2015年江苏省南通市中考数学试题及答案.doc

中考真题系列~马老师主编
★绝密材料
开考启封
南通市2015年初中毕业、升学考试试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1． 如果水位升高6m时水位变化记作＋6m，那么水位下降6m时水位变化记作
A．－3m B．3m C．6m D．－6m
2． 下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有
三棱柱
圆柱
四棱锥
球

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3． 据统计：2014年南通市在籍人口总数约为7700000人，将7700000用科学记数法表示为
A．0.77×107 B．7.7×107
C．0.77×106 D．7.7×106
4． 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．

5． 下列长度的三条线段能组成三角形的是
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
α
O
A
y
x
（第6题）
（2，1）
6． 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是
A． B．
C． D．2
7． 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为
A．12 B．15 C．18 D．21
8． 关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A．―3＜b＜―2 B．―3＜b≤―2
C．―3≤b≤―2 D．―3≤b＜―2
5
0.5
1
1.5
2
x/h
y/km
O
（第9题）
10
8
20
甲
乙
9． 在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；
②出发后1小时，两人行程均为10km；
③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；
④甲比乙先到达终点．
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
E
D
C
O
B
A
（第10题）
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为
A．2.5
B．2.8
C．3
D．3.2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解4m2－n2＝ ▲ ．
12．已知方程2x2＋4x―3＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值等于 ▲ ．
13．计算(x－y)2－x(x－2y)＝ ▲ ．
（第14题）
次数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
4
6
8
10
成绩/环
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
甲
乙
14．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）．
根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定
的是 ▲ （填“甲”或“乙”）．
15．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，
OD＝13 cm，AB＝24 cm，则CD＝ ▲ cm．
16．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，
∠BAC＝102，则∠ADC＝ ▲ 度．
17．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ▲ ．
（第15题）
A
O
B
C
D
B
C
D
F
（第17题）
A
E
（第16题）

B
D
C
A

18．关于x的一元二次方程ax2―3x―1＝0的两个不相等的实数根都在―1和0之间（不包括―1和0），则a的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）
（1）计算(－2)2－＋(－3)0－；
（2）解方程＝．
20．（本小题满分8分）
如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．
P
B
A
60°
45°
（第20题）

21．（本小题满分10分）
为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数．从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下统计图．
成绩/分
59.5
0
频数
（学生人数）
16
10
4
20
69.5
99.5
79.5
89.5
（第21题）

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5~89.5）”的扇形的圆心角为 ▲ 度；
（2）若成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？
（3）某班准备从成绩最好的4名同学（男、女各2名）中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是1男1女的概率为 ▲ ．

22．（本小题满分8分）
有大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．
请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．

23．（本小题满分8分）
O
x
y
A
B
（第23题）
C
D
如图，直线y＝mx＋n与双曲线y＝相交于A（－1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．

24．（本小题满分8分）
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．
A
C
P
B
O
（第24题）

25．（本小题满分8分）
如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证△AED≌△CFB；
（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证DA＝DF．
（第25题）
E
D
C
B
A
F

26．（本小题满分10分）
某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元．设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

27．（本小题满分13分）
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（第27题）
A
C
B
P
Q
D
E
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

28．（本小题满分13分）
已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x－1．
（1）求证点P在直线l上；
（2）当m＝－3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（第28题）
x
y
C
Q
P
O
B
A
l
M
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

南通市★保密材料
阅卷使用
2015年初中毕业、升学考试
数学试题参考答案与评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
B
D
A
A
C
B
D
C
B
二、填空题（本大题共8小题，每小题，共2）
11．(2m＋n)(2m－n) 12．－2 13．y2 14．甲
15．8 16．52 17． 18．－＜a＜－2
三、解答题（本大题共10小题，共9）
19．（本小题满分）
解：（1）原式＝4－4＋1－9
＝－8．
（2）方程两边乘2x(x＋5)，得x＋5＝6x．
解得x＝1．
检验：当x＝1时，2x(x＋5)≠0．
所以，原分式方程的解为x＝1．
20．（本小题满分）
解：过点P作PC⊥AB于点C．
在Rt△ACP中，PA＝40，∠APC＝45°，sin∠APC＝，cos∠APC＝．
P
B
A
C
60°
45°
（第20题）
∴AC＝AP·sin45°＝40×＝40，PC＝AP·cos45°＝40×＝40．
在Rt△BCP中，∠BPC＝60°，tan∠BPC＝．
∴BC＝PC·tan60°＝40×＝40．
∴AB＝AC＋BC＝40＋40．
答：航程AB的值为（40＋40）海里．
21．（本小题满分）
解：（1）144；
（2）16÷50＝0.32，0.32×2000＝640．
答：估计全校约有640名同学获奖；
（3）．

