2023洛阳市八年级上册期末数学试卷含答案.doc

2023洛阳市八年级上册期末数学试卷含答案
一、选择题
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10﹣8 B．0.22×10﹣9 C．22×10﹣10 D．22×10﹣11
3、下列运算正确的是（       ）
A．a2•a3＝a6 B．a5÷a3＝a2 C．a2＋a3＝a5 D．（a2）3＝a5
4、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
5、下列由左边到右边的变形是因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列代数式变形正确的是（       ）
A． B．
C． D．
7、如图，点、在线段上，若，则添加下列条件，不一定能使的是（       ）

A．， B．，
C．， D．，
8、已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
9、如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为（       ）

A．74° B．69° C．65° D．60°
二、填空题
10、如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（       ）

A．40 B． C．20 D．23
11、若分式的值为0，则x＝_________ ．
12、点M(3，－1)关于x轴的对称点的坐标为_________．
13、已知，则的值是__________．
14、已知，，则的值为______．
15、如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A，点C均在格点上，点P为x轴上任意一点，则周长的最小值为________．

16、如果二次三项式是一个完全平方式，那么常数a的值是______．
17、已知___________．
18、如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q运动______s时，能够使△BPE与以C，P，Q三点所构成的三角形全等．

三、解答题
19、因式分解：
(1)
(2)
20、解下列分式方程：
（1）＋＝1；
（2）﹣1＝．
21、如图，、．求证：．

22、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
23、国泰公司和振华公司的全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，国泰公司共捐款100000元，振华公司共捐款140000元．下面是国泰、振华两公司员工的一段对话：

(1)国泰、振华两公司各有多少人？
(2)现国泰、振华两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防疫物资每箱12000元，B种防疫物资每箱10000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注：A，B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）
24、我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有，的式子表示) ；
（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
25、已知，如图1，射线分别与直线相交于两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．

（1） ______°，______°；直线与的位置关系是______；
（2）如图2，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在的数量关系，证明你的结论；
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与相交于点和时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．
故选：A．
【点睛】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
2、C
【解析】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 000 22=2.2×10-10，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、B
【解析】B
【分析】根据同底数幂相乘，同底数相除，合并同类项，幂的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；
B、a5÷a3＝a2，故本选项正确，符合题意；
C、a2和a3不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4、A
【解析】A
【分析】根据二次根式的被开方数≥0和分式的分母≠0两个条件确定x的范围即可．
【详解】由二次根式的被开方数≥0，得
3x≥0，
∴x≥0．
由分式的分母≠0，得
x-2≠0，
∴x≠2，
∴x≥0 且x≠1、
故选A
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式的被开方数≥0时二次根式有意义，分式的分母≠0时分式有意义．掌握以上知识是解题的关键．
5、D
【解析】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．等式左右两边不相等，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质，结合分式加法和分式除法的运算法则进行分析计算，从而作出判断．
【详解】解：A、原式=，故此选项不符合题意；
B、原式=，故此选项不符合题意；
C、原式=，故此选项符合题意；
D、原式=，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
7、B
【解析】B
【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．
【详解】解：A．添加∠C=∠D，AC=DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
B．添加BC=FD，AC=ED不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；
C．添加∠ABC=∠DFE，AC=DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
D．添加AC=DE，AB=EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8、C
【解析】C
【分析】解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：，
，
解得，
关于x的分式方程的解是非负数，
且，
解得且，
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
9、B
【解析】B
【分析】连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而可得∠DAC＝∠C，由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝74°，由外角的性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：如图，连接AD，

∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
二、填空题
10、C
【解析】C
【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可
【详解】解：阴影部分面积等于

∵，，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．
11、-2
【分析】根据分式值为零得到，且，即可求出答案．
【详解】解：由题意得，且，
∴x=-2，
故答案为：-1、
【点睛】此题考查了分式值为零的性质：分子为零，且分母不为零．
12、(3，1)
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，−1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
13、
【分析】先利用乘法公式算出的值，再根据分式的加法运算算出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解题的关键是掌握分式的加法运算法则．
14、
【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆运用即可求解．
【详解】解：∵，，
∴=，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，掌握上述法则的逆运用是解题的关键．
15、【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】AC=，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，
【解析】
【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．
【详解】AC=，
如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，

