2013山东烟台中考数学(word-含答案).doc

山东省烟台市2013年中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．﹣6的倒数是（　　）

A．

B．

C．
6
D．
﹣6

2．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000 人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（　　）

A．
2.1×109
B．
0.21×109
C．
2.1×108
D．
21×107

4．下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．下列各运算中，正确的是（　　）

A．
3a+2a=5a2
B．
（﹣3a3）2=9a6
C．
a4÷a2=a3
D．
（a+2）2=a2+4

6．（3分）（2012•青岛）如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．
（6，1）
B．
（0，1）
C．
（0，﹣3）
D．
（6，﹣3）

7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　）

A．
5
B．
5或6
C．
5或7
D．
5或6或7

8．将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（　　）

A．
502
B．
503
C．
504
D．
505

9．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（　　）

A．
7
B．
﹣7
C．
11
D．
﹣11

10．如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（　　）

A．
6cm
B．
3cm
C．
2cm
D．
0.5cm

11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则
y1＞y2．其中说法正确的是（　　）

A．
①②
B．
②③
C．
①②④
D．
②③④

12．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．
AE=6cm
B．
sin∠EBC=

C．
当0＜t≤10时，y=t2
D．
当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．分解因式：a2b﹣4b3=　 　．

14．不等式的最小整数解是　 　．

15．如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD=　 　．

16．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　 　．

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　 　度．

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分46分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．

20．（6分）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1）

21．（7分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

22．（9分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对雾霾了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度
百分比
A．非常了解
5%
B．比较了解
m
C．基本了解
45%
D．不了解
n
请结合统计图表，回答下列问题．
（1）本次参与调查的学生共有　400　人，m=　15%　，n=　35%　；
（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是　126　度；
（3）请补全图1示数的条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

23．（8分）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．

24．（2013•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．
（1）求证：CB=CF；
（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

25．（10分）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

26．（2013•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

答 案（见下页）

　 答 案
一、
B.B.C.C.B. B.D.B.A.D. C.D
二、
13．
b（a+2b）（a﹣2b） 14．　x=3　 15． 16．　15　
17．　108　度 18．　4π　．

三、
19．
解：原式=•
=•
=，
由x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1，
∵x≠1，
∴当x=﹣2时，原式==．

20
解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，

∠ABC=75°﹣60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcos45°=6，
在Rt△CBD中，CD==6，
∴AC=6﹣6≈6.2（海里）．
答：A、C两地之间的距离为6.2海里．

21．
解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y=得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=；

（2）∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
=4×2﹣4=4，
由题意得： OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．

22．
解：（1）利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有：180÷45%=400；
m=×100%=15%，n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%；

（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°；

（3）∵D等级的人数为：400×35%=140；
如图所示：
；

（4）列树状图得：

所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，
则小明参加的概率为：P==，
小刚参加的概率为：P==，
故游戏规则不公平．
故答案为：400，15%，35%；126．

23．
解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：
400x+10%x（﹣400）=2100，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
答：苹果进价为每千克5元．

（2）由（1）得，每个超市苹果总量为：=600（千克），
大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
则乙超市获利600×（﹣5）=1650（元），
∵甲超市获利2100元，
∴甲超市销售方式更合算．

24．
（1）证明：如图1，
∵AE2=EF•EB，
∴=．
又∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

（2）解：如图2，连接OE交AC于点G，
设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴=．
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=，
∴=，即=，
解得，r=，即⊙O的半径是．

25．

（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．

（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．

26．
解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0），
则，
解得，，
∴该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=+1=，EC=2+=，BC=2，
∴BE==．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴=，
∴DG=1．
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切线；

（3）由题意，得
E（﹣，0），B（2，2）．
设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则
，
解得，，
∴直线BE为：y=x+．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=，即P（1，）．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴=，
∴=，则CN=t，
∴DN=t﹣1，
∴S△PND=DN•PD=（t﹣1）•=t﹣．
S△MNC=CN•CM=×t•t=t2．
S梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．
∵S=S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC=﹣+t（0＜t＜2）．
∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．