Matlab数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题.pdf

收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；安徽省质量工程项目（，）作者简介：李亮（），山东曲阜人，副教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为动力学与控制。数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题李亮（安徽理工大学 力学与光电物理学院，安徽 淮南 ）摘要：提出使用 数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题。首先根据载荷作用形式将梁分段，由载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，以及梁弯曲近似微分方程，得到使用载荷集度表示的挠曲线微分方程，将该方程转化为 个变量函数的线性常微分方程组，通过确定常微分方程组的初值条件，利用 命令求解微分方程组，得到 个变量函数，进而得到剪力、弯矩、转角和挠度，并绘制出内力图和变形图，并确定出内力和变形的最大值。通过计算实例，验证了方法的有效性。关键词：悬臂梁；弯曲；剪力；弯矩；挠度；转角；中图分类号：文献标识码：文章编号：（）：（，）：，：；引言梁的弯曲变形是材料力学的核心内容之一。求解梁截面的剪力、弯矩、挠度和转角是处理弯曲强度和刚度问题的关键 。绘制梁弯曲内力图主要采用理论方法，其中常规方法主要有两种：（）截面法 ；（）根据载荷集度、剪力和弯矩之间的微分和积分关系 ，。此外，唐前辉和张友利 使用综合法绘制梁弯曲内力图。雷芳明等 基于悬臂梁弯曲变形理论，提出了一种适用于简支梁和外伸梁的特殊叠加方法。刘永丰 介绍了求解梁弯曲内力的 种计算方法：直接求解法、虚功原理和影响线法。周蔚宇 使用奇异函数法求解了梁弯曲变形的内力和变形量。第 卷第 期 黄河科技学院学报 年 月 书书书涉及实验方法的研究：王正直等 研发和搭建了一套可同时验证两种梁模型：梁和 梁的高精度实验平台，测试验证了两种梁模型的精度和适用条件。近年来，随着计算机技术的发展，数值方法越来越广泛地应用于研究。钱丽璞 利用 软件设计了梁弯曲内力的多媒体演示系统。金蓉等 使用 软件和一体化积分方法，求解了复杂载荷下梁的弯曲内力问题。葛仁余等 使用 语言编程求解梁的载荷方程，得到任意分布载荷作用下梁弯曲变形的挠度和转角。葛仁余等 基于微分求积法基本原理，将梁的载荷方程转化为代数方程组，使用高斯主元消去法进行求解，得到梁挠度和转角。王先和梁伟 使用 操作命令，研究了多跨静定梁平面弯曲内力图的绘制问题。陈俊旗等 采用有限单元法计算了梁弯曲变形的剪力图、弯矩图和应力图。王晔和杨姝 根据推导出的剪力和弯矩方程，使用 软件绘制了静定梁平面弯曲内力图。史双喜和丁少玲 使用 符号运算，绘制了弯曲内力图。已有基于 软件的研究，多采用符号算法，或者先计算出剪力、弯矩表达式，然后进行画图，使用直接数值积分的研究尚缺少。本文提出使用 数值方法直接求解方程，绘制悬臂梁弯曲变形的剪力图、弯矩图、挠曲线和转角图像，并确定最大值。本文采用图 所示的矩形截面悬臂梁进行分析，梁长 ，宽度 ，高度 ，弹性模量 。固定端 处的支座约束反力按照 （向上为正）和 （顺时针为正）标定。在使用截面法求解梁弯曲内力时，常按照载荷作用形式对梁进行分段处理 。第 节给出基本理论，第 节给出复杂载荷作用下悬臂梁弯曲变形的计算实例，第 节为结论。图 悬臂梁计算模型 基本理论以图 所示一般受力情况下的悬臂梁为例，介绍基本理论。载荷集度 、外力 和挠度 竖直向上为正，外力偶 顺时针为正。按照截面法 ，整个悬臂梁可分为 段 、和 ，分别求解内力和变形。图 悬臂梁示意图先分析 段，轴坐标原点在固定端 截面形心处、水平向右为正。挠曲线近似微分方程为 （）（），其中“撇”表示对空间坐标 求导。考虑载荷集度 、剪力 和弯矩 之间的微分关系（）（）和（）（）。对近似微分方程求导两次，可得方程：（）（）（）（）为采用数值方法求解方程（），可令（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（），则方程（）转化为如下的常微分方程组：（）（）（）（）（）（）（）（）（）给定方程组（）的初值条件 ，通过 中的 程序命令即可求出（）、（）、（）和（），可得 段的剪力方程（）（）、弯矩方程（）（）、转角方程 （）（）、挠曲线方程 （）（）。再分析 段，为方便数值积分，段 的坐标原点定义在 截面形心上、水平向右为正。段仍然满足方程组（），只要给定 截面的初值条件，即可通过数值积分求解方程组（）。而 段的初值条件，可以借助 段的计算结果，段初值条件 ，（）。同 段相比，段 截面上的 值 ，除剪力 增加 之李亮：数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题外，其余量保持不变。根据给定的初值条件，通过 中的 程序命令即可求出（）、（）、（）和（），可得 段的剪力（）（）、弯矩（）（）、转角 （）（）、挠度（）（）。