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济南市中考数学几何综合压轴题易错专题

一、中考数学几何综合压轴题
1．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．

解析：（1）证明见解析；（2）AG＝BE，理由见解析；（3）BC=3．
【分析】
（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；
（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；
（3）先证△AHG∽△CHA可得，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，求出AH=a，DH=a，CH= ，最后代入即可求得a的值．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形．
（2）结论：AG＝BE；
理由：连接CG，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝， ，
∴ ，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，
则由，得，
∴AH＝a，
则DH＝AD﹣AH＝a，，
∴，得 ，
解得：a＝3，即BC＝3．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．
2．（1）（问题背景）如图1，在中，，，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：；
（2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE，AC交于点G，交DE于点F．求证：；
（3）（拓展创新）如图3，是内一点，，，，直接写出的面积为_____________．

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）【问题背景】如图1，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）【尝试应用】如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．证明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再证明FG＝DE＝即可．
（3）【拓展创新】如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．利用全等三角形的性质证明CE＝BD，CE⊥BD，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）【问题背景】证明：如图1，

∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D作交FB的延长线于K．

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
（3）【拓展创新】如图3中，过点A作交BD于E，连接CE．

∵，，
∴与都是等腰直角三角形，
同法可证，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　 　；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．

解析：（1）AM＝BM；（2）；（3）①AC＝；②≤≤．
【分析】
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出 由此即可解决问题．②证明△PFA′∽△MFC，推出，因为CM=5，推出即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图①中，

∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM．
（2）如图②中，

∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣，
∴；
（3）①如图③中，

由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，

∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴，
∵CM＝5，
∴，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，
∴≤PA′≤，
∴≤≤．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．

（概念理解）（1）如图1，四边形是“对补四边形”．
①若，则________；
②若．且时．则_______；
（拓展提升）（2）如图，四边形是“对补四边形”，当，且时，图中之间的数量关系是 ，并证明这种关系；
（类比应用）（3）如图3，在四边形中，平分；
①求证：四边形是“对补四边形”；
②如图4，连接，当，且时，求的值．
解析：（1）①，②；（2），理由见解析；（3）①见解析，②．
【分析】
（1）①根据“对补四边形”的定义，结合，即可求得答案；
②根据“对补四边形”的定义，由，得，再利用勾股定理即可求得答案；
（2）延长至点，使得，连接，根据“对补四边形”的定义，可证明，继而证明，从而可得结论；
（3）①过点作于点，于点，则,可证，进而可证四边形是“对补四边形”；
②设，则根据，再运用建立方程，解方程即可求得．
【详解】
（1），
设，
根据“对补四边形”的定义，
，
即，
解得，
，
，
．
故答案为：．
②如图1，连接，

，，
，
在中
，
在中
，
，
，
，
故答案为：．
（2），理由如下：
如图2，延长至点,使得，连接，

四边形是“对补四边形”，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
,
，
，
即，
故答案为：．
（3）①证明：如图3，过点作于点，于点，

则，
平分，
，
，
，
，
，
，
与互补，
四边形是“对补四边形”；
②由①可知四边形是“对补四边形”，
，
，
，
设，则
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：．
在中，，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键．
5．
情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．

问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.
解析：情境观察：AD（或A′D），90
问题探究：EP=FQ. 证明见解析
结论： HE=HF. 证明见解析
【详解】
情境观察
AD（或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ
拓展延伸
结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，
同理△ACG∽△FAQ，
∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
6．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10 或12﹣．
【分析】
（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．
【详解】
（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，
∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，
∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，
即∠PAD=∠PBC，
∴∠APC=∠DPB，
∴△APC≌△DPB（SAS），
∴AC=BD；
（3）分两种情况考虑：
（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，
过点D′作D′F⊥CE于F，
∴D′F∥AC，
∴△ED′F∽△EAC，
∴，
即，
解得：D′F=，
∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，
则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；
（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=，
∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，
则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．
7．如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想
①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：
如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到，
，进而得出△PMN为等边三角形，∴．
②如图2，当，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．
解析：（1）②；（2）的值与的度数有关，；（3）MN的长为或．
【分析】
（1）②先根据线段的和差求出，再根据中位线定理、平行线的性质得出，从而可得出，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；
（2）参照题（1）的方法，得出为等腰三角形和的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；
（3）分两种情况：当点D、E分别是边AB、CB上的动点时和当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出，再根据相似三角形的判定与性质得出BC、CE的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出，从而可得的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN的长．
【详解】
（1）②
∴

