考虑梁变形影响的混凝土双向板的挠度分析.pdf

第2 5 卷第3 期 2 0 0 8年 9月 华中科技大学学报( 城市科学版 ) J 0 f HUS T( Ur b a n S c i e n c e Ed i t i o n) VO1 2 5 NO 3 S e p 2 0 0 8 考虑梁变形影响的混凝土双 向板 的挠度分析 张先进，刘 丽，石俊 ( 华中科技大学 a 土木工程与力学学院；控制结构湖北省重点实验室，湖北 武汉 4 3 0 0 7 4 ) 摘要：目前在工程中通常按线弹性薄板小挠度理论计算双向板的变形值，且不考虑支承梁变形影响，所得 计算结果与实际情况偏差较大，当板跨度较大、梁刚度较小时尤其明显。为此，在分析钢筋混凝土双向板的 挠度时，考虑材料非线性和几何非线性非常必要。本文采用增量迭代法编制了非线性有限元程序，对承受均 布荷载且考虑支承梁变形影响的单块钢筋混凝土双向板在正常使用阶段的非线性特性进行了探讨。 通过调整 实际支承梁刚度与板刚度的比值，即梁板相对刚度比值，对钢筋混凝土双向板进行了计算，最后通过非线性 回归建立了框架结构中双向板在实际支座条件下的挠度计算公式。 关键词：增量迭代法； 非线性有限元；梁板相对刚度比值；非线性回归 中图分类号：T U 3 7 5 2 文献标识码：A 文章编号：1 6 7 2 7 0 3 7 ( 2 0 0 8 ) O 3 0 2 0 7 0 4 在 目前的混凝土楼盖设计中，现浇钢筋混凝 土梁板式楼盖是最为常用 的结构型式。随着板跨 度的不断增大，了解它在不同受力阶段的变形性 能显得尤为重要 。 目前，在进行混凝土板变形的计算中，有 以 下两种方法：( 1 )按线弹性理论进行计算；( 2 ) 非线性有 限元分析方法。前者将板 的边界条件视 为简支或者固支而进行线性变形计算。但实际情 况是，竖向荷载作用下梁与楼板相互作用，共同 受力变形 ，梁作为现浇双 向板 的支承其本身也具 有一定的挠度 。当板跨度较大 ，梁的刚度相对较 小时，梁 的变形对板的挠度影响较大，梁和板的 刚度之 比对现浇板的 内力和变形有显著影响【 1 】 。 因此应考虑梁板的相互作用 ，将支承梁与楼板作 为整体来进行非线性分析计算。 后一种分析方法可以考虑梁板的相互作用， 将梁与板作为整体进行非线性分析。因此，本文 考虑 了梁板的相对刚度 比，采用增量迭代法编制 了非线性有限元程序L 2 J ，对均布荷载作用下的梁 板进行 了变形分析，通过非线性回归建立 了框架 结构 中双 向板在实际支座条件 下的挠度 计算公 式 ， 为合理进行梁板体系的设计提供一定的参考。 1 有限元分析 1 1 板、梁单元模型 板单元模型只考虑板的弯 曲变形，板单元有 3个 自由度 ： 垂 直 于 中面 的挠度 缈；中面法线 绕 X 轴 的转角 ； 中面法线绕 Y轴转角 ， 。采用克 希霍夫 ( K i r c h h o ff)薄板 小挠度理论 。 ， ，采用 四边形等参单元 ，各位移分量插值计算。 板节点位移列阵为 研 ； = ) ) ) ) ) ( 1 ) 式中， ) = ， ， 】 ( f ， ， r n ， n ) 。 板单元荷载列阵为 i F = ) ) ) ) ) ( 2 ) 式中， ) = ， M ， M ， ， m ， n ) 。 梁单元模型只考虑梁的弯 曲变形，梁单元有 2个 自由度 ：垂直于梁轴线 的竖向位移 ；弯 曲 平面 内的转角 。采用平面梁单元，将梁视为 2 节点杆件 。 梁节点位移列阵为 i 8 ； = ) ) 】 ( 3 ) 式中 ， 4 ) = ， O r ( ， ) 。 梁单元荷载列阵为 F ) ； = ) ) 】 ( 4 ) 式中， ) = ， M ) ( ， ) 。 1 2 板、梁单元的连接 在有限元分析中，板 以中面为研究对象，而 梁以轴线为研究对象。实际结构中，楼板一般都 收稿 日期：2 0 0 8 0 3 2 8 作者简介 ： 张先进( 1 9 5 8 一 ) ， 男， 湖北黄梅人 ， 副教授 ， 研究方 向为混凝土 结构理论及技术应用 ， e n g i n e e r z h ang 1 2 6 c o m。 2 0 8 华中科技大学学报 ( 城市科学版) 2 0 0 8年 位于梁的上部，板中面与梁轴线一般不在 同一个 平面上L 5 】 。如图 1 所示，设i ， 为板单元的两个 节点，i ， 为梁单元的两个节点；且 i ，i 在同 一 个截面 内， 7 ， ， 在 同一个截面 内。本文中， 将板 的节点作为主节点， 将梁的节点作为从节 点， 根据变形协调条件 ，建立主、从节点 自由度的协 调 关 系。 图 1板 、梁 单 兀 连 接 根据板、梁理论 中的互不挤压假定 ，它们 的 挠度一致 。即： = ；根据板理论 中的直法线 假定和梁理论中的平截面假设，可 以认为板与梁 相同位置的转动变形一致 。