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新高考数学的导数及其应用多选题及答案

一、导数及其应用多选题
1．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
【答案】ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：

由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.

2．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】AC
【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：

当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

3．函数有两个极值点、，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递减
C．若，则只有一个零点 D．存在，使得
【答案】ACD
【分析】
利用极值点与导数的关系可判断A选项的正误；取，利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合图象可判断C选项的正误；计算出函数的图象关于点对称，可判断D选项的正误.
【详解】
，则.
对于A选项，由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实根，
则，可得，A选项正确；
对于B选项，当时，且当时，，此时函数在区间上单调递增，B选项错误；
对于C选项，当时，由，可得或；由，可得.
所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
由，可得，
此时，函数的极大值为，极小值为，且，如下图所示：

由图可知，此时函数有且只有一个零点，且零点在区间内；
当时，由，可得或；由，可得.
所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，
由，可得，
此时，函数的极小值为，极大值为，且，如下图所示：

由图可知，此时函数有且只有一个零点，且零点在区间内，C选项正确；
对于D选项，由题意可知，、是方程的两根，
由韦达定理可得，，

，
取，则
，
所以，函数的图象关于点对称，
，，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数没有极值
B．若，则函数有极值
C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【分析】
先对进行求导，再对进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.
【详解】
解：由题意得，函数的定义域为，且，
当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，
又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
∴有且只有一个零点，
当时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
当时，取得极小值，同时也是最小值，
∴，
当x趋近于0时，趋近于，趋近于，
当x趋近于时，趋近于，
当，即时，有且只有一个零点；
当，即时，有且仅有两个零点，
综上可知ABD正确，C错误．
故选：ABD．
【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

5．某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．对定义域中的任意实数x的值，恒有成立
C．函数的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等
D．对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减
【答案】BD
【分析】
由函数奇偶性的定义即可判断选项A；由函数的性质可知可得到，即，构造函数求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B；函数的图象与x轴的交点坐标为且，可判断选项C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D.
【详解】
对于选项A：函数的定义域为，且
，所以为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，故A选项错误；
对于选项B：由A选项可知为偶函数，所以当时，，所以，可得到，即，可设，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，故选项B正确；
对于选项C：函数的图象与x轴的交点坐标为，交点与间的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故C选项错误；
对于选项D：，可化为ex(cosx－sinx)，不等式两边同除以得，，当，，，区间长度为，所以对于任意常数m>0，存在常数b>a>m，，
，使函数在上单调递减，故D选项正确；
故选：BD
【点睛】
思路点睛：利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和得到单调性；
③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.

6．在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数；
B．在上为减函数，在上为增函数；
C．在上恒成立；
D．函数的最大值为.
【答案】ACD
【分析】
依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．
【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，，，
对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确；
对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误；
对于C，当时，
，故C正确；
对于D，函数，
求导，
令，则；令，则，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当即，时，函数取得极大值，
又当即，时，，
所以函数取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

7．对于定义在上的函数和定义在上的函数，若直线同时满足：①，，②，，则称直线为与的“隔离直线”.若，，则下列为与的隔离直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，
由函数，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，此时函数的点处的切线方程为，
且函数的图象在直线的下方；
又由函数，可得，单调递增，
因为，所以函数在点处的切线方程为，即，
此时函数的图象在直线的上方，
根据上述特征可以画出和的大致图象，如图所示，
直线和分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A，B都符合；
设过原点的直线与函数相切于点，
根据导数的几何意义，可得切线的斜率为，
又由斜，可得，解得，
所以，可得切线方程为，
又由直线与曲相交，故C不符合；
由直线过点，斜率为，曲线在点处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D.
故选：AB.

【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方.

8．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【答案】AD
【分析】
求出的导数，检验在内的导数符号，即可判断选项A；选项B、C可设、的隔离直线为，对一切实数x都成立，即有，又对一切都成立，，，，根据不等式的性质，求出、的范围，即可判断选项B、C；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A：，，
当时，，
所以函数在内单调递增；故选项A正确
对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即 ，，，，即有且，，
可得，同理可得：，故选项B不正确，故选项C不正确；
对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得
对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，
，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值.所以
，则当时恒成立.所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确.
故选：AD
【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.

9．已知.（ ）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线 D．若，则
【答案】BC
【分析】
首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
，令，得到.
分别画出和的图像，如图所示：

由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
，，为减函数.
所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为，
所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.
因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确.
因为在为增函数，为减函数，
所以存在，满足，且，
显然，故D错误.
故选：BC
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.

10．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点
【答案】CD
【分析】
令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，
①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，
∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，
由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，
即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．
故选：CD．

【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．