则AP+PC=AP+PC′=AC′，
此时AP+PC取得最小值，最小值为，
所以△PAC周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
16、【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握是解题的关键．
【解析】
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握是解题的关键．
17、20
【分析】利用完全平方公式展开，发现，代入数值计算即可．
【详解】∵，
∴
故答案为：19、
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式及其一些常见变形是解题的关键．
【解析】20
【分析】利用完全平方公式展开，发现，代入数值计算即可．
【详解】∵，
∴
故答案为：19、
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟悉完全平方公式及其一些常见变形是解题的关键．
18、或##或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动时间．
【详解】解：设点P运动的时间为：t秒，则BP=3t，CP=8-3t，
①当BE=CP=6，BP=CQ时，△B
【解析】或##或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动时间．
【详解】解：设点P运动的时间为：t秒，则BP=3t，CP=8-3t，

①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6=8-3t，
解得，
②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t=8-3t，
解得
综上所述，点的运动的时间为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）先用提公因式法，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将看成一个整体，利用提公因式法因式分解即可得出答案．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】本题考查
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）先用提公因式法，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将看成一个整体，利用提公因式法因式分解即可得出答案．
(1)
解：

；
(2)
解：

．
【点睛】本题考查因式分解，涉及到提公因式法因式分解和公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法步骤是解决问题的关键．
20、（1）x＝0；（2）无解
【分析】（1）（2）首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方程的解要进行检验．
【详解】解：（1）∵＋＝1，
∴﹣＝1，
方程两边同时乘（x﹣1），可
【解析】（1）x＝0；（2）无解
【分析】（1）（2）首先将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意求出的整式方程的解要进行检验．
【详解】解：（1）∵＋＝1，
∴﹣＝1，
方程两边同时乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，
解得：x＝0，
经检验：x＝0是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝0．
（2）∵﹣1＝，
∴﹣1＝，
方程两边同时乘（x＋2）（x﹣2），可得：x（x＋2）﹣（x＋2）（x﹣2）＝8，
整理得：2x﹣4＝0，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，（x＋2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21、见解析
【分析】、，再加上公共边即可正面两个三角形全等．
【详解】证明：在和中
∴
∴
【点睛】此题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
【解析】见解析
【分析】、，再加上公共边即可正面两个三角形全等．
【详解】证明：在和中

∴
∴
【点睛】此题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的条件是解题的关键．
22、(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
【解析】(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
(1)
∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
(2)
∠P=90°-∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：∠P=90°-∠A，
(3)
∠P=180°-∠BAD-∠CDA，
理由是：如图，

∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，
∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），
∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．
【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
23、(1)国泰公司有200人，振华公司有240人．
(2)有2种购买方案，方案1：购10箱A种防疫物资，12箱B种防疫物资；方案2：购买5箱A种防疫物资，18箱B种防疫物资．
【分析】（1）设国泰公司有
【解析】(1)国泰公司有200人，振华公司有240人．
(2)有2种购买方案，方案1：购10箱A种防疫物资，12箱B种防疫物资；方案2：购买5箱A种防疫物资，18箱B种防疫物资．
【分析】（1）设国泰公司有x人，则振华公司有（x+40）人，根据振华公司的人均捐款数是国泰公司的倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价＝单价×数量，列出二元一次方程组，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
（1）
解：设国泰公司有x人，则振华公司有（x+40）人，
依题意，得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝240．
答：国泰公司有200人，振华公司有240人．
（2）
设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：12000m+10000n＝100000+140000，
∴m＝20n．
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
当n＝12时，m＝20n＝10，
当n＝18时，m＝20n＝5，
当n＝24时，m＝20n＝0，不符合题意，故舍去，
∴或，
∴有2种购买方案，方案1：购10箱A种防疫物资，12箱B种防疫物资；方案2：购买5箱A种防疫物资，18箱B种防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24、（1）；（2）；
（3）大       小
【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积
【解析】（1）；（2）；
（3）大       小
【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可；
（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；
【详解】（1）看图可知，
（2）
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.
【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
25、（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，证明见解析；（3）不变，．
【分析】（1）利用非负数的性质可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解决问题；
（2）结论：∠FMN+∠GH
【解析】（1）30，30，AB//CD；（2）+=180°，证明见解析；（3）不变，．
【分析】（1）利用非负数的性质可知：α=β=40°，推出∠EMF=∠MFN即可解决问题；
（2）结论：∠FMN+∠GHF=180°．只要证明GH∥PN即可解决问题；
（3）结论：的值不变，=1、如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．只要证明∠R=∠FQM1，∠FPM1=2∠R即可；
【详解】解：（1）∵，
∴60-2α=0，β-30=0，
∴α=β=30°，
∴∠PFM=∠MFN=30°，∠EMF=30°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠FMN+∠GHF=180°，
理由如下：如图2中，

∵AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，=1、
理由如下：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，

∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴=1、
【点睛】本题考查几何变换综合题、平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．