2015年湖南省衡阳市中考数学试题及解析.doc

2015年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3分）（2015衡阳）计算（1）0+|2|的结果是（）A3B1C1D32（3分）（2015衡阳）下列计算正确的是（）Aa+a=2aBb3b3=2b3Ca3a=a3D（a5）2=a73（3分）（2015衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（）ABCD4（3分）（2015衡阳）若分式的值为0，则x的值为（）A2或1B0C2D15（3分）（2015衡阳）函数y=中自变量x的取值范围为（）Ax0Bx1Cx1Dx16（3分）（2015衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（）ABCD7（3分）（2015衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A11B16C17D16或178（3分）（2015衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A2B2C4D39（3分）（2015衡阳）下列命题是真命题的是（）A对角线互相平分的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直的四边形是正方形10（3分）（2015衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（）A50元，30元B50元，40元C50元，50元D55元，50元11（3分）（2015衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）Ax（x10）=900Bx（x+10）=900C10（x+10）=900D2x+（x+10）=90012（3分）（2015衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A50B51C50+1D101二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。13（3分）（2015衡阳）在1，0，2这三个数中，最小的数是14（3分）（2015衡阳）如图，已知直线ab，1=120，则2的度数是15（3分）（2015衡阳）计算：=16（3分）（2015衡阳）方程的解为17（3分）（2015衡阳）圆心角为120的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留）18（3分）（2015衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为m19（3分）（2015衡阳）已知a+b=3，ab=1，则a2b2的值为20（3分）（2015衡阳）如图，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、An在x轴上，点B1、B2、Bn在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21（6分）（2015衡阳）先化简，再求值：a（a2b）+（a+b）2，其中a=1，b=22（6分）（2015衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有人；（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有人23（6分）（2015衡阳）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）（1）在平面直角坐标系中画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）把ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点C2在AB上旋转角为多少度？写出点B2的坐标24（6分）（2015衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率25（8分）（2015衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4x10时，y与x成反比例）（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？26（8分）（2015衡阳）如图，AB是O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CEAD，交AD的延长线于点E（1）求证：CE是O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由27（10分）（2015衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点28（10分）（2015衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PMCP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MNOA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小2015年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3分）考点：实数的运算；零指数幂菁优网版权所有专题：计算题分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果解答：解：原式=1+2=3故选D点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（3分）考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方菁优网版权所有分析：根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、a+a=2a，故本选项正确；B、b3b3=b3+3=b6，故本选项错误；C、a3a=a31=a2，故本选项错误；D、（a5）2=a52=a10，故本选项错误故选A点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键3（3分）考点：简单组合体的三视图菁优网版权所有专题：常规题型分析：根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案解答：解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，故选：C点评：本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形4（3分）考点：分式的值为零的条件菁优网版权所有分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题解答：解：由题意可得：x2=0且x+10，解得x=2故选：C点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少5（3分）考点：函数自变量的取值范围菁优网版权所有分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围解答：解：根据题意得：x+10，解得：x1故选：B点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负6（3分）考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组菁优网版权所有分析：根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示解答：解：不等式组的解集为：2x1，其数轴表示为：故选A点评：不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解7（3分）考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系菁优网版权所有专题：分类讨论分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解解答：解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17故选D点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论8（3分）考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根解答：解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得1+x1=3，解得：x1=2故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=9（3分）考点：命题与定理菁优网版权所有专题：计算题分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题故选A点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理10（3分）考点：众数；中位数菁优网版权所有分析：根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可解答：解：50出现了3次，出现的次数最多，则众数是50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是50，则中位数是50故选C点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）11（3分）考点：由实际问题抽象出一元二次方程菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长宽列出方程即可解答：解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900故选B点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长宽是解决本题的关键，此题难度不大12（3分）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题菁优网版权所有分析：设AG=x，分别在RtAEG和RtACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH解答：解：设AG=x，在RtAEG中，tanAEG=，EG=x，在RtACG中，tanACG=，CG=x，xx=100，解得：x=50则AH=50+1（米）故选C点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。