Gorenstein正则环上Gorenstein投射覆盖的存在性.pdf

第5 9卷2 0 2 3年第5期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.5 9 2 0 2 3 N o.5 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 3.0 5.0 0 7收稿日期:2 0 2 3 0 2 1 6;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 7 2 0基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 1 6 1 0 4 9);甘肃省自然科学基金资助项目(2 1 J R 1 R A 2 2 9)作者简介:张豫冈(1 9 7 8),男,河南洛阳人,副教授,硕士.主要研究方向为同调代数.E m a i l:z h a n g y g 7 8 1 0 2 71 6 3.c o mG o r e n s t e i n 正则环上 G o r e n s t e i n 投射覆盖的存在性张豫冈1,曹天涯2(1.兰州工业学院 基础学科部,甘肃 兰州 7 3 0 0 5 0;2.西北师范大学 计算机科学与工程学院,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0)摘要:设R是G o r e n s t e i n 正则环,给出了所有R-模具有 G o r e n s t e i n 投射覆盖的充要条件.作为应用,给出交换 G o r e n s t e i n 遗传环是 G o r e n s t e i n A r t i n代数的新的同调刻画.关键词:G o r e n s t e i n正则环;G o r e n s t e i n 投射覆盖;完全环;G o r e n s t e i n 投射模;G o r e n s t e i n 遗传环中图分类号:O 1 5 3.3 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 3)0 5-0 0 3 5-0 4T h e e x i s t e n c e o f G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r s o v e rG o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g sZ HANG Y u-g a n g1,C AO T i a n-y a2(1.D e p a r t m e n t o f B a s i c S u b j e c t s,L a n z h o u I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y,L a n z h o u 7 3 0 0 5 0,G a n s u,C h i n a;2.C o l l e g e o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g,N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y,L a n z h o u 7 3 0 0 7 0,G a n s u,C h i n a)A b s t r a c t:L e t R b e a G o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g,s o m e s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n s t h a t a l l R-m o d u l e s h a v e a G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r a r e g i v e n.A s a p p l i c a t i o n s,a h o m o l o g i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n t h a t a c o mm u t a t i v e G o r e n s t e i n h e r e d i t a r y r i n g i s a G o r e n s t e i n A r t i n a l g e b r a i s g i v e n.K e y w o r d s:G o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g;G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r;p e r f e c t r i n g;G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e m o d u l e;G o r e n s t e i n h e r e d i t a r y r i n g0 引言本文环R均表示具有单位元的结合环,所有的模均是某个环R上的左R-(酉)模.