∴为等腰直角三角形，
∵点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点

∴
∴为等腰直角三角形，
∴
即；
（2）的值与的度数有关，求解过程如下：
由（1）可知，，即为等腰三角形

如图5，作
则
在中，，即
则；

（3）依题意，分以下两种情况：
①当点D、E分别是边AB、CB上的动点时
如图6，作的角平分线交AB边于点F，并连结BP

，
，即
设，则

解得或（不符题意，舍去）
即

由（2）可知，

点P是AC上的中点
，（等腰三角形的三线合一）
在中，，即

②如图7，当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时
同理可得：

综上，MN的长为或．

【点睛】
本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．
8．问题发现
如图，正方形将正方形绕点旋转，直线交于点请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 _；

拓展探究
如图，矩形将矩形绕点旋转，直线交于点中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

解决问题
在的条件下，矩形绕点旋转过程中，请直接写出当点与点重合时，线段的长，

解析：；中数量关系不成立，位置关系成立．，理由见解析；或
【分析】
（1）证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAG＝∠DCG，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE⊥CG；
（2）先证明△ADE∽△CDG，利用相似三角形的性质证明即可．
（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可．
【详解】
（1）；
理由如下：由题意知在正方形中，
，，

在△ADE与△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS）
∴，
∵对顶角相等，
∴

．
（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：
理由如下：
由题意知在矩形中，，

，

，
∵对顶角相等
∴

．
综上所述：
（3）

如图1，当点G、P在点A处重合时，连接AE，
则此时∠ADE＝∠GDE＝90°
∴在Rt△ADE中，AE＝ ，

如图1，当点G、P重合时， 则点A、E、G在同一直线上，
∵AD＝DG＝4，
∴∠DAG＝∠DGA，
∵∠ADC＝∠AGP＝90°，∠AOD＝∠COG，
∴∠DAG＝∠COG，
∴∠DGA＝∠COG，
又∵∠GDO＝∠CDG，
∴△GDO∽△CDG，
∴
∴
∴DO＝2，CG＝2OG，
∴OC＝DC－DO＝8－2＝6，
∵在Rt△COG中，OG2＋GC2＝OC2，
∴OG2＋（2OG）2＝62，
∴OG＝（舍负），
∴CG＝，
由（2）得：
∴AE＝，
综上所述，AE的长为或．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．
9．[问题解决]
（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点处，折线AE交BC于点E，连接B'E．求证：四边形是菱形．
[规律探索]
（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由．
[拓展应用]
（3）如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点处，点A落在纸片ABCD外部点处，与AD交于点M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长．

解析：（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）由平行线的性质和翻折可推出，即．故四边形是平行四边形，再由翻折可知，即证明平行四边形是菱形．
（2）由翻折和平行线的性质可知，，即得出，即是等腰三角形．
（3）延长交AD于点G，根据题意易证，得出结论，．根据（2）同理可知为等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．
【详解】
（1）由平行四边形的性质可知，
∴，
由翻折可知，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
再由翻折可知，
∴四边形是菱形．
（2）由翻折可知，
∵，
∴，
∴，
∴QF=QP，
∴是等腰三角形．
（3）如图，延长交AD于点G，
根据题意可知，
在和中，，
∴，
∴，．
根据（2）同理可知为等腰三角形．
∴FG=PG．
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．
10．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形
∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=
∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°
∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2
（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．

解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）k=
【分析】
（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．
（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．
（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=PA，再根据勾股定理代换即可．
【详解】
（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2
（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2

证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，
∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP’=90°，
∴P’P2+BP2=P’B2，
∴2PA2+PB2=PC2．
（3）k=

