资源描述
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每题3分，满分36分）
1．﹣的倒数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算中，结果是a6的式子是（ ）
A．a2•a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）6
4．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
6．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（ ）
A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7
7．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
11．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 万元．
14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为 ．
15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为 cm．
16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为 ．
17．若一次函数y＝（1﹣2m）x+m的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的取值范围是 ．
18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为 米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
三．解答题
19．（6分）计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|
20．（6分）求不等式组的非负整数解．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．
（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？
（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？
24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC＝BC；
（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．
26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；
B、不能进行计算，故本选项错误；
C、（a3）3＝a9，故本选项错误；
D、（﹣a）6＝a6，正确．
故选：D．
4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；
B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；
C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；
D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；
故选：A．
5．解：∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
∴2＜﹣4＜3，
故x的取值范围是2＜x＜3．
故选：A．
6．解：∵|a|＝3，
∴a＝±3；
∵b2＝16，
∴b＝±4；
∵|a+b|≠a+b，
∴a+b＜0，
∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，
（1）a＝3，b＝﹣4时，
a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；
（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，
a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；
∴代数式a﹣b的值为1或7．
故选：A．
7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；
当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；
无论a取何值时，a2+1≠0，
故选：D．
8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为（﹣1，1）．
故选：A．
9．解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
10．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B、∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D、∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
二．填空题
13．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，
所以可得：4π＝，
解得：r＝6，
故答案为：6
15．解：连结OB，如图，
∵∠BCD＝22°30′，
∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，
∵AB⊥CD，
∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝BE＝2（cm）．
故答案为：2．
16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，
代入y＝得：x﹣b＝，
即x2﹣bx＝5，
y＝x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），
设A的坐标是（x，y），
∴OA2﹣OB2
＝x2+y2﹣b2
＝x2+（x﹣b）2﹣b2
＝2x2﹣2xb
＝2（x2﹣xb）
＝2×5＝10，
故答案为：10．
17．解：∵当1＜2时，y1＜y2，
∴函数值y随x的增大而增大，
∴1﹣2m＞0，
解得m＜
∵函数的图象与y轴相交于正半轴，
∴m＞0，
故m的取值范围是0＜m＜
故答案为0＜m＜
18．解：如图，延长CF交GE的延长线于H，延长GE交AB的延长线于J．设GE＝xm．
在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，
∴DK＝5，BK＝12，
∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，
∴EH＝5﹣1.6＝3.4，
∵CH﹣FH＝CF，
∴﹣＝12，
∴﹣＝12，
∴x＝12.6≈13（m），
故答案为13．
三．解答题
19．解：
（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，
所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，
选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；
补全统计图如图所示；
（2）5500×40%＝2200人；
（3）根据题意画出树状图如下：
所有等可能结果有9种：
BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，
同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，
P（同时选择B和D）＝．
23．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．
依题意列二元一次方程组∵
经检验解得
（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．
依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）
整理得：16m2﹣120m＝0
m（16m﹣120）＝0
解得m1＝0（舍去） m2＝7.5
答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．
24．（1）证明：连接OC． （1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°． （2分）
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠OCE＝90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA＝∠CAD．
∴∠CAD＝∠BAC． （4分）
∴．
∴DC＝BC． （5分）
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴BC＝＝3． （6分）
∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC． （7分）
∴．
∴，． （8分）
∵DC＝BC＝3，
∴．（9分）
∴tan∠DCE＝． （10分）
25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，
∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，
则BC＝MC＝1，则BO＝BC＝，同理OC＝，
OA＝2﹣＝，
则点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），
则函数的表达式为：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），
即﹣a＝﹣，解得：a＝，
则函数表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，
则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，
AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，
则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，
即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，
由题意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，
解得：mn＝6，
故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
中学自主招生数学试卷
一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．C． D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+=2有解,则m的取值范围是（ ）
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A．B．C．D．
7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．π-1 C． D．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+= .
12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简÷(x-),然后从-<x<的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值.
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=,AB=,则DE的长为 .
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
甲
乙
进价(元/双)
m
m-20
售价(元/双)
240
160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E为AC中点,以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED.
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t秒.
①如图1所示,过点P作PE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,点G关于抛物线对称轴的对称点为H,求当t为何值时,△HAC的面积为16；
②如图2所示,连接EQ,过Q作QM⊥AC于M,在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t,使得∠QEM=
2∠QCE,若存在请直接写出相应的t值,若不存在说明理由.
参考答案
一、选择题(3分×10=30分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×5=15分)
11.-2 12.80° 13.m≥1 14.3- 15. 或
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：= = =
当x=1时，原式=
17. 解：（1）（6+4）÷50%=20．
所以王老师一共调查了20名学生，
故答案为：20；
（2）C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），D类学生占的百分比：
1-15%-50%-25%=10%，D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），×360°=36°，
故答案为：3；36°；补充条形统计图如图.
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）==
18.（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为所对的圆周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）
(2)①60°；②
19.解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°= ∴CM=15cm，
在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
20. 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y= 得：k=4，则双曲线解析式为y=
（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，
∴n=当△QCH∽△BA
中学自主招生数学试卷
一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．C． D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+=2有解,则m的取值范围是（ ）
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A．B．C．D．
7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．π-1 C． D．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+= .
12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .
13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .
14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简÷(x-),然后从-<x<的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值.
17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=,AB=,则DE的长为 .
19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.
21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表
甲
乙
进价(元/双)
m
m-20
售价(元/双)
240
160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.
22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E为AC中点,以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED.
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.
23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t
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