资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．﹣2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（x2）3＝x5 D．5x2•x3＝5x5
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（ ）
A． B．6 C．8 D．﹣4
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2+2ab＝ ．
12．不等式的解集是 ．
13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为 度．
14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝ ．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°
（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝
18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．
（1）求证：△BOF≌△COE．
（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．
19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）
20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）
（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．
22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．
（1）求抛物线的表达式；
（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．
②AE最小值为 ．
23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克 元．
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．
（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为 （日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）
24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．
（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为 ．
参考答案
一、选择题
1．解：因为a的相反数是﹣a，
所以﹣2019的相反数是2019．
故选：A．
2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：B．
3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，
故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；
C、结果是x6，故本选项不符合题意；
D、结果是5x5，故本选项，符合题意；
故选：D．
6．解：圆锥的母线长＝＝5，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选：C．
7．解：设原计划x天完成，根据题意得：
﹣＝5．
故选：B．
8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1
＝2020．
故选：C．
9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
∵AB＝1，∠BEF＝30°，
∴BE＝BF，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝，
∴AH＝AD+DH＝2+＝，
∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，
故选：C．
10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，
设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是וx＝k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
∵CD＝5AB，
∴AD＝3AB，
由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，
∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB＝，
∵OB∥DF，
∴＝＝＝，
∴DF＝3，AF＝3，
∴OF＝3﹣1＝2，
∴D（2，3），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝6，
故选：B．
二、填空题
11．解：原式＝a（a+2b），
故答案为：a（a+2b）
12．解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞0，
∴不等式组的解集为：0＜x≤．
故答案为：0＜x≤．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠AEC＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝35°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55
14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，
∴B（0，b），
∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，
∴B（0，b），
当x＝﹣时，y＝2b，
∴C（﹣，2b），
∴△OAC的面积＝×2b＝，
∴b＝，
故答案为．
15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），
∴OC＝，AC＝a，
把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，
∴D点坐标为（，2﹣2），
∴CD＝2﹣2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE＝BC＝1，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，
∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AC∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：
则四边形EMCH是矩形，
∴EM＝CH，CM＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，
同理：△ADE≌△CDE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，
∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∵EM⊥BC，
∴FM＝CM＝EH＝DH，
设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，
∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∴，
解得：x＝，
∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，
∴AF＝＝，
∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）原式＝+2+1﹣
﹣＝2﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x
＝11x+16，
当x＝时，原式＝11×+16＝25．
18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，
∴BF＝CE，
在△BOF与△EOC中，，
∴△BOF≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，
∴∠C＝∠F＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴CE＝1，
∵∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴OC＝＝．
19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；
（2）树状图如下所示：
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
20．解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图点O即为所求．
21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADB，
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BCA＝∠ACE，
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴AD＝AE；
（2）解：连接BF，如图所示：
∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，
∵AB＝BC＝10，
∴CF＝2，
∵BF⊥AC，
∴AC＝2CF＝4，
在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，
∴CD＝×4＝4，
∴AD＝＝＝8．
22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；
（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），
∴BD＝＝2，
设C（m，﹣2），
则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，
∵QD＝1，PQ＝2，
∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，
∵PC＝1﹣m，
∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，
解得m＝，
∴点C的坐标为（，﹣2）；
②如图2，
∵DB＝DE＝2，
∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，
连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，
∵DA＝＝2，
则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
23．解：（1）30+0.5×10＝35元，
答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，
故答案为：35；
（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，
解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），
答：x的值为20；
（3）设经销商销售总额为y元，
根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，
整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，
对称轴x＝，
当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，
则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，
解得a＝190（舍去）；
当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，
则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，
解得a＝210；
当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，
y最大值＝（a2﹣800a+16000），
由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，
解得a＝400（均不符合题意，舍去）；
综上，a的值为210．
故答案为：210．
24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
依题意得：，
解得x＝6，
∴AD＝＝8．
（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，
∴∠EFB＝∠DPB，
又∵∠FBE＝∠PDB，
∴△BEF∽△BDP．
（3）由（1）得BD＝6，
∵PD＝3，
∴BP＝＝，
∴cos∠PBD＝，
当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，
∴BF＝＝＝．
Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，
∴BF＝＝＝，
Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PDcos∠BPD＝＝，
∴BE＝3，
∴BF＝＝＝，
若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．
（4）连接EG交PD于M点，
∵DG∥BP
∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，
∴PG＝DG，
∵EP＝PG，ED＝DG，
∴四边形PEDG是菱形，
∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，
又∵BD⊥AD，
∴EG∥BC，
∴EM＝，
∴，
∴AM＝6，
∴DM＝PM＝2，
∴PD＝4，AP＝4，
∴S△APG＝＝×4×3＝6，
S△PDG＝＝×4×3＝6，
S△GDC＝＝＝4．
∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A． B．0 C． D．以上答案都不对
2．我们把形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，则复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．已知非零实数满足 ，则等于（ ）．
A.－1 B.0 C.1 D.2
4．如图，菱形ABCD的边长为，点O是对角线AC上的一点，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，则等于（ ）．
A． B. C.1 D.2
5. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）
A．126 B.108 C.90 D.72
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）
其中正确的结论有：（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.关于的方程的整数解（）的组数为（ ）．
A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组
8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.）
10．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： * =．若关于x的方程*( *) = 有
两个相同的实数根，则实数的值是 .
