每行每列都含有正,并且BA不可约,那么A是A P-不可约符号模式矩阵.推论2.37 设A是零对角A P-不可约符号模式矩阵,若A是允许代数正,则A+D也是允许代数正,其中,D是对角符号模式矩阵.根据定理2.1和推论2.3易得:定理2.4 设A是4阶H a n k e l符号模式矩阵,若A或-A置换相似于S中的符号模式矩阵S=*+0+0+00+0+0+*,*+0+0+00+00+00*,*-0+-0+00+00+00*,*+0+0+00+0-+0-*,*-0+-0+00+0-+0-*.则A允许代数正.3 结 语针对H a n k e l矩阵的结构特点,考虑了H a n k e l符号模式矩阵,讨论零对角的4阶H a n k e l符号模1 6 8 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷式矩阵是否允许代数正和要求代数正,从而找到一类允许代数正的4阶H a n k e l符号模式矩阵.利用组合矩阵论以及图论的理论,针对复杂的演算,借助M a p l e编程软件,这种研究方法对于其他符号模式矩阵允许代数正和要求代数正的研究一定程度上提供了途径和方法,具有借鉴意义.参考文献:1 E S C HE N B A CHCA.E i g e n v a l u ec l a s s i f i c a t i o n i nq u a l i t a t i v em a t r i xa n a l y s i sD.S o u t hC a r o l i n a:C l e m s o nU n i v e r s i t y,1 9 8 7.2 K I R K L AN DS,Q I AOP,Z HANXZ.A l g e b r a i c a l l yp o s i t i v em a t r i c e sJ.L i n e a rA l g e b r aa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 6,5 0 4:1 4-2 6.3 A B A GA TJL,P E L E J ODC.O ns i g np a t t e r nm a t r i c e s t h a t a l l o wo r r e q u i r e a l g e b r a i c p o s i t i v i t yJ.T h eE l e c t r o n i c J o u r n a l o fL i n e a rA l g e b r a,2 0 1 9,3 5(1):3 3 1-3 5 6.4 D A SS,B AN D O P A DHYAYS.O ns o m es i g np a t t e r n so fa l g e b r a i c a l l yp o s i t i v em a t r i c e sJ.L i n e a rA l g e b r aa n di t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 9,5 6 2:9 1-1 2 2.5 D A SS.C l a s s i f i c a t i o n so f s o m e a l g e b r a i c a l l yp o s i t i v e,d i a g o n a l i z a b l e a n ds t a b l em a t r i c e sw i t h t h e i r s i g np a t t e r n sD.G u w a h a t i:D e-p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s I n d i a nI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,2 0 2 1.6 B I SWA SA,KUN D US.O na l g e b r a i c a l l yp o s i t i v em a t r i c e sw i t ha s s o c i a t e ds i g np a t t e r n sJ.R e s o n a n c e,2 0 2 2,2 7(7):1 2 1 1-1 2 3 5.7 D A SS.S i g np a t t e r n s t h a t a l l o wa l g e b r a i cp o s i t i v i t yJ.L i n e a rA l g e b r aa n d i t sA p p l i c a t i o n s,2 0 2 2,6 5 3(1 5):1 5 1-1 8 2.8 詹兴致.矩阵论M.北京:高等教育出版社,2 0 0 8,8 9-9 0.S o m e s t u d i e so nH a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw i t ho r d e r4T I A NY a n,Z H A OX i n r u,J I A N GS i y u a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,L i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,D a l i a n1 1 6 0 2 9,C h i n a)A b s t r a c t:H a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw e r ec o n s i d e r e d,w h e t h e rH a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw i t ho r d e r 4a l l o wa l g e b r a i cp o s i t i v i t ya n d r e q u i r e a l g e b r a i cp o s i t i v i t yw e r e s t u d i e d.C o m b i n i n g t h e t h e o r i e so f c o m b i n a t o r i a lm a t r i x t h e o r ya n dg r a p h t h e o r y,z e r od i a g o n a lH a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw i t ho r-d e r4w e r es t u d i e d,t h ee q u i v a l e n t c o n d i t i o n so f t h ez e r od i a g o n a lH a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw i t ho r d e r4t h a t a l l o wa l g e b r a i cp o s i t i v i t ya n dr e q u i r ea l g e b r a i cp o s i t i v i t yw e r eg i v e nr e s p e c t i v e l y.A t t h es a m et i m e,ac l a s so fH a n k e l s i g np a t t e r nm a t r i c e sw i t ho r d e r4t h a ta l l o wa l g e b r a i cp o s i t i v i t ya n dt h e i rs p e c i f i cs t r u c t u r ew e r eg i v e n.K e yw o r d s:H a n k e ls i g np a t t e r nm a t r i x;s i g np a t t e r nm a t r i x;a l l o wa l g e b r a i cp o s i t i v i t y;r e q u i r ea l g e b r a i cp o s i t i v i t y