HPM视角下的球体积公式课例研究.pdf

62023年第7 期数学教学HPM视角下的球体积公式课例研究朱亮雅刘叶青？（1.华东师范大学松江实验高级中学，上海201620；2.华东师范大学教师教育学院，上海200062)1引言普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）明确指出：高中的数学教育应该帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界 .在“新课标”的指引下，上海高中数学教科书也进行了全新的设计.以“球的体积”为例，旧版教材将其编排在“几何体的体积”中，与球的表面积分开设置，且直接给出计算公式而不给予严格的证明；新版教材则将两者统一编排在“球”这一节中,并且对于体积和表面积公式给出了严格的证明.这样的编排不仅体现了知识的连贯性与整体性，更是进一步落实了“新课标”对学生理性精神、逻辑思维培养的要求.球体积公式的严格论证并非易事，学生也势必会遇到较大的困难，也许这正是旧版教材不强调推导、仅给出公式的原因.那么，如何开展教学才能更好地帮助学生理解论证的方法、体会背后的数学思想，从而落实课标及教科书的要求,这是摆在每一位高中数学教师面前的问题.笔者尝试从HPM的视角开展球体积公式的教学，希望借助古今中外丰富的数学思想和前人的智慧来铺平学生的学习之路.综合考虑课标、教材及学情，笔者确定本节课的教学目标：（1）理解祖原理，知道其在球体积公式严格推导证明中的作用.能够利用球体积公式解决简单的问题（2）学生经历球体积公式探究、猜想、论证的完整过程，并掌握此过程中所涉及的类比、转化、极限等数学思想.（3）学生能够体会到数学的理性精神，感受到数学方法之美，并领略到中国在数学发展史上所做出的杰出贡献，增强民族自信。2史料梳理及选择2.1史料的梳理球是日常生活中常见的几何体，古今中外诸多数学家在探求球体积公式的道路上展现出了人类的无穷智慧他们所提供的各种论证方法的背后蕴含着大量值得我们不断体会和学习的数学思想.因此，在前教学设计阶段，笔者首先对数学著作及19 一2 0 世纪欧美早期几何教科书中出现的论证方法加以梳理（表1），以厘清它们的论证原理及所蕴含的数学思想.通过对史料的梳理，笔者发现：（1）除阿基米德的物理方法之外,所有数学论证的方法均利用了无穷思想，并且本质上都将球体积的计算转化为简单几何体（如锥体、柱体等）的体积计算。（2）球体积公式与球表面积的公式并无必然的先后关系，可以基于表面积推导球的体积，也可以直接推导球的体积（3）相比而言，锥体分割法、多面体逼近法最为直观，也最容易理解，但是论证的严谨性略微欠缺；基于祖原理的方法，构造等体积几何体具有一定的难度，对思维要求较高，但是却蕴含了丰富的创造性；旋转体逼近法、球心角体法需要利用到三角形围绕经过其某一顶点的直线旋转后生成几何体的体积公式，此公式难度较大，推导过程较为复杂。2.2史料的选择史料梳理之后，综合教学目标、学情等，笔者制定了以下标准，对史料进行筛选：（1）认知基础：所选史料基于学生已学的基础知识,难度适中,通过课堂的学习,大多数学生能够理解选择的论证方法.2023年第7 期数学教学（2）探究机会：所选史料可以为学生提供探究的机会，学生在类比、思考、探究的过程中,，能够有所发现，能够体会到其中的数学思想，感受到数学的方法之美表1球体积公式的多种论证方法是否以球数学家国家相关著作发表时间论证方法核心思想表面积公式为基础第12 卷第18 个命题提约公元欧几里得古希腊几何原本到球与球的比等于其直无前30 0 年径的立方比约公元阿基米德古希腊论球和圆柱穷竭法、物理法无限逼近否前2 50 年在开立圆术中将球体公元2 6 0刘徽中国九章算术注积的求解转化为牟合方转化年左右盖体积的求解公元6 