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2013年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分）
1．（4分）﹣2的倒数为（　　）
A．﹣ B． C．2 D．1
2．（4分）有一篮球如图放置，其主视图为（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）三门湾核电站的1号机组将于2013年的10月建成，其功率将达到1 250 000千瓦．其中1 250 000可用科学记数法表示为（　　）
A．125×104 B．12.5×105 C．1.25×106 D．0.125×107
4．（4分）下列四个艺术字中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数关系式ρ＝（k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（　　）

A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4
6．（4分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都约为8.8环，方差分别为s＝0.63，s＝0.51，s＝0.48，s＝0.42，则四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（4分）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
9．（4分）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（　　）

A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2
10．（4分）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）计算：x5÷x3＝　 　．
12．（5分）设点M（1，2）关于原点的对称点为M′，则M′的坐标为　 　．
13．（5分）如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝　 　度．

14．（5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为　 　．

15．（5分）在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，他们的标号分别是2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是　 　．
16．（5分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行　 　次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，满分80分）
17．（8分）计算：3×（﹣2）+|﹣4|﹣（）0．
18．（8分）化简：（x+1）（x﹣1）﹣x2．
19．（8分）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．
20．（8分）在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？
21．（10分）有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为36°
被抽取的体育测试成绩频数分布表
组别
成绩
频数
A
20＜x≤24
2
B
24＜x≤28
3
C
28＜x≤32
5
D
32＜x≤36
b
E
36＜x≤40
20
合计
a
根据上面的图表提供的信息，回答下列问题：
（1）计算频数分布表中a与b的值；
（2）根据C组28＜x≤32的组中值30，估计C组中所有数据的和为　 　；
（3）请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．

22．（12分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）DG＝B′G．

23．（12分）如图1，已知直线l：y＝﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y＝（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y＝（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
①交点C的纵坐标可以表示为：　 　或　 　，由此进一步探究m关于h的函数关系式；
②如图2，若∠ACD＝90°，求m的值．

24．（14分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β＝45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题）
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

2013年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分）
1．【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是：﹣．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形可直接得到答案．
【解答】解：篮球的主视图是圆．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1 250 000用科学记数法表示为1.25×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，判断是轴对称图形的关键是寻找对称轴．
5．【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（6，1.5），利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值．
【解答】解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ＝，
则1.5＝，
解得k＝9，
故选：A．
【点评】此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．同学们要认真观察图象．
6．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S＝0.63，S＝0.51，S＝0.48，S＝0.42，
∴S最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁；
故选：D．
【点评】此题考查了方差，用到的知识点是方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．
8．【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解答】解：在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝1：4，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9．【分析】首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．
【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC
∵AB＝BC＝2
∴AD＝AB•sin∠B＝，
∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，
∴OE＝OE′＝2
∵点A的坐标为（0，6）
∴OA＝6
∴DE′＝OA﹣AD﹣OE′＝4﹣
故选：B．

【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．
10．【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，
∴B1C1＝B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1＝∠A2、∠B1＝∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
设相似比为k，即＝＝＝k，
∴＝k，
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴k＝1，
即A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2，∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】利用同底数的幂的除法法则：底数不变，指数相减即可求解．
【解答】解：x5÷x3＝x5﹣3＝x2．
故答案是：x2．
【点评】本题考查了同底数的幂的除法法则：底数不变指数相减．
12．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点M（1，2）关于原点的对称点M′的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的坐标的变化规律．
13．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠B，∠DEC＝∠F，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，
∴∠DCE＝∠B＝72°，∠DEC＝∠F＝72°，
在△CDE中，∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质与定理是解题的关键．
14．【分析】连接OD，根据切线的性质可得∠ODC＝90°，可得sin∠C＝即可求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵AC＝7，AB＝4，
∴半径OA＝2，
则OC＝AC﹣AO＝7﹣2＝5，
∴sinC＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
15．【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为5的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：

2
3
4
2
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的结果有9种，其中之和为5的情况有2种，
则P之和为5＝．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】①根据规律依次求出即可；
②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
【解答】解：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，
故答案为：3；

