D.E.史密斯的数学教学思想及其现代价值.pdf

7-122023年第7 期数学教学D.E.史密斯的数学教学思想及其现代价值刘慧代钦（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特010022)1 引 言美国著名的数学史家、数学教育家大卫尤金史密斯（David Eugene Smith，18 6 0 一1944），以下简称史密斯，如图1,对世界数学史和数学教育做出了重要贡献.自18 8 4年起，史密斯先后在科特兰州立师范学校、密歇根州立师范学院、布鲁克波特师范学校、哥伦比亚大学师范学院履职，进行数学教学和数学教育改革方面的工作.在密歇根州立师范学院，他开设了中学代数和几何教学法以及数学史课.在哥伦比亚大学师范学院，他创建了数学教育专业博士点.他还编写了150 余本初等数学教科书,并且在总结一线工作经验的基础上，出版了几何的教学算术的教学等教学法方面的教材.图1史密斯在讲数学此外，他还热衷于数学史研究，编写了数的久远故事数学史数学原典等著作.其中平面与立体几何实用算术大代数等数学教科书被翻译成中文，对中国的中小学数学教育产生了积极影响.他提出的代数教科书的编写原则，曾被刘亦珩（19 0 4一19 6 7）引用，为中国改良数学教材提供了参考2 1.PROBLEMSINTHE TEACHING OFSECONDARY MATHEMATICSANADDRESS DELIVERED BEORETHENEWENGLAND ASSOCIATIONOFTLACHERSOFMATHEMATICSDAVIDRUGENESMITIGINNANDCOMPANY图2演讲封面自19 0 1年成为哥伦比亚大学师范学院的数学教授后，史密斯更加频繁地参加学术活动.他曾访问过英国、法国、意大利、中国、印度、日本等国家，边搜罗数学文献、研究数学教育，边进行学术报告3.得益于频繁的交流和勤勉的思考，史密斯敏锐地觉察到美国数学教育体制存在许多问题.在新英格兰数学教师协会(The New England Association of Teachers ofMathematics)会议上，史密斯做了演讲一一中学数学教学中存在的问题（Problems intheteaching of Secondary mathematics,以下简称演讲），提出了许多关于改革数学教学、提高数学教育质量的建议.19 13年，演讲以单行本形式出版发行，其封面如图2 所示4.这次演讲的内容浓缩了史密斯的数学教学思想，对当时西方数学教育改革产生了积极的影响.*基金项目：内蒙古师范大学2 0 2 1年度研究生科研创新基金项目（CXJJS21162）.7-132023年第7 期数学教学2演讲的背景及其内容2.1演讲的背景20世纪初，世界范围内掀起了一场数学教育改革运动.英国的培利（JohnPerry，18 50 一1920）、美国的穆尔（E.HM o o r e，18 6 2 一1932）、德国的F克莱因（FelixKlein，18 49 1925)等人，极力倡导数学教育改革，并先后提出了自己的主张.例如，数学教育不能过于重视形式训练，要注重实用性、符合学生的个性发展；提倡“实验室式”教学法；加强应用数学教学；尽早讲授微积分和解析几何基础；运用教育学和心理学指导教学活动；融合数学各分科,密切与其他学科的联系；把函数概念统一作为教育的数学等新观点受到了许多人的关注5 在美国，工业的飞速发展与科学的巨大进步带来了一系列社会问题.虽然进步主义运动缓解了部分问题，但美国的政治、经济、文化等领域都在发生巨大的变革.澳大利亚教育学家康纳尔（W.F.Connell，19 16 2 0 0 1)在回顾这段历史时说：“在这些社会里，物质上的舒适增加了，为所有人谋求幸福的手段也延伸了.在这种变革中，教育起了中心作用”6 这一时期，美国的许多教育家都开始注意初等教育和中等教育中的问题.美国教育协会（Na t i o n a l Ed u c a t i o n A s s o c i a t i o n）相继成立了“十人委员会”“十三人委员会”“中等教育改组委员会”等机构，对此进行专门研究.到19 13年，美国基本上普及了义务教育，并建设了以公立中学为主的中等教育机构.中等职业教育也发展迅速，已经开设了家庭经济、手工训练、工业训练和商业事务等职业性课程.