覆盖与包络(也称逼近)理论的研究源于模的内射包络及投射覆盖的概念,目前已成为(相对)同调代数领域的基本课题之一.众所周知,在经典的同调代数中,著名的“平坦覆盖猜想”成立,即任意环上所有模都具有平坦覆盖.同时,任意环上所有模都具有内射包络.由W a k a m u t s u引理可知,任意环上所有模具有特殊的平坦预覆盖和特殊的内射预包络.另一方面,所有模都具有特殊的投射预覆盖,所有模具有投射覆盖当且仅当基环R是左完全环.受H o l m 研究思路的启发,国内外许多学者研究了G o r e n s t e i n投射(预)覆盖、G o r e n s t e i n内射(预)包 络 和G o r e n s t e i n平 坦(预)覆 盖 的 存 在性1-7.值得一提的是,a r o c h等5证明了任意环上所有模都具有G o r e n s t e i n内射包络,并且任意环是G F-闭 的;因 为 任 意 环 上 所 有 模 都 具 有G o r e n s t e i n平坦覆盖2,进而由W a k a m u t s u引理可知,任意环上所有模具有特殊的G o r e n s t e i n内射预包络和特殊的G o r e n s t e i n 平坦预覆盖.但是,任意环上所有模是否具有特殊的 G o r e n s t e i n 投射预 覆 盖(进 而 怎 样 的 环 满 足 其 上 所 有 模 具 有 G o r e n s t e i n 投射覆盖)仍然未知.2 0 1 4年,E n o c h s 等8将B e l i g i a n n i s9称为左 53西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 G o r e n s t e i n环的环重新命名为左G o r e n s t e i n正则环.由文献1 0 定理4.1可知,左G o r e n s t e i n正则环即具有有限左G o r e n s t e i n整体维数的环.作为具有有限左整体维数的环和I w a n a g a-G o r e n s t e i n环的共同推广,左G o r e n s t e i n正则环上G o r e n s t e i n模类具有良好性质.由文献1 1 引理5.1(1)可知,左G o r e n s t e i n正 则 环 上 所 有 模 具 有 特 殊 的G o r e n s t e i n投射预覆盖.因此,自然地可以考虑如下问题:问题A 怎样的左G o r e n s t e i n正则环满足所有模具有G o r e n s t e i n投射覆盖?本文定理1给出了上述问题的彻底回答.定理1 设R是左G o r e n s t e i n正则环,则如下结论等价:(1)所有左R-模具有G o r e n s t e i n投射覆盖.(2)R是左完全环.A u s l a n d e r最 后 定 理 说 明,在 任 意 I w a n a g a-G o r e n s t e i n环上每个有限生成模具有 G o r e n s t e i n投射覆盖.但是,由定理1可知,非完全的I w a n a g a-G o r e n s t e i n环不能保证所有模具有G o r e n s t e i n投射覆盖.作 为 定 理1的 另 一 应 用,我 们 给 出 交 换G o r e n s t e i n遗 传 环 是G o r e n s t e i n A r t i n代 数 的 G o r e n s t e i n同调刻画.1 预备知识用R-M o d 表示所有R-模的类,其中由所有投射、内射、平坦及F P-内射R-模构成的(子)类分别用P,I,F及F I表示,p dR(M),i dR(M),f dR(M)和F P-i dR(M)分别表示R-模M的投射、内射、平坦和F P-内射维数.设X,Y是R-模的类.称二元组(X,Y)是余挠对,如果Y=X且X=Y,这里X=MR-M o d:E x t1R(X,M)=0,XX,对偶地可定义Y.称余挠对(X,Y)是遗传的,如果对任意的XX,YY及m1,都有E x tmR(X,Y)=0.称余挠对(X,Y)是完备的,如果(X,Y)具有足够的投射对象和足够的内射对象,即对任意的MR-M o d,都存在R-模的两个短正合序列0YXM0,0MY X 0,其中X,X X且Y,Y Y.R-模M的X-预覆盖是指一个同态:XM,使得XX并且对任意的X X,序列H o mR(X,X)H o mR(X,M)0是正合的.称R-模M的X-预覆盖:XA是X-覆盖,如果满足 f=的自同态f:XX都是同构.称A的X-(预)覆盖:XA是特殊的,如果是满同态,并且K e rX.称模类X是(预)覆盖类(或特殊的预覆盖类),如果A中的每个对象都具有X-(预)覆盖(或特殊的X-预覆盖).称余挠对(X,Y)是完全的,如果X是覆盖类且Y是包络类,这里包络类是覆盖类的对偶.称R-模M是G o r e n s t e i n投射的,如果存在一个由投射R-模构成的H o m(-,P)-正合的正合序列P1P0P0P1,使得M I m(P0P0).