最后考察 段，将 段的坐标原点放在 截面形心，段仍然满足方程组（），利用 段数值积分得到的结果，给出 段的初值条件 ，（），。同 段相比，段 截面上的 值，除弯矩 发生突变，增加 之外，其余量保持不变。根据给定的初值条件，通过 中的 程序命令即可求出（）、（）、（）和（），可得 段的剪力（）（）、弯矩（）（）、转角 （）（）、挠度 （）（）。以上是数值积分的基本原理，对于分成更多段的梁，只需要按照集中力和集中力偶对剪力和弯矩的影响规律 ，调整每一段的初值条件即可。复杂载荷作用下悬梁弯曲变形计算实例本节给出使用 数值积分法来解悬臂梁弯曲变形问题的计算实例，考虑受复杂载荷作用的悬臂梁（见图 ），该悬臂梁可分为 、段，段长度均为 。段受竖直向下的三角形分布载荷作用，最大集度 在 截面，截面上受竖直向上的集中力 作用。段受竖直向下的均布载荷 作用，截面上作用顺时针力偶 。段作用竖直向上的三角形分布载荷，最大集度 在 截面。支座的约束反力 （）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），其中、分别为截面 、到固定端 的距离。段初值条件为 ，段初值条件为 ，（），段初值条件为 ，（），。图 受复杂载荷作用的悬臂梁编写 个 文件 、分别表示 、段的近似微分方程，程序如下：段方程 （，）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）；（）；（）；（）段方程 （，）（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）段方程 （，）（）（）；（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）；（）；（）；（）求解程序 如下：；黄河科技学院学报 ；（）；（）；（）；（）（）（）；（）（）（）（）（）（）（）（）（）；（，）；，（，：，）；（，）；（，）；（，（：，），）（），）（），）（，）；（，）；（，（：，），）（），）（），）（，）（，（：，），）（），）（），）（，）（，（：，），）（），）（），）；（）（，）；（）（，）；（）（，）；（）（，）；，（，（）：（），）；（，）；（），）；（），（：，），）（），）（），）（，）；（），）；（），（：，），）（），）（），）（，）（），（：，），）（），）李亮：数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题 （），）（，）（），（：，），）（），）（），）；（）（，）；（）（，）；（）（，）；（）（，）；，（，（）：（），）；（，）；（），）；（），（：，），）（），）（），）（，）；（），）；（），（：，），）（），）（），）（，）（），（：，），）（），）（），）（，）（），（：，），）（），）（），）（，）（，）（，）（，）（，）（）运行程序（），可绘制出该悬臂梁的剪力、弯矩、挠度 和转角 图像（见图），并得到内力和变形的最大值 ，。图 剪力 、弯矩、挠度 和转角 图像 结论本文将 数值积分引入到悬臂梁弯曲变形内力图和变形图的绘制，通过载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系以及挠曲线近似微分方程，得到任意载荷作用下挠曲线 载荷微分方程，将该方程黄河科技学院学报转化为四变量常微分方程组，通过确定每段的初值条件，使用 积分程序，得到 个变量，进而得到剪力、弯矩、挠度和转角，并确定其最大值。通过多个算例验证了方法的有效性。参考文献：刘鸿文 材料力学 北京：高等教育出版社，陈建伟，王兴国，杨梅，等 材料力学中弯曲内力概念及计算的图例法教学设计 河北联合大学学报（社会科学版），（）：，任焕琴 工程力学弯曲内力图的简捷画法 洛阳大学学报，（）：姜雪洁 弯曲内力教学浅析 延边大学学报（自然科学版），（）：唐前辉，张友利 综合法绘制梁的内力图 重庆电力高等专科学校学报，（）：雷芳明，顾春龙，赵永刚 计算梁弯曲变形的一种特殊叠加法 力学与实践，（）：刘永丰 弯曲内力计算的多种方法 南通职业大学学报，（）：周蔚宇 用奇异函数求梁的弯曲内力和变形 江西煤炭科技，（）：王正直，颜朔庚，王琨，等 基于不同梁模型的弯曲变形分析与实验教学探讨 实验力学，（）：钱丽璞 梁弯曲内力多媒体演示系统的设计 沧州师范专科学校学报，（）：金蓉，李银山，崔春义 基于计算机快速求解梁弯曲内力的一体化积分法 科技创新与应用，（）：葛仁余，张金轮，吕良伟，等 编程计算在梁的弯曲变形教学中应用 黄山学院学报，（）：葛仁余，吕良伟，朱浩杰，等 复杂载荷作用下梁的弯曲变形微分求积法求解 力学与实践，（）：王先，梁伟 基于 的多跨静定梁平面弯曲内力分析方法 桂林航天工业高等专科学校学报，（）：，陈俊旗，白杨，咸庆军 有限单元法在弯曲内力和弯曲应力教学中的应用 河南教育，（）：王晔，杨姝 基于 的静定梁平面弯曲内力教学研究与实践 中国现代教育装备，（）：史双喜，丁少玲 基于 分析弯曲内力及变形 广西民族师范学院学报，（）：李亮：数值积分法求解悬臂梁弯曲变形问题