然而许多穷苦劳动人民的子女依然无力长时间读书，他们一般都是在读完五、六年级就学，进入工厂、商店、农场谋生，更谈不上接受中等教育7 .对于可以接受中等教育的孩子，教学中的弊病也阻碍了他们的成长和发展2.2演讲的的内容基于以上情况，史密斯提出了“目前在中学教学工作中困扰我们的重大问题”，呼吁大家一起思考“它们的意义和它们的解决办法”4.在这次演讲中，他一共提出了11个问题：I.中学数学过时了吗；.为什么不是所有数学都是选修的；.女孩需要学习代数吗；IV.技术学校的数学应当是怎样的；V.美国数学落后的问题；VI.平行度问题；VI.我们让数学变得有趣了吗；V.函数的问题；IX.代数与几何的问题；X.科学教育的问题；XI.我们的职责是什么.史密斯指出，美国的数学教学状况不乐观：随着教育改革的深人，美国的数学已经落后于世界上其他重要国家；许多人认为中学教授的数学内容不实用，有一些人主张将数学变成选修课，还有一些人主张借助科学检验判定学生的天赋，只让有数学天赋的男孩学习数学.在课程设置上也有问题：中等职业技术学校“仅仅教授只有经验法则的课”；普通中学则是“一年代数一年几何”4.他认为，中学数学教学中至少存在四个问题：数学教学目的和要求不明确；数学课程的设置不合理；没有及早引人函数概念；男性和女性的学习机会不均等对此，史密斯呼吁，教师要注意代数和几何的潜在效用，坚持欧几里得精神，在教学中兼顾数学的逻辑思维训练价值和实际应用价值；明确教学的基本内容和每一学年的教学计划,并“在学生开始学习代数符号时，就把函数的概念带到他面前”，学习其他国家的优点，重新安排课程；平等对待男孩和女孩，向他们敞开代数和几何的大门4.同时，史密斯指出，教师要明白自己的职责.首先，教师有责任让数学变得更有趣.他说：“不管怎么教，数学总是有游戏的成分在里面”，老师可以使用“再创造”方法4，带着学生做“推测柏拉图式的数、总结十进制数的奇特性质、探索代数在数字游戏中的应用”等数学游戏8 .其次，数学史具有不容置疑的价值，教师要学会利用这个工具.再次，教师们应当积极参加培训，学习必要的科学知识和方法.最后，教师有责任“维护数学的利益”4，从学生的需求和经历出发去教授数学.3史密斯的数学教学思想这篇演讲体现了史密斯对于数学教学目的、学科结构、教学理论和方法等的看法，浓缩了他的数学教学思想。7-142023年第7 期数学教学3.1从精神和实用双重价值出发确定教学目的十九世纪末，美国的生产力急速发展、工商业迅速繁荣，从社会对新型技术人才和劳动者的需求出发进行教育培训成为当务之急。1893年，十人委员会在谈到中等教育的目的时说：“美国的中学不是为了让男女学生升人大学而设立的，中学的重要功能是为了让学生承担起生活的责任做好准备.”7 史密斯认为，这样不妥当，选择教学目的时至少要考虑这三个方面：数学本身的内在价值；普通人的社会需求；要学这门课的学生的兴趣 在初等算学教授法中，史密斯指出：求三个函数的最大公因式，重要的不是记住公式，“但演算时逻辑的步骤与心理的集中，乃为其重大之价值；求方程x4+4x+6x+4x+1=0的根，最重要的是领会解题过程中使用的逻辑.“盖此种能力，加以专心之习惯，可铲除不肯深思之病，正为吾人所欲培植者也.”在他看来，教授数学不能仅仅为了某些定律、命题,或是应付考试，要引导学生在理解数学语言、解决数学问题、掌握数学知识的过程中，学会数学思维方法、获得逻辑推理能力.此外，史密斯指出：“数学渗透到目前的每一门科学、商业活动的每一个部门里，渗透到人类感兴趣的大多数其他领域.初中的一个目的就是向第七、第八和第九年级在校的学生展示这样的数学。12】只有掌握了这些基础的数学知识，学生才能更好地在社会上生存.他还强调，对男孩提的问题应该尽可能与商业、机械、物理和土地建筑测量的实际应用有关，为女孩布置作业的时候就要尽量安排一些设计、卫生和涉及家庭的公民问题【13总之，史密斯认为，数学教学应当以传播数学精神和实用双重价值为目的.只有“向学生展示这门学科本身的趣味以及它在我们周围更广阔的生活中的意义”4，才能让数学发挥最大的价值3.2按社会需求和学生认知规律选择教学内容结合当时社会发展的需要、数学教育改革的要求以及中学生的发展特征，史密斯认为：中学数学教学的内容应包含社会公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的基本知识，课程的设置要遵循数学知识的结构以及数学内在的逻辑体系，在难度上要符合学生的接受水平和认识能力.