世祖冲之父子中国祖原理转化、极限否纪初测量酒桶的无限分割、开普勒德国1615年锥体分割法是新立体几何转化连续不可分量卡瓦列里意大利1635年卡瓦列里原理转化、极限否的几何学内接、外切旋转体双向逼海沃德英国几何2 1829年极限否近法戴维斯美国几何31841年内接多面体逼近法极限是卢米斯美国几何与圆锥曲线41849年内接旋转体逼近法极限平面几何与温特沃思美国1880年外切多面体逼近法极限立体几何5霍尔斯特德美国几何6 1885年祖原理（构建四面体）转化、极限否韦尔斯美国几何7 1886年球心角体法转化、极限否新平面几何与祖原理（构建圆柱与伯曼、史密斯美国1900年转化、极限否立体几何8 圆锥）（3）德育价值：学生能够从史料感受到中国在数学发展史上的杰出贡献，体会先贤们坚持不懈之精神，增强民族自信.（4）切实可行：与现行教科书尽量兼容，教师能够在一节课中完成相应教学基于以上标准，笔者对史料中的论证方法做出如下选择：（1）保留阿基米德的物理方法，但仅将其作为课前阅读材料，目的在于让学生初步体会学科融合解决问题的神奇.（2）保留开普勒的锥体分割法，目的在于借助此方法的直观性，引导学生探究、发现球体积的公式。（3）保留祖原理，目的在于保证球体积公式论证严谨性，同时也为学生提供探究机会，鼓励学生发现不同的转化方法.（4）舍弃旋转体逼近法、球心角体法、多面体逼近法.3教学设计在整个教学设计的过程中，笔者重点做了82023年第7 期数学教学以下两个安排：（1）由于球表面积及体积公式的推导彼此没有一定的先后顺序，因此将球表面积公式的教学前置：为引导学生借助锥体分割法探究出球的体积公式，在本节课教学之前，笔者给学生讲授了球的表面积公式；（2）课前学习单的安排：考虑到本节课内容的难度，如果将所有探究过程安排在课堂中，则可能会出现学生探究时间不够，探究深度不足甚至出现无法取得有效进展的情况，因此将利用祖原理构建与球等体积的几何体的任务前置到课前学习单中3.1课前学习单的设计课前学习单主要包括三个部分：（1）阅读部分：讲解古希腊阿基米德与球体积公式的故事，呈现其利用物理方法证明球体积的过程，激发学生兴趣。（2）回顾部分：要求学生回忆并写出圆面积公式的推导过程。（3）探究部分：要求学生类比圆面积公式的推导，猜想并利用锥体分割法推导球体积的公式（提供切西瓜的图）；要求学生复习教科书中的祖原理,并利用祖原理去构建截面积与球截面相等的几何体，并通过计算论证球的体积。另外，为了满足部分学有余力同学的需求，在学习单末尾附加了球体积公式证明方法的相关论文链接3.2课堂教学环节的设计整个课堂教学设计以阿基米德的名言导人，自然过渡，巧妙设问：“想撬起地球，就得知道地球有多重，那么也就要知道地球的体积有多大”，从而引出本节课的探究对象“球的体积”带领学生回顾圆面积公式的推导过程，引导学生体会对圆形进行无限分割，将其分成无数个以圆心为顶点的扇形进而求解面积的方法，为学生后续发现锥体分割法搭建脚手架.引导学生类比圆面积的推导过程，从二维到三维，思考、探究球体积公式的推导方法.在此之后,引导学生发现锥体分割法的不严谨性，引出祖原理，并通过实物展示，帮助学生直观理解祖原理.在学生理解祖原理之后，设置小组探究活动，引导学生利用祖原理尝试求解球的体积.基于课前学习单中的任务，学生以小组为单位进行讨论，并分享自已的方法.教师则利用Geogebra动态呈现学生的方法，以促进学生的理解.最后，通过微视频向学生展示整个数学史上人类对球体积公式的探究过程，对本节课进行总结与升华.4孝教学实施4.1类比探究，发现球体积公式问题1手我们曾推导过圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？将圆等分为以圆心为顶点，半径为直边，圆周为弧的若干个扇形（如图1），这样圆的面积便等于所有扇形的面积之和.