对偶可定义G o r e n s t e i n内射模.用G P表示由所有G o r e n s t e i n投射R-模构成的类.分别称G P-(预)覆盖及特殊的G P-预覆盖为G o r e n s t e i n投射(预)覆盖及特殊的G o r e n s t e i n投射预覆盖.近来,汪军鹏1 2,1 3研究了奇点范畴和相对于D i n g模 的 稳 定 范 畴 之 间 的 关 系,并 刻 画 了G o r e n s t e i n正则环.用1.G-g l.d i m(R)表示环R的 左G o r e n s t e i n整 体 维 数,即 所 有R-模 的G o r e n s t e i n投 射 维 数 的 上 确 界 和 所 有R-模 的G o r e n s t e i n内射射维数的上确界这两个相等的值;维数s i l p(R)和s p l i(R)定义如下:s p l i(R)=s u pp dR(M):M是内射R-模,s i l p(R)=s u pi dR(M):M是投射R-模.定义11 2 称环R是左G o r e n s t e i n正则的,如果R满足如下等价条件之一:(1)s i l p(R)且s p l i(R);(2)1.G-g l.d i m(R);(3)存在一个非负整数n使得1.G-g l.d i m(R)n.定义2 称环R是右G o r e n s t e i n正则环,如果 R的反环Ro p是左G o r e n s t e i n正则的.易知环R是右G o r e n s t e i n正则环当且仅当R的右G o r e n s t e i n整 体 维 数 有 限,这 里R的 右G o r e n s t e i n整 体 维 数 是 指 其 反 环Ro p的 左G o r e n s t e i n整体维数.2 主要结论及证明下述引理1给出了左G o r e n s t e i n正则环的性质,其意义平行于G o r e n s t e i n环的相应性质1.63 2 0 2 3年第5期 张豫冈等:G o r e n s t e i n 正则环上 G o r e n s t e i n 投射覆盖的存在性 2 0 2 3 N o.5T h e e x i s t e n c e o f G o r e n s t e i n p r o j e c t i v e c o v e r s o v e r G o r e n s t e i n r e g u l a r r i n g s引理1(1 3,引理 3.9)设R是满足1.G-g l.d i m(R)n的左G o r e n s t e i n正则环,则对任意的R模M,以下条件等价:(1)f dR(M);(2)p dR(M);(3)i dR(M);(4)F P-i dR(M).而且,以上所有维数均不超过n.引理1表明,在左G o r e n s t e i n正则环上每个投射模具有有限的内射维数,因而由文献8 引理2.4可得如下G o r e n s t e i n投射模的刻画.引理2 设R是左G o r e n s t e i n正则环,M是R-模,则以下条件等价:(1)M 是G o r e n s t e i n投射模;(2)存在正合序列0MP0P1,其中每个Pi是投射模.引理3 设R是环,R-模的类X对直和因子封闭且PX,则以下条件等价:(3)X是特殊预覆盖类;(4)存在完备的余挠对(X,X).证明(1)(2).先证明(X,X)构成余挠对.设R-模M满足对于任意 的YX,都 有E x t1R(M,Y)=0.由(1)可知,M具有特殊的X-预覆盖:XM.注意到PX,从而是满的.考虑R-模的短正合序列0KXM0,其中K=K e r.由的特殊X-预覆盖性可知KX.由假设知E x t1R(M,K)=0,于是该短正合序列可裂.因此,由X对直和因子的封闭性可知MX.这说明(X)X,因而(X,X)构成余挠对.下证余挠对(X,X)的完备性.对于任意的R-模N,由前述证明可知,存在R-模的短正合序列0KNXNN0,其中KNX且XNX.换句话说,余挠对(X,X)具有足够的投射对象.因而由文献8 命题7.1.7可知,余挠对(X,X)亦具有足够的内射对象.所以,余挠对(X,X)是完备的.(2)(1).对于任意的R-模N,由余挠对(X,X)的完备性可知,存在R-模的短正合序列0KXfN0,其中KX且XX.通常的同调代数方法可以验证f:XN是N的特殊的X-预覆盖.】结合引理3和文献1 1 引理 5.1(1)可得如下结论.引理4 设R是左G o r e n s t e i n正则环,则存在完备遗传的余挠对(G P,W),其中W表示所有具有有限投射维数的R-模构成的类.因而G P是特殊的预覆盖类.引理4表明,在左G o r e n s t e i n正则环上每个模具有特殊的G o r e n s t e i n投射预覆盖类.称一个环R是左(右)完全 环,如果每个 左(右)R-模具有投射覆盖;特别地,称环R是完全环,如果R是左、右完全环.下面定理2包含了引言中的定理1,给出了问题A的彻底回答.