11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
12．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号）
（1）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为
（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是
（3）已知关于的方程的解是正数，则；
（4）已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．则它有下列一些性质： ①该函数的图象是中心对称图形；②当时，该函数在时取得最大值-2；③的值不可能为1；
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
14.（本小题8分，第（1）小问3分，第（2）小问5分）
（1）（本小问3分）化简：
（2）（本小问5分）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有：，由于都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
15．（本小题8分）如图,已知等腰，其中，，、为斜边上的两个动点（比更靠近A），满足。
（1）求证：
（2）求的值.
（3）作于，于，求的值 .
（4）求线段长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当，时，或).
16. （本小题8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，嘉辉从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数。将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，向东从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两数的差。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数的差为0的概率；
（2）嘉辉与向东做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则嘉辉赢；否则，向东赢。你认为该游戏公平吗？请说明理由。如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。
17. （本小题8分）我市某镇组织20辆汽车装运完三种品牌脐橙共100吨参加上海世博会，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运用一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：
从A，B两地运往甲，乙两地的费用如下表：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获利（百元）
12
16
10
（1）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案？
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？请求出最大利润的值
18．（本小题8分）已知双曲线与直线相交于两点。第一象限内的点（在点左侧）是双曲线上的动点。过点作∥轴交轴于点。过作∥轴交双曲线于点
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A． B．0 C． D．以上答案都不对
2．我们把形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，则复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．已知非零实数满足 ，则等于（ ）．
A.－1 B.0 C.1 D.2
4．如图，菱形ABCD的边长为，点O是对角线AC上的一点，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，则等于（ ）．
A． B. C.1 D.2
5. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）
A．126 B.108 C.90 D.72
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）
其中正确的结论有：（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.关于的方程的整数解（）的组数为（ ）．
A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组
8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.）
10．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： * =．若关于x的方程*( *) = 有
两个相同的实数根，则实数的值是 .
11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
12．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号）
（1）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为
（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是
（3）已知关于的方程的解是正数，则；
（4）已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．则它有下列一些性质： ①该函数的图象是中心对称图形；②当时，该函数在时取得最大值-2；③的值不可能为1；
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
14.（本小题8分，第（1）小问3分，第（2）小问5分）
（1）（本小问3分）化简：
（2）（本小问5分）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有：，由于都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
15．（本小题8分）如图,已知等腰，其中，，、为斜边上的两个动点（比更靠近A），满足。
（1）求证：
（2）求的值.
（3）作于，于，求的值 .
（4）求线段长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当，时，或).
16. （本小题8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，嘉辉从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数。将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，向东从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两数的差。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数的差为0的概率；
（2）嘉辉与向东做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则嘉辉赢；否则，向东赢。你认为该游戏公平吗？请说明理由。如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。
17. （本小题8分）我市某镇组织20辆汽车装运完三种品牌脐橙共100吨参加上海世博会，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运用一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：
从A，B两地运往甲，乙两地的费用如下表：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获利（百元）
12
16
10
（1）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案？
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？请求出最大利润的值
18．（本小题8分）已知双曲线与直线相交于两点。第一象限内的点（在点左侧）是双曲线上的动点。过点作∥轴交轴于点。过作∥轴交双曲线于点
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A． B．0 C． D．以上答案都不对
2．我们把形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，则复数的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．已知非零实数满足 ，则等于（ ）．
A.－1 B.0 C.1 D.2
4．如图，菱形ABCD的边长为，点O是对角线AC上的一点，且OA＝，OB＝OC＝OD＝1，则等于（ ）．
A． B. C.1 D.2
5. 跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星.若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC的度数为（ ）
A．126 B.108 C.90 D.72
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）
其中正确的结论有：（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.关于的方程的整数解（）的组数为（ ）．
A.2组 B.3组 C.4组 D.无穷多组
8．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C． cos45°·(－)－2－(2－)0＋｜－｜＋
D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填在题目中的横线上.）
10．对于实数u，v，定义一种运算“*”为： * =．若关于x的方程*( *) = 有
两个相同的实数根，则实数的值是 .
11．有10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
12．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
13.以下叙述中，其中正确的有 （请写出所有正确叙述的序号）
（1）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为
（2）“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是
（3）已知关于的方程的解是正数，则；
（4）已知正比例函数反比例函数由构造一个新函数其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．则它有下列一些性质： ①该函数的图象是中心对称图形；②当时，该函数在时取得最大值-2；③的值不可能为1；
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
14.（本小题8分，第（1）小问3分，第（2）小问5分）
（1）（本小问3分）化简：
（2）（本小问5分）阅读下列材料，按要求解答问题：
阅读理解：若为整数，且三次方程有整数解c，则将c代入方程得：,移项得：，即有：，由于都是整数，所以c是m的因数．
上述过程说明：整数系数方程的整数解只可能是m的因数．
例如：方程中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．
解决问题：
①根据上面的学习，请你确定方程的整数解只可能是哪几个整数？
②方程是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.
15．（本小题8分）如图,已知等腰，其中，，、为斜边上的两个动点（比更靠近A），满足。
（1）求证：
（2）求的值.
（3）作于，于，求的值 .
（4）求线段长的最小值.(提示：必要时可以参考以下公式：当，时，或).
16. （本小题8分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，嘉辉从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数。将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，向东从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两数的差。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数的差为0的概率；
（2）嘉辉与向东做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则嘉辉赢；否则，向东赢。你认为该游戏公平吗？请说明理由。如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平。
17. （本小题8分）我市某镇组织20辆汽车装运完三种品牌脐橙共100吨参加上海世博会，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运用一种脐橙
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