即： ， = 。 通过 以上几何分析，可以得到以中面板节点 的位移列阵 1 表示的梁节点位移列阵 ， 1 ，即 ， ) = 【 R 】 】 ， 式中【 R 】 称为位移的 变换矩阵 。 同理 ，可 以得 到 以中面板节 点的荷载列 阵 1表 示 的 梁 节 点 荷 载 列 阵 ， )， 即 ， ) = 【 尺 】 ) 。 1 3 集成总刚度矩阵 1 和总荷载列阵 F 1 总刚度矩阵 K 和总荷载列阵 F 分别由板 元 、梁元的单刚及节点荷载列阵集成： 【 】 = ( ； + 【 】 ) = ( F 】； + 【 F ； ) ( 5 ) ( 6 ) 1 , 4 板、梁非线性求解 板 的非线性求解通过调整板的刚度矩 阵和荷 载列阵实现板的非线性求解。 ( 1 )当混凝土受压时，切线模量为 巨= 1 7 f c ( e l 一 ) ( 7 ) ( 2 )当混凝土受拉时，切线模量为 巨 =0 5 f , ( 8 ) 式中， 和 分别为混凝 土的单轴抗压和抗拉强 度 ， 和 分别为混凝土的抗压和抗拉极限应 变 ，其值为 ： =0 0 0 3 3， =0 0 0 0 1 5。 ( 3 ) 混凝土开裂后， 在垂直于裂缝方 向假定 不再传递拉力，此时应将释放力叠D w U J t- 部节点 荷载中去，将最后叠加结果作为下一步计算 的节 点荷载 。释放力的计算公式为： = I T d x d y a ( 9 ) -c i 梁 的非线性求解通过调整梁的刚度矩 阵来实 现梁的非线性求解。 ( 1 )求出梁截面的 M 曲线，根据 M一 曲 线得到 M一 变化 曲线； ( 2 ) 根据已求出的节点位移， 得到单元节点 内力 ，再从 M一 曲线搜索得到相应 的刚度； ( 3 )将 已求出的刚度代入下一步的计算。 2 双向板的挠度计算公式 采用增量迭代法编制钢筋混凝土双向板非线 性分析有限元程序，对均布荷载作用下、四周有 梁支承 的单块双 向板跨中挠度进行计算。通过调 整梁截面尺寸和板厚，可得到一系列不 同的梁板 体系，由此分析不同的梁板相对刚度对板位移的 影响规律。 板 的抗弯刚度为 D p = E , h W 1 2 ( 1 一 1 ( 1 0 ) 混凝 土泊 松 比 = 0 1 5，忽 略 高阶微 量 口 ，有 D p = E , h ； 1 2 。 梁截 面抗 弯刚 度为 ， b = b h 1 1 2 ( 1 1 ) 按照P a r k H - 7 8 等人的建议 ， 梁板相对刚度 定义为梁与板的抗弯刚度比， 即o t = 瓦 o ( 为 梁高， 。 为板厚) 。取板的跨度为6 rex 6 m，混凝 土 强 度 等 级 C 3 0，钢 筋 弹 性 模 量 E =2 x 1 0 N ， 嗍 ，泊松 比 ：0 1 5。 ( 1 )板厚 1 4 0 mm，板 内配筋率 P，、 均为x P 0 8 ，梁的截面尺寸为 3 0 0 mmx 6 0 0 mi n ，梁端 顶部配筋率为 1 ，底部配筋率为 1 6 ，弹性计 算值与非线性计算值的比较见图 2 。 4 1 3 9 3 6 3 3 3 ( j 2 7 兰 2 4 2I 漳 l s 1 5 1 2 9 6 3 0 5 6 7 8 9 1 0 I I l ! I 3 均 布荷 载 k Nm 双 向板两种计算方法 的比较 第 3 期 张先进等：考虑梁变形影响 的混凝土双 向板 的挠度 分析 2 0 9 ( 2 ) 各种边界条件下板位移计算结果见图 3 。 3 9 3 6 3 3 3 0 2 7 g 2 4 i： l 均 布 荷载 k N n 1 图 3双 向板随荷载变化的位移 曲线 ( 3 )板面上作用有均布荷载 7 k N m ，板厚 1 4 0mm，梁宽 3 0 01T I I T I ，各配筋率同( 1 ) 款，板跨 中位移随梁高 ( 梁板相对刚度 比值 )变化的计算 结果见图 4 。 2 5 0 3 00 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0 5 5 O 6 o 0 6 5 O 7 O O 7 5 0 8 0 0 8 5 0 9 0 0 粱高 mm 图 4 双 向板随梁高变化的位移 曲线 ( 4 )板面上作用有均布荷载 7 k N m ，梁的 截面尺寸为 3 0 0mmx 6 0 0 rea l ，各配筋率 同 1 款， 板跨中位移随板厚变化的计算结果见图 5 。 