定理2 设R是左G o r e n s t e i n正则环,W表示所有具有有限投射维数的R-模构成的类,则以下条件等价:(1)模类G P是覆盖类;(2)模类G P对正向极限封闭;(3)(G P,W)构成完全的余挠对;(4)每 个 投 射 维 数 有 限 的R-模M具 有G o r e n s t e i n投射覆盖;(5)每 个 内 射 维 数 有 限 的R-模M具 有G o r e n s t e i n投射覆盖;(6)每个F P-内射维数有限的R-模M具有G o r e n s t e i n投射覆盖;(7)每 个 平 坦 维 数 有 限 的R-模M具 有G o r e n s t e i n投射覆盖;(8)每个平坦R-模M具有G o r e n s t e i n投射覆盖;(9)R是左完全环.证明(2)(3).由文献1 定理7.2.6和引理4可知.(3)(1)(7)(8).显然.(4)(5)(6)(7).由引理1可知.(8)(9).设F是平坦R-模,:PF是F的G o r e n s t e i n投射覆盖,则由PG P可知,是满同态.考虑R-模的短正合序列0KPF0,其中K=K e r.由 模 类G P对 扩 张 的 封 闭 性 及W a k a m u t s u引理可知KW.同时由引理1可知FW,于是有PW,从而PG P=G PG P=P.73西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 因此,F的G o r e n s t e i n投射覆盖:PF亦为F的投射覆盖.所以由文献1 定理5.3.2中(3)(1)的证明可知R是左完全环.(9)(2).为了证明模类G P对正向极限封闭,设(Gj)jJ 是任意一簇G o r e n s t e i n投射R-模,则对每个jJ,存在R-模的正合序列0GjP0jP1j,其中每个PijP.因此,由正向极限函子的正合性可得R-模的正合序列0 l i mGj l i mP0j l i mP1j,并且由(9)可知,每个l i mPijP.于是,由引理2可知l i mGj是G o r e n s t e i n投射模.】显然,每个左(右)整体维数有限的环是左(右)G o r e n s t e i n正则环.由文献1 定理9.1.1 1可知,每个(I w a n a g a-)G o r e n s t e i n环(因而每个G o r e n s t e i n A r t i n代数)是左、右G o r e n s t e i n正则环.这里称环R是(I w a n a g a-)G o r e n s t e i n环,如果存在非负整数n,使得R是n-G o r e n s t e i n环,即R是双边诺特环,并且R的双边自内射维数均不超过n.特别地,称A r t i n代数R是G o r e n s t e i n A r t i n代数,如果R作为环是G o r e n s t e i n环,等价地,如果R的双边自内射维数不超过n.注记1(i)作为定理2的推论,我们有:一个左(右)整体维数有限的环是左(右)完全环当且仅当每个左(右)R-模具有G o r e n s t e i n投射覆盖.注意到存在非完全的整体维数有限的交换环(例如通常的整数环Z),因而在这样的环上的模类G P不是覆盖类.(i i)由于G o r e n s t e i n A r t i n代数是G o r e n s t e i n正则环,并且是双边A r t i n环(因而是双边完全环),从而由定理2可知,在G o r e n s t e i n A r t i n代数R上所有左、右R-模均具有G o r e n s t e i n投射覆盖.(i i i)设R是G o r e n s t e i n环.由 著 名 的“A u s l a n d e r 最后定理”(文献1 定理1 1.6.9)可知,每个有限生成R-模具有G o r e n s t e i n投射覆盖.另一方面,G o r e n s t e i n环是左G o r e n s t e i n正则环,因而由定理2可知,所有R-模具有G o r e n s t e i n投射覆盖当且仅当R是左完全环.因此,在非左完全的G o r e n s t e i n环上模类G P不是覆盖类.例如,通常的整数环Z是非完全的交换1-G o r e n s t e i n环,因而在环Z上模类G P不是覆盖类.称一个环R是(G o r e n s t e i n)遗传环,如果R的任意左、右理想均是(G o r e n s t e i n)投射的,等价地,如果R的左、右(G o r e n s t e i n)整体维数不超过1.显然,每个遗传环是G o r e n s t e i n遗传环,并且每个G o r e n s t e i n遗传环是左、右G o r e n s t e i n正则环.另一方面,易知每个1-G o r e n s t e i n A r t i n代数是G o r e n s t e i n遗传环.推论1 设R是交换G o r e n s t e i n遗传环,则以下条件等价:(1)R是1-G o r e n s t e i n A r t i n代数;(2)模类G P是覆盖类.证明(1)(2).由注记1(i i)可知.(2)(1).假设模类G P是覆盖类,从而由R的交换G o r e n s t e i n遗传(进而是G o r e n s t e i n正则)性可知R 是完全环.