将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△AP’B，连接PP’，过点A作AH⊥PP’，
可得

【点睛】
本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．
11．如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
解析：（1）相等，；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【分析】
（1）根据＂点分别为的中点＂，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出．
（2）先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解．
（3）根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值．
【详解】
由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点，
∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC
∴MN=NP
又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC，
∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=
根据三角形外角和定理，
得∠ENP=∠NBP+∠NPB
∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，
∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，
∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C
=∠ABC+∠C =．
是等边三角形．
理由如下：
如图，由旋转可得
在ABD和ACE中

．
点分别为的中点，
是的中位线，
且
同理可证且

．
在中
∵∠MNP=，MN=PN
是等边三角形．
根据题意得:
即，从而
的面积．
∴面积的最大值为．
【点睛】
本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．
12．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．
（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是　 　；
（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．

解析：（1）；（2）仍然成立，见解析；（3）
【分析】
（1）尝试探究：过点作，交于，可证,
， ，可得 ，可证，
可得BF，BA之间的数量关系；
（2）类比延伸：过点作，交于，可证，，可得，可证，可得之间的数量关系；
（3）拓展迁移：过点作，交于，由平行线分线段成比例可得，可得，即可求之间的数量关系．
【详解】
解：（1）尝试探究
如图，过点作，交于

∵是中线，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）类比延伸：
结论仍然成立，
理由如下：
如图，过点作，交于

∵是中线,
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）拓展迁移
如图，过点作，交于

∵，且
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角形是解决本题的关键.
13．在中，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点分别为）．
（1）问题发现如图1，若与重合时，则的度数为____________；
（2）类比探究：如图2，设与BC的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）拓展延伸在旋转过程中，当点分别在的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．

解析：（1）60；（2）；（3）
【分析】
（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到，依据tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-．
【详解】
解：（1）由旋转可得：，
，
，
，，
，
，
，
．
（2）为的中点，
,
山旋转可得，，
，
，
，
，
，
；
（3）四边形
四边形最小即最小，
，
取的中点，，，即，
当最小时，最小，，即与正合时,最小，
，，
的最小值， 四边形=．
【点睛】
此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当为等边三角形时，猜想与的数量关系为_______；②如图3，当，时，则长为________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用：（3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由．
解析：（1）①；②4，（2）；理由见解析，（3）存在；
【分析】
（1）①首先证明是含有的直角三角形，可得，即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
（2）与的数量关系为，如图5，延长到，使，连接、，先证四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题．
（3）存在，如图6，延长交的延长线于，作于，做直线的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线，连接交于，先证明，，再证明，即可得出结论，再在中，根据勾股定理，即可求出的长．
【详解】
（1）①如图2，∵是等边三角形，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，
∴，
又∵是边上的中线，∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴．
故答案为：．
②如图3，∵，，
∴，即和为直角三角形，
∵把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴在和中，

∴，
∴，
∵是边上的中线，为直角三角形，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
（2），
如图5，延长到，使，连接、，

图5
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在和中，

∴，
∴，
∴．
（3）存在，
如图6，延长交的延长线于，作于，作直线的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线，连接交于，

图6
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，，
∴，，，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与之间满足小明探究的问题中的边角关系，
在中，∵，，，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．
15．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．
（操作）将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．
（探究）在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
（应用）P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．
解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．
【详解】
试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；
【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；
【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；
【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；
分三部分进行讨论：
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；
②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；
③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．
试题解析：【问题】
∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，
∴0=a（0﹣2）2﹣，
a=；
【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+
如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；
【探究】：如图③，由题意得：
当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴C（2﹣，1），F（2+，1），
当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，
解得：x1=3，x2=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；
【应用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3﹣1=2，
∵S△PDE=DE•h≥1，
∴h≥1；
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，
∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，
（m﹣2）2≥10，
m﹣2≥或m﹣2≤﹣，
m≥2+或m≤2﹣，
②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，

∵H（2，），
∴HM=﹣1=＜1，
∴当点P不可能在DE的上方；
③∵MN=1，
且O（0，0），a（4，0），
∴P与O或A重合时，符合条件，
∴m=0或m=4；
综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．
考点：二次函数综合题．
16．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

解析：（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】
（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故