2 6 7 4 2 0 l 8 i 1 6 蠢 一 1 2 1 0 8 6 4 图 5双 向板随板厚变化 的位移 曲线 综合分析支承梁的高度变化 ，以及板厚的影 响和结合冯然 J 、胡彬彬I 1 叫 等人的计算成果，应 用大型工程计算软件 Ma t l a b对双 向板在实际梁 支承下的挠度计算结果进行了非线性回归，使用 高斯一牛顿法进行 了非线性最小二乘拟合，可得 板跨中最大挠度计算 公式如下： ( 1 2 ) = 1 2 ( 1 ( 1 3 ) 一 1 、 =1 3 2 5 +5 1 8 e m ( 1 4 ) 上式中， 为非线性回归系数 ， 值为 0 1 0 6 ； 为 梁板相对刚度对板跨中位移影响系数； 为梁板 相对刚度 比值，当 3 0时，取 =3 0； 厂为板 跨 中最大挠度 ；n为板长短边 比值； P为均布荷 载；1 为双向板的短边尺寸；巨， 巨 为混凝土和钢 筋的弹性模量； ， P 、， 为板沿 X ， Y向的配筋率；h 为板厚； 为混凝土泊松 比。 3 结论 ( 1 ) 本文按弹性薄板小挠度理论和非线性有 限元模型对钢筋混凝土板的挠度进行了计算，从 荷载一挠度 曲线可 以得知：按线弹性理论方法 的 计算值明显偏小。随着荷载增大，板的非线性特 征表现得越 明显。 ( 2 ) 本文对钢筋混凝土双向薄板 的挠度进行 计算时，考虑了支承梁刚度的影响，将梁板作为 整体进行了分析。分析结果表明：当梁板相对刚 度比值 3 0时，支承梁的变形对板的挠度影响 较大。尤其 当梁板相对刚度 比值 3 0时，梁 的变形对板的挠度影响甚微，此 时 ，可不考虑支承梁刚度对板 的影响。 ( 3 ) 上述分析结果针对单块板格，当改变边 界条件时，可得到不 同板格 ( 如中间板格、边板 格和角板格 )的最大挠度计算值，为工程设计提 供参考。 参考文献 【 1 】 ( 美)R 派克，w-L 根勃尔 钢 筋混凝土板 M 黄国 桢，成源华译上海：同济大学 出版社， 1 9 9 2 2 】 王元 汉，李丽 娟，李 银平有 限元法 基础 与程 序设 计 M】 广州：华南理工大学 出版社， 2 0 0 1 【 3 】 曲庆璋，章 权，季求知，等弹性板理论 M】 北 京：人民交通出版社， 2 0 0 0 2 1 0 华中科技大学学报 ( 城 市科 学版 ) 2 0 0 8年 黄 炎弹性薄板理论【 M】 长沙：国防科技大学出 版社， 1 9 9 2 陈立保，陈明祥，高作平，等主厂房空间框架中 考虑楼板作用的有限元分析 J 】 工业建筑，2 0 0 5 ， 3 5 ( z 1 ) ： 4 2 0 - 4 2 2 丁圣果，郑涛，肖常健， 等现浇框架结构梁、 柱、 板协同工作体系的有限元方法及其内力特征f J 贵州工业大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 3 ， 3 2 ( 6 ) ： 8 2 8 7 P a r k R ， G a mb l e W L R e i n f o r c e d C o n c r e t e S l a b s ( 2 e d ) 【 M】 N e w Y o r k ： J o h n Wi l e y a n d S o n s ， 2 0 0 2 【 8 】 G a mb l e W L Mo me n t s i n B e a m S u p p o r t e d S l a b s J J Am Co n c r I n s t ， 1 9 7 2 ， 6 9 ( 3 ) ： 1 4 9 1 5 7 【 9 】 冯然，张先进 钢筋混凝土双向板的非线性挠度 分 析与计 算 J 武汉 理工 大学学 报，2 0 0 3 ，2 5 ( 1 1 ) ： 4 7 4 9 【 1 0 】 张先进，胡彬彬 框架结构中双向板挠度的非线性 有 限元 分析 【 J 】 武汉 理 工大 学 学报 ，2 0 0 5 ，2 7 ( 3 ) ： 63 65 No n l i n e a r An a l y s i s o f De fl e c t i o n o f Co n c r e t e Two - wa y S l a b Co n s i d e r i n g Be a m S De f o r ma t i o n Z H A NG X i a n - j i n ，L 1 U L t ，S HI J u n ( a S c h o o l o f Ci v i l E n g i n e e r i n g&Me c h an i c s ； b Hu b e i Ke y L a b o r a t o r y o f Co n t r o l S t r u c t u r e ， HUS T, Wu h an 4 3 0 0 7 4 ， Ch i n a ) Ab s t r a c t ：Re i n f o r c e d c o n c r e t e t wo wa y s l a b s a r e wi d e l y u s e d i n i n d u s t r y a n d c i v i l i a n c o n s t r u c t i o n s ， e