另一方面,由R的交换G o r e n s t e i n遗传性及文献1 4 定理 2.5可知R是交换凝聚环,于是R是交换凝聚环且是完全环,从而由文献1 5 定理3.3和3.4可知,R是交换A r t i n环.结合R的左G o r e n s t e i n 整体维数不超过1可知,R是1-G o r e n s t e i n A r t i n代数.】参考文献:1 E NO CH S E E,J E N D A O M G.R e l a t i v e H o m o l o g i c a l A l g e b r aM.d e G r u y t e r E x p M a t h,V o l 3 0,B e r l i n:W a l t e r d e G r u y t e r a n d C o,2 0 0 0.2 YANG G,L I U Z K.G o r e n s t e i n f l a t c o v e r s o v e r G F-c l o s e d r i n g sJ.C o mm A l g e b r a,2 0 1 2,4 0(5):1 6 3 2.3 E NO CH S E.E,I A C O B A.G o r e n s t e i n i n j e t i v e c o v e r s a n d e n v e l o p e s o v e r n o e t h e r i a n r i n g sJ.P r o Am e r M a t h S o c,2 0 1 5,1 4 3(1):5.4 E S T R A D A S,I A C O B A,Y E OMAN S K.G o r e n s t e i n p r o j e t i v e p r e c o v e r sJ.M e d i t e r r J M a t h,2 0 1 7,1 4(1):1.5 A R O CH J,T OV E K J.S i n g u l a r c o m p a c t n e s s a n d d e f i n a b i l i t y f o r c t o r s i o n a n d G o r e n s t e i n m o d u l e sJ.S e l M a t h,2 0 2 0,2 6(2):2 3.6 胡江胜,李 欢 欢,吕 家 凤,等.F r o b e n i u s函 子 和G o r e n s t e i n投射 预 覆 盖 J.数 学 进 展,2 0 2 2,5 1(4):6 8 7.7 YANG G,WANG J P.F P-i n j e c t i v e d i m e n s i o n s a n d G o r e n s t e i n h o m o l o g yJ.P r o c E d i n b M a t h S o c,2 0 2 2,6 5(2):1 1 8 3.8 E NO CH S E E,C OR T S-I Z UR D I A G A M,TO R R E C I L L A S B.G o r e n s t e i n c o n d i t i o n s o v e r t r i a n g u l a r m a t r i x r i n g sJ.J P u r e A p p l A l g e b r a,2 0 1 4,2 1 8(8):1 5 4 4.(下转第5 2页)83西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 色.】由倍图的定义可知,D(Km,n)=K2m,2n,星Sn的倍图为完全二部图K2,2n,故由定理6直接可得下述结论:推论1 设Km,n为完全二部图,则2-(D(Km,n)=2n+3,m=n,2n+2,mn.推论2 设Sn表示阶为n+1(n3)的星,则2-(D(Sn)=2n+2.参考文献:1 B ON D Y J A,MUR T Y U S R.G r a p h T h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n sM.L o n d o n:T h e M a Cm i l l a n P r e s s L t d,1 9 7 6.2 张忠辅,李敬文,陈祥恩,等.图的距离不大于的点可区别的全染色J.中国科学:A辑,2 0 0 6,3 6(1 0):1 1 1 9.3 张忠辅,陈祥恩,李敬文,等.关于图的邻点可区别全 染 色 J.中 国 科 学:A辑,2 0 0 4,3 4(5):5 7 4.4 李泽鹏,耿培伦,陈祥恩.树的D(r)-点可区别边染色J.