22．（本小题满分）
解：本题答案不惟一，下列解法供参考．
解法一 问题：1辆大车一次运货多少吨，1辆小车一次运货多少吨？
解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意，得 解得
答：1辆大车一次运货4吨，1辆小车一次运货2.5吨．
解法二 问题：1辆大车一次运货多少吨？
解：设1辆大车一次运货x吨，则1辆小车一次运货吨．
根据题意，得2x＋6×＝23．解得x＝4．
答：1辆大车一次运货4吨．
解法三 问题：5辆大车与10辆小车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意，得 解得5x＋10y＝45．
答：5辆大车与10辆小车一次可以运货45吨．
23．（本小题满分）
解：（1）把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝b代入，解得k＝－2，b＝－1．
把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝－1代入，解得m＝－1，n＝1．
（2）直线y＝－x＋1与y轴交点C的坐标为（0，1），所以点D的坐标为（0，－1）．
点B的坐标为（2，－1），所以△ABD的面积＝＝3．
24．（本小题满分）
A
C
P
B
O
（第24题）
解：（1）连接OA，OB．
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°．
∴∠AOB＋∠P＝180°．
∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠P＝60°．
（2）连接OP．∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠APO＝∠APB＝30°．
在Rt△APO中，tan30°＝，∴AP＝．
∵OA＝4cm，∴AP＝4cm．
∴阴影部分的面积为2×(×4×4－)＝（16－）(cm2)．

25．（本小题满分）
证明：（1）∵□ABCD，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥BC．
（第25题）
E
D
C
B
A
F
H
∴∠ADB＝∠CBD．
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB＝∠FBD＝90°．
∴∠ADE＝∠CBF．
∴△AED≌△CFB．
（2）作DH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH．
在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH．
由题意易证四边形EBFD是平行四边形，∴FD＝EB．∴DA＝DF．
26．（本小题满分）
解：（1）
（2）在0≤x≤10时，y＝100x，当x＝10时，y有最大值1000；
在10＜x≤30时，y＝―3x2＋130x，当x＝21时，y取得最大值．
因为x为整数，所以x＝21时，y＝1407；x=22时，y＝1408，
所以，当x=22时，y有最大值1408．
因为1408＞1000，
所以顾客一次购买22件时，该网店从中获利最多．
27．（本小题满分1）
解：（1）在Rt△BAC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝．
∵，，∴．
又∵∠C＝∠C，∴△PQC∽△BAC．
∴∠CPQ＝∠B．∴PQ∥AB．
（2）连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ＝∠DAB．
∴∠ADQ＝∠DAQ．∴AQ＝DQ．
在Rt△CPQ中，PQ＝5x，∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x．
∵AQ＝12―4x，∴12―4x＝2x．解得x＝2．∴CP＝3x＝6．
（3）当点E落在AB上时，
∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PEB．
∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，
∴∠B＝∠PEB．∴PB＝PE＝5x．∴3x＋5x＝9．解得x＝．
以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤时，T＝PD＋DE＋PE＝3x＋4x＋5x＝12x．此时，0＜T≤．
（第27题）
A
C
B
P
Q
E
D
F
H
G
②当＜x＜3时，设PE交AB于G，DE交AB于F．
作GH⊥PQ，垂足为H．
∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE．
∴．
∵PG＝PB＝9－3x，∴．
∴GH＝(9－3x)，PH＝(9－3x)．
∴FG＝DH＝3x－(9－3x)，
∴T＝PG＋PD＋DF＋FG＝(9－3x)＋3x＋(9－3x)＋[3x－(9－3x)]＝x＋．
此时，＜T＜18．
∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大．
∴T＝12时，即12x＝12，解得x＝1；T＝16时，即x＋＝16，解得x＝． 1
∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤． 1
28．（本小题满分）
（1）证明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1＝(x－m)2＋m－1，∴顶点P（m，m－1）．
将x＝m代入y＝x－1得y＝m－1，∴点P在直线y＝x－1上．
（2）解：当m＝－3时，抛物线解析式为y＝x2＋6x＋5，点P的坐标为（－3，－4），
（第28题）
x
y
C
Q
P
O
B
A
M
F
E
l
G
点Q坐标为（－2，－3），点A的坐标为（－5，0），
点C的坐标为（0，5）．
作ME⊥y轴，PF⊥x轴，QG⊥x轴，垂足分别为E，F，G．
∴QG＝3，AG＝5－2＝3，∠CAO＝∠ACO＝45°．
∴∠OAQ＝45°．
∵∠APF＝90°－(∠PAQ＋45°)＝45°－∠PAQ，
∠MCE＝45°－∠ACM，
∠ACM＝∠PAQ，
∴∠APF＝∠MCE．
∴Rt△CME∽Rt△PAF．
∴．
设点M的坐标为（x，x2＋6x＋5），
则ME＝－x，CE＝－x2－6x，PF＝4，AF＝2．
∴．解得x1＝－4，x2＝0（舍去）．则x2＋6x＋5＝－3．
故点M（－4，－3）．
（3）m的值为0，，，，．
数学试卷 第 11 页（共 11 页）