s p e c i a l l y alo n g wi t h the d e v e l o p me n t o f l o n g s p a n ，l a r g e s p a c e b ui l di n g s Th e l o n ge r the s p an o f the r e i n f or c e d c o nc r e t e t wo wa y s l a b，the mor e i mp o r t an t o f the f o r e c a s t the d e fle c t i on o f the s l a b i n n o r ma l s t a g e At the p r e s e n t ， the e l a s t i c t h i n s l a b fl e x u r e the o r y i s u s u a l l y a d o p t e d wh e n the d e fle c t i o n o f s l a b i s c alc u l a t e d ，wh a t S mo r e ，the s up p o r t b e a ms a r e a l wa y s c o n s i de r e d a s the r i gi d mo u n t Th e s e r e s u l t s i n the h u g e d i f f e r e n c e b e t we e n c alc u l a t i o n r e s u l t s a n d p r a c t i c al c i r c u ms t an c e s ， e s p e c i a l l y wh e n the s p an o f the s l a b i s l o n g and the r i g i d i t y o f b e am i s s ma l l ，the d i f f e r e n c e i s h u g e r Th e r e f o r e ，the n o n l i n e a r analy s i s o f r e i n f o r c ed c o n c r e t e t wo wa y thi n s l a b i s ne c e s s a r y a n d th e d e f o r m i n g o f the b e am mus t b e c o ns i d e r e d The n o n l i n e ar fin i t e e l e me n t p r o g r am o f R C t wo - wa y t h i n s l a b i n f r am e s i s d e s i g n e d wi th c o mb i n a t i o n o f i n c r e me n t a l an d i t e r a t i v e me thod Th e R C t wo wa y s l a b c a r rie s u nif o r ml y d i s t r i bu t e d l o a d a n d i s s u p po r t e d i n the f ou r s i d e s wi th b e ams i n the d e s i g n wo r k i n g s t a g e By mo d ul a tin g t h e r a t i o o f rig i d i t y o f b e am s a n d s l a b ， th e d e fle c tio n of s l a b i s o b t a i n e d W i th the h e l p of n on l i n e ar r e gre s s i o n， the de fle c t i o n e x p r e s s i on o f R C f o u r s i d e s s u p po rte d b y b e am s t wo wa y s l a b i s pr e s e n t e d Ke y wo r d s ：c o mb i n a ti o n o f i n c r e me n t al an d i t e r a t i v e me tho d ； n o n l i n e a r fi n i t e e l e me n t ； t h e r a t i o o f ri g i d i t y ； n o nl i n e a r r e gr e s s i o n