倘若无限等分下去，每一个小扇形的弧将“化曲为直”，小扇形也就变成小三角形，这样圆形的面积便等于这些小三角形的面积之和，而每一个小三角形的底边就是扇形的弧长，高就是圆的半径图1将这无数个小三角形如图2 所示摆放9 设每个“小三角形”的面积为S，由此得到：n=76图2+.+2292023年第7 期数学教学11(,+l2+.+l,+.)r212TTT=Tr22问题2在推导圆的面积公式的过程中，我们巧妙地对圆周进行了分割，构造了无数个以圆心为顶点的扇形.类比这种方法，从二维到三维，我们可以对球进行怎样的分割呢？展现课前任务中学生分割的作品照片：（1)对半切开，得到两个半球；（2）纵横方向分割，得到4个形状大小相同的物体；（3)将球体切成若干层，每一层都是一个薄片；（4)学生将泡沫球制作成了蘑菇等更加不规则的手工作品；（5)过球心切割,结果是一个个类似三棱锥的小块；（6)像切西瓜一样,将球分割为多个小锥体.引导学生对比圆面积公式推导时分割的技巧，从同学们多种多样的分割方法中，选出与之最类似的球体的分割方法。在此过程中，引导学生类比：圆心和圆周上的分割点连起来得小扇形，那么对于球的话，可以用球心0 和球面的一个个小的分割面连结得到小锥体，从而引出锥体分割法。然后，古今对照,利用GeoGebra软件展示数学史上物理学家开普勒的方法，将球面分割为无数个网格（图3）.图3问题3根据锥体分割法，你能推导出球的体积吗？继续引导学生通过类比，从二维到三维，将球体积转化为所有小棱锥的体积之和，从而发现球体积的公式.即“小锥体”的体积为V，则球的体积为V=V+V+V,+.+V,+.若网格分的越细（n趋向于无穷大），则“小锥体”就越接近小棱锥。小锥体的高就趋近于球的半径R，对球无限分割下去可化曲面为平面，底面为曲面的小锥体可转化为底面为平面的小棱锥，无数个小棱锥体积之和为球的体积.这无数个小锥体的底面积之和就是球体的表面积，它们的高就是球体的半径.由于笔者在上节课已经给学生讲解了球体表面积的相关内容，因此学生在此可以通过计算发现14V=4R2.R=334.2球体积公式的证明在学生们发现了球体积公式之后，指出锥体分割法在目前阶段的学习中还无法给出严谨证明，由此引出祖原理借助实物展示，帮助学生理解祖原理，并利用祖原理进行球体积公式的严密推导。问题4禾利用祖原理能否直接求出球的体积呢？首先复习祖原理，hiR图4教师展示50 0 张大小相同的圆形纸片叠在一起得到圆柱”、叠叠乐玩具“圆形木片由大到小堆放可搭建出圆锥”.然后实物操作演示，引导学生理解运用祖原理可以将不规则几何体转化为规则几何体进行体积求解，而问题关键就是要构造一个几何体，使其与原不规则几何体在同一高度的截面面积始终相同，并且该几何体的体积相对比较容易求解.研究球截面：取半球，求出球截面的半径r,明确幂（截面面积)和势（高R）,则S球截面=Tr?=(R?-h?)=R?-Th?,h e o,R.7-102023年第7 期数学教学问题5你能分别构造截面积为R和截面积为h，h O，R】，高均为R的立体图形吗？引导学生观察球截面的计算公式，思考式中R与h的特征，并猜想它们分别可以看作是什么样的几何体的截面面积。生1：（课前跟老师交流过，他构造出的是和卡瓦列里一样的模型)将R和h分别看作圆的面积，猜想：（1）截面积为R,高为R的立体图形是圆柱；（2）截面面积h的立体图形是高为R且倒立的圆锥.通过相似比计算S锥截面h2S锥截面验证：因，可得当锥体的SR锥底面TR?底面和高都是R、高为h时对应的截面面积为h2.教师利用GeoGebra软件动态演示：取球的半径R=1，创建滑动条h，h 从0 到1变化.h变化时半球的截面面积的值始终等于同高等底的圆柱截面面积与圆锥截面面积的差.