广州大学学报(自然科学版),2 0 2 0,1 9(1):1.5 P I L SN I AK M,WO ZN I AK M.O n t h e t o t a l-n e i g h b o r-d i s t i n g u i s h i n g i n d e x b y s u m sJ.G r a p h s a n d C o m b i n a t o r i c s,2 0 1 5,3 1:7 7 1.6 D ONG A i-j u n,WANG G u a n g-h u i.N e i g h b o r s u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g s o f g r a p h s w i t h b o u n d e d m a x i m u m a v e r a g e d e g r e eJ.A c t a M a t h e m a t i c a S i n i c a:E n g l i s h S e r i e s,2 0 1 4,3 0(4):7 0 3.7 L I H u a-l o n g,L I U B i n g-q i a n g,WAN G G u a n g-h u i.N e i g h b o r s u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g s o f K4-m i n o r f r e e g r a p h sJ.F r o n t i e r s o f M a t h e m a t i c s i n C h i n a,2 0 1 3,8(6):1 3 5 1.8 L I H u a-l o n g,D I N G L a i-h a o,L I U B i n g-q i a n g,e t a l.N e i g h b o r s u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g s o f p l a n a r g r a p h sJ.J o u r n a l o f C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n,2 0 1 3,3 0(3):6 7 5.9 CHE NG X i a o-h a n,WU J i a n-l i a n g,HUAN G D a n-j u n,e t a l.N e i g h b o r s u m d i s t i n g u i s h i n g t o t a l c o l o r i n g s o f p l a n a r g r a p h s w i t h m a x i m u m d e g r e e J.D i s c r e t e A p p l i e d M a t h e m a t i c s,2 0 1 5,1 9 0/1 9 1:3 4.1 0 姚丽.几类图的2-距离和可区别染色D.兰州:兰州交通大学,2 0 2 1.1 1 马刚,张忠辅.若干倍图的邻点可区别均匀全染色J.吉林大学学报(理学版),2 0 0 9,4 7(6):1 1 6 0.(责任编辑 马宇鸿)(上接第3 8页)9 B E L I G ANN I S A.T h e h o m o l o g i c a l t h e o r y o f c o n t r a v a r i a n t l y f i n i t e s u b c a t e g o r i e a:A u s l a n d e r-B u c h w e i t z c o n t e x t s,G o r e n s t e i n c a t e g o r i e s a n d(c o)s t a b i l i z a t i o nJ.C o mm A l g e b r a,2 0 0 0,2 8(1 0):4 5 4 7.1 0 EMMANOU I L I.O n t h e f i n i t e n e s s o f G o r e n s t e i n h o m o l o g i c a l d i m e n s i o n sJ.J A l g e b r a,2 0 1 2,3 7 2:3 7 6.1 1 CHE N X W.H o m o t o p y e q u i v a l e n c e s i n d u c e d b y b a l a n c d p a i r sJ.J A l g e b r a,2 0 1 0,3 2 4:2 7 1 8.1 2 汪军鹏.G o r e n s t c i n同 调 理 论 与 三 角 范 畴 D.兰州:西北师范大学,2 0 1 8.1 3 汪军鹏,狄振兴.G o r e n s t e i n正则环、奇点范畴和D i n g模J.数学学报,2 0 1 9,6 2(2):3 3 1.1 4 GAO Z H,WANG F G.A l l G o r e n s t e i n h e r e d i t a r y r i n g s a r e c o h e r e n tJ.J A l g e b r a A p p l,2 0 1 4,1 3(4):1 3 5 0 1 4 0.1 5 CHA S E S U.D i r e c t p r o d u c t s o f m o d u l e sJ.T r a n Am e r M a t h S o c,1 9 6 0,9 7(3):4 5 7.(责任编辑 马宇鸿)25