史密斯指出，随着社会的发展和科技的进步，学生为了应对现实生活、追求个人发展，需要更多的数学知识和技能.所以，普通中学仅仅教授“代数公式、图形和简单的测量”16 是不够的，数学课程必须有所改进：尽早引人立体几何、解析几何、函数、微积分等内容；对于学生暂时用不到的，比如算术中关于股票、债券、部分付款、保险、银行复利的问题，要从课堂中剔除出去13.对于职业学校，数学课程不能过于功利化15，要兼具升学和就业双重职能.职业中学首先要开设数学基础课，然后根据学生的志趣、特长以及当地的实际需要和师资状况，设立合适的选修课。同时，史密斯认为只有符合中学生认知的问题，才能更好地激发他们的学习热情和探索的积极性，帮助他们更好地理解数学知识.他曾说，数学教科书的制作者要多留意并利用“有趣的并且有价值的、与国家资源相关的、与人民的日常喜好和利益相关的”“内容真实但不超过学生理解范围的”实际问题，而不是脱离现实生活的难题、谜题，因为“如果我们能找出真正的、当下至关重要的问题来解释代数的各个章节，学生就会对这门课感兴趣，同时也能提高这门课的实用价值，而不减损它的教育价值.”16 在兼顾实用性和思维性、逻辑性和认知性、基础性和教育性的基础上，史密斯认为,数学的教学内容要符合社会的需求和学生的认知规律，经得住时间和实践的考验.另外，教师要开阔视野，多学习其他国家教育的优点，最终达到“以一种更理性的方式引人数学，并体现出世界其他地方在这门学科的教学中所能提供的最好的东西”17 这一目标。3.3为吸引与启发学生运用多种教学方法在42 年的教学生涯里,史密斯“以渊博的学识使所有的学生都热爱扎实的学习，用智慧的头脑为死的字母赋予了活的灵魂，以真诚和坚韧的精神激励着所有认识他的人去追求真2023年第7 期7-15数学教学理”.他的每一堂课都会用到多种教学方法，达到吸引与启发学生的目的.首先，史密斯认为，“凡学习一学科，必须唤起学生之兴趣，此为教授法中最重要之事。”1 教师要明确学生需要什么知识以及在寻求知识的过程中会遇到什么困难，并通过预设合适的问题启发诱导，帮助学生体会探索发现的乐趣。利用这种方法，学生内心会产生理解掌握数学知识、探索数学奥秘的需求，对学习产生强烈的兴趣和喜悦，进而提升学习效果.其次，史密斯注重发生教学法，十分强调数学史在教学中的应用.他认为个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序，通过考察数学的历史发展，学生能够更好地理解数学知识.在初等算学教授法中，史密斯先后介绍了埃及、希腊、东方以及十六世纪的代数，并且对符号的变迁和数的系统进行了简要的阐述10 .他还出版了数的久远故事，为美国算术教学注人了生命力.他编写的两卷数学史，还被当作初等数学史教材使用.再次，史密斯非常注重直观性教学.他曾指出“直觉和经验在儿童教育的第一阶段起着非常重要的作用，尤其是在数学方面。”19 他认为学生的认识是从看得见与看不见的事物，到抽象的事物.因此，利用现实世界存在的客观事物为学生提供感性经验，是非常重要的一种教学手段.他十分善于利用图片、图表、幻灯片以及计算器、模型等教具帮助学生理解数学知识.图3就是他向学生讲授数学仪器及其用途时用到的手稿2 0 最后，史密斯常用讲练结合的方法.他指出“教育包括手的锻炼和大脑的锻炼”16 .在列举代数的应用问题时，史密斯说，抽象的数字不能代替练习，老师用杠杆原理、匀速运动等内容作为例题，让学生动脑抽象出公式，如此这般经过反复练习，学生会对函数有更深刻的理解。4史密斯数学教学思想的现代价值在批判地继承前人教育思想的基础上，史密斯不断在教学实践中进行知与行的统一，最终形成了自己的教学思想体系.他的这些思想不仅对2 0 世纪初的数学教育有重要的影响，对PaaTniziame图3史密斯的手稿今日之数学教育同样具有启示.史密斯数学教学思想的现代价值主要体现在以下三个方面.4.1重视数学的内在价值史密斯认为，教授数学这门“可敬的科学”不仅仅为了学习某些定律、命题，或是应付考试12 .虽然数学是重要的考试科目，但学习数学知识不应该只是为了应付考试.数学教育的主要目标在于培养学生的核心素养.因此,在数学教学活动中，要避免将数学功利化，注重挖掘数学的内在价值.首先，要让学生感受到数学本身和谐的、神秘的、诗意的美，让学生受到美的教育.其次，要引导学生在学习数学知识的过程中,获得逻辑推理、准确判断和精确计算等能力，养成量化意识、锻炼理性思维、培养科学精神.4.2强调数学史的应用史密斯认为，数学史揭示了人类文明中许多珍贵的东西，今人可以从中汲取思想养料.