②最大的是225，
[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，满分80分）
17．【分析】分别进行零指数幂、绝对值、有理数的乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣6+4﹣1＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则．
18．【分析】原式第一项利用平方差公式化简，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣1﹣x2＝﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．【分析】将x＝1，y＝2代入方程中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可．
【解答】解：将代入方程组中
得：，
解得：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
20．【分析】设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至少要胜几场．
【解答】解：设这个班要胜x场，则负（28﹣x）场，
由题意得，3x+（28﹣x）≥43，
2x≥15，
解得：x≥7.5，
∵场次x为正整数，
∴x≥8．
答：这个班至少要胜8场．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，难度一般，解答本题的关键是表示出胜场得分和输场得分并列出不等式．
21．【分析】（1）首先根据圆心角的度数＝360°×百分比可算出C部分所占百分比，再利用总数＝频数÷百分比可得总数a；利用总数减去各部分的频数和可得b的值；
（2）利用组中值×频数即可；
（3）首先利用平均数的求法计算出样本平均数，再利用样本估计总体的方法可得该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分．
【解答】解：（1）a＝5÷＝50，
b＝50﹣（2+3+5+20）＝20；

（2）30×5＝150；

（3）＝34.24≈34（分）．
可用样本的平均分来估计总体的平均分，
因此该校九年级学生这次体育测试成绩平均分约34分．
【点评】此题主要考查了频数分布表和扇形图，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形势给出的数学实际问题．
22．【分析】（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC，由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2，即可得出答案；
（2）求出EG＝B′G，由平行线的性质推出∠DEG＝∠EGF＝∠B′FG，求出DE＝B′F，证△DEG≌△B′FG即可．
【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC，
由折叠得：∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2；

（2）∵∠1＝∠2，
∴EG＝GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG＝∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，
∴∠DEG＝∠B′FG，
∵DE＝BF＝B′F，
∴DE＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG＝B′G．
【点评】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23．【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可；
（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．
【解答】解：（1）当x＝0时候，y＝﹣x+2＝2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y＝（x﹣1）2+k，得1+k＝2
∴k＝1，
∴y＝（x﹣1）2+1，
∴B（1，1）
∵D（h，2﹣h）
∴当x＝h时，y＝﹣x+2＝﹣h+2＝2﹣h
∴点D在直线l上；

（2）①（m﹣1）2+1或（m﹣h）2﹣h+2
由题意得（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，
整理得2mh﹣2m＝h2﹣h
∵h＞1
∴m＝＝．
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝∠CDF
又∵∠AEC＝∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴
又∵C（m，m2﹣2m+2），D（2m，2﹣2m），
∴AE＝m2﹣2m，DF＝m2，CE＝CF＝m
∴＝
∴m2﹣2m＝1
解得：m＝±+1
∵h＞1
∴m＝＞
∴m＝+1

【点评】本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的用点的坐标表示有关线段的长更是解决本题的关键，在中考中出现的频率很高．
24．【分析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC＝x，根据条件可以求出AC＝2x，由三角函数可以求出BD＝2x，从而得出AC＝BD，从而得出结论；
（3）①当β＝45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出，再分情况讨论就可以求出当AE＝PQ时，的值，当AP＝QM时，可以求出的值；
②根据①求出的两个的值就可以求出tanβ的取值范围；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜，△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题．
【解答】解：（1）如图1，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③以点O为圆心，AB为半径画圆，
④在圆O上取一点C，连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）．

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴
∴设BC＝x，则AC＝2x，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝x
∴BD＝＝＝2x，
∴AC＝BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如图3，当β＝45°，点P在AB上时，
∴∠ABC＝2β＝90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC＝CQ，
∴∠CAB＝∠ACP，∠AEF＝∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴．
∵PE＝CE，
∴．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE＝PQ时，
，
∴，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP＝QM时，
作QN⊥AP于N，如图4
∴MN＝AN＝MP．
∴QN＝MN，
∴tan∠APQ＝，
∴tan∠APE＝＝＝，
∴＝
②由①可知，当AE＝PQ和AP＝QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，
则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．

【点评】本题是一道相似形综合运用的试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键．
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