（图5截取h=0.59时的图形）0.81h-0.59S球截面=2.0 5S柱截面一元S锥截面=1.0 9S柱截面-S锥截面=2.0 5图5再反向操作，隐去圆柱和圆锥，当h从0 到1变化时两个截面追踪轨迹，分别生成一个圆柱和一个倒立的圆锥。二者体积相减，可将圆锥体平移到圆柱体中构造出新的组合体，由祖原理，其与半球的体积相等.因此半球体积等于圆柱体积减去圆锥体积（三者同底等高）.图612V=TR?R-TRP2RTR力3半球334VTR.3球3基于课前学生的研究成果：由“图形”计算“面积”是唯一的,反之，由面积构造图形,是任意的.截面面积对应的几何图形不唯一，自然能构造出多种简洁的模型来转换球的体积.接下来由学生展示并介绍自己的研究成果：（1）学生A构造的模型（图7）：R=RR=S矩，与达芬奇将圆的面积转化为矩形面积一致，又使用了祖原理，构造出简洁的模型.元RR元hhR图7（2）学生B构造的模型（图8）：R=22RR=SRt，与阿基米德求圆面积时将圆的面积转化为直角三角形的面积惊人的一致，综合祖原理运用得到的简洁的模型.7-112023年第7 期数学教学2元R2元hR图：学生们通过对构造出的规则几何体体积的求解，得到半球的体积等于与之同高等底的2柱体体积的，进而求得球体的体积.4.3了解历史，总结反思教师播放微视频介绍球体积公式的历史，课堂进人尾声，又有同学提出将R用三角形面积来表示，高为R、底为2 元R的任意三角形都可以，也画出了简洁的模型，而且他的模型是活的.还有同学要将R转化为五角星的面积来构造等等，似乎意犹未尽，学生不仅仅满足于模型简单还想要其美观.将球的体积转化成棱柱体积减棱锥体积的模型，对照刘徽的牟合方盖，我们发现不仅完成了古人化圆为方思想的传承，还体现出东西方文化的融合，这是HPM视角下多元文化碰撞的成果.HPM重构式课堂,在知识探索的关键步骤上，借用数学史料给予学生思考的能量，让学生以数学家的方式思考问题，不仅能减少他们的学习弯路，还能进发出创造的火花，这是HPM课堂带来的惊喜.5教学反思本节课学生体现出来的火热的思考以及创造性思维的形成，是HPM融人课堂所收获的.从课前学习单阅读材料的设置到课堂中古人方法的呈现，再到微视频总结展示，学生们得到了充分的史料滋养，这些史料为学生创新之花的绽放提供了土壤与营养.通过课前材料的阅读及课堂参与，学生们体会了数学家执着不懈的探究精神，打破了自身固有的思维栓，拓展了视野，培养了自信，为形成良好的数学思维奠定了基础这样的数学课堂在促进个人智力发展目的的同时，彰显了数学学科的育人价值.这些都在授课后的学生问卷中得到佐证：学生们都知道了球体积的公式，并能回答出球体积公式推导用到了转化、化归思想，了解了球体积公式推导的历史；同学们对于“当你了解到历史上数学家为推导球的体积公式所作的不屈不挠的努力，所体现出的坚韧不拔的意志，知道人不是生而知之.以后当你学习数学遇到困难，你也愿意去付出努力攻克难题吗？”的问题都给出了积极肯定的回答。当然，稍有遗憾的是由于本节课是教师将数学史融入教学的第一次尝试，出于把控课堂节奏的目的，教师在学生回应问题较慢时，留给学生思考的时间过短另一方面，部分引导问题设置不够明确、叠加内容本身难度的因素导致了课堂气氛不够热烈、学生整体参与度有待进一步提高等问题，这些都是教师以后需要改进的地方.参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）S.北京：人民教育出版社,2 0 18:1-2.2H a y w a r d J.El e me n t s o f G e o me t r yM.Cambridge:Hilliard&Brown,1829.3 Davies C.Elements of Geometry 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