在课堂上应用数学史，不仅可以引起学生的兴趣，还可以帮助他们深化理解数学知162023年第7 期数学教学识.例如，在教无理数时，可以介绍希帕索斯发现一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，进而引发第一次数学危机的故事.这样可以让学生感受到数系扩充的现实性，并为无理数概念的建构打下基础。在讲勾股定理时，可以介绍赵爽弦图和欧几里得的证明方法，帮助学生加深理解、开拓思路.4.3发挥教师的能动性北宋思想家李靓（10 0 9 一10 59）曾说：“善之本在教，教之本在师.”教师承担着教化人的重要使命，要在教学过程中充分发挥能动性，在学生心里播撒下智慧的种子、爱的种子.首先，教师可以选择与生活联系密切的例子，创设真实的情景，“不必拘泥于教本中所用之材料与其编制之先后”，让知识、经验、情感、意志自然地流向学生.其次，根据不同的教学目标与内容、学生学习情况，教师要灵活运用最佳教学方法，让学生置身于一个充满吸引力的环境中，更益于给予每个学生数学思维方法和理性精神的熏陶.参考文献1汪晓勤.史密斯：杰出的数学史家、数学教育家和人文主义者J.自然辩证法通讯，2010,32(1):98-107,128.2刘亦.中等数学教育改造问题J.安徽大学月刊,19 35,2：1-40.3 A NNO N.D a v i d Eu g e n e Smi t h asketch J.Scripta Mathematica,1945,11(3-4):364-369.4 D E Smith.Problems in the teaching ofSecondary mathematics M.New York:GinnAnd Company,1913.5赵雄辉.数学教育改革的三次国际性浪潮及其启示J.中学数学教学参考，19 9 6(Z2):16-18.6康纳尔.二十世纪世界教育史M.孟湘砥，胡若愚，译长沙：湖南教育出版社,19 9 1.7 北京师范大学外国教育制度发展史编写组.外国教育制度发展史（初稿）【M.北京：北京师范大学出版社，19 6 9.8 D E Sm i t h.R e v i e w R c r a t i o n sMathmatiques et Problemes des Temps Ancienset odernes J.Bu lle tin o f th e A m e r ic a nMathematical Society,1909,16(1):36-37.9 D E Smith.The teaching of junior highschool mathematics M.New York:Ginn AndCompany,1927.10 D ESm i t h.初等算学教授法J.中等算学月刊,19 33,1(6)：2 5-34.11 D E Smith.Religio Mathematici J.The Mathematics Teacher,1921,4（8):413-426.12 D E Smith.The next step in contentin junior high school Mathematics J.T h eMathematics Teacher,1922,15(1):26-27.13 ID E Smith.The Teaching ofMathematics in the Secondary Schools of TheUnitedStates J.School ScienceandMathematics,1909,9(3):203-219.14 D E Smith.Mathematics in thetraining for citizenship J.The MathematicsTeacher,1967,60(2):140-148.15 D E Smith.Vocational Courses inMathematics for Secondary Schools J.TheMathematics Teacher,1918,10(4):179-180.16 D E Smith.The Nature of 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