13（3分）考点：有理数大小比较菁优网版权所有分析：有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可解答：解：根据有理数比较大小的方法，可得210，所以在1，0，2这三个数中，最小的数是2故答案为：2点评：此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小14（3分）考点：平行线的性质菁优网版权所有分析：两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答解答：解：ab，1=120，2=1801=180120=60，故答案为：60点评：本题考查了平行线的性质注意两直线平行，同旁内角互补15（3分）考点：二次根式的加减法菁优网版权所有分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可解答：解：原式=2=故答案为：点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变16（3分）考点：解分式方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为：x（x2），去分母，化为整式方程求解解答：解：方程两边同乘x（x2），得x2=3x，解得：x=1，经检验x=1是方程的解点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根17（3分）考点：扇形面积的计算菁优网版权所有分析：根据扇形的面积公式即可求解解答：解：扇形的面积=3cm2故答案是：3点评：本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键18（3分）考点：三角形中位线定理菁优网版权所有专题：应用题分析：根据题意知MN是ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可解答：解：点M、N是OA、OB的中点，MN是ABO的中位线，AB=AMN又MN=20m，AB=40m故答案是：40点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半19（3分）考点：平方差公式菁优网版权所有专题：计算题分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值解答：解：a+b=3，ab=1，原式=（a+b）（ab）=3，故答案为：3点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键20（3分）考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：规律型分析：根据规律得出OA1=，OA2=1，OA3=2，OA4=4，OA5=8，所以可得OAn=2n2，进而解答即可解答：解：因为OA2=1，所以可得：OA1=，进而得出OA3=2，OA4=4，OA5=8，由此得出OAn=2n2，所以OA2015=22013，故答案为：22013点评：此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OAn=2n2进行解答三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21（6分）考点：整式的混合运算化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值解答：解：原式=a22ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，当a=1，b=时，原式=2+2=4点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键22（6分）考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图菁优网版权所有分析：（1）用1减去其它各组的百分比，据此即可求解；（2）根据优秀的人数是8，所占的百分比是16%即可求得调查的总人数，利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数400乘以对应的百分比即可求解解答：解：（1）“合格”的百分比为112%16%32%=40%，故答案是：40%；（2）抽测的总人数是：816%=50（人），则抽测结果为“不合格”等级的学生有：5032%=16（人）故答案是：16；（3）该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有40032%=128（人）故答案是：128点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小23（6分）考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换菁优网版权所有分析：（1）分别得到点A、B、C关于x轴的对称点，连接点A1，B1，C1，即可解答；（2）根据点A，B，C的坐标分别求出AC，BC，AC的长度，根据勾股定理逆定理得到CAB=90，即可得到旋转角；根据旋转的性质可知AB=AB2=3，所以CB2=AC+AB2=5，所以B2的坐标为（6，2）解答：解：（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于x轴的对称点分别为A1（3，2），B1（3，5），C1（1，2），如图所示，（2）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2），AB=3，AC=2，BC=，AB2+AC2=BC2，CAB=90，AC与AC2的夹角为CAC2，旋转角为90；AB=AB2=3，CB2=AC+AB2=5，B2的坐标为（6，2）点评：本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点24（6分）考点：列表法与树状图法菁优网版权所有专题：计算题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数，即可求出所求的概率解答：解：列表如下：男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8种，则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）=点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比25（8分）考点：反比例函数的应用；一次函数的应用菁优网版权所有分析：（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案解答：解：（1）当0x4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4x10时，设直反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，82=6（小时），血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时点评：此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键26（8分）考点：切线的判定；菱形的判定菁优网版权所有分析：（1）连接AC，由题意得=，DAC=CAB，即可证明AEOC，从而得出OCE=90，即可证得结论；（2）四边形AOCD为菱形由=，则DCA=CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；解答：解：（1）连接AC，点CD是半圆O的三等分点，=，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）OCE=E，CEAD，OCE=90，OCCE，CE是O的切线；（2）四边形AOCD为菱形理由是：=，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOCD是菱形点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容27（10分）考点：二次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定ABM为直角三角形；（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围解答：解：（1）A点为直线y=x+1与x轴的交点，A（1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，B（2，3），抛物线顶点在y轴上，可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为y=x21；（2）ABM为直角三角形理由如：由（1）抛物线解析式为y=x21可知M点坐标为（0，1），AM=，AB=3，BM=2，AM2+AB2=2+18=20=BM2，ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x21平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（xm）2+2m，即y=x22mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2（2m+1）x+m2+2m=0，平移后的抛物线总有不动点，方程x2（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，0，即（2m+1）24（m2+2m）0，解得m，即当m时，平移后的抛物线总有不动点点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键本题考查知识点较为基础，难度适中28（10分）考点：四边形综合题菁优网版权所有分析：（1）作MEx轴于E，则MEP=90，先证出PME=CPO，再证明MPEPCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出MAE=45=BOA，AMOB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；（3）先证明PADPEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果解答：解：（1）作MEx轴于E，如图1所示：则MEP=90，MEAB，MPE+PME=90，四边形OABC是正方形，POC=90，OA=OC=AB=BC=4，BOA=45，PMCP，CPM=90，MPE+CPO=90，PME=CPO，在MPE和PCO中，MPEPCO（AAS），ME=PO=t，EP=OC=4，OE=t+4，点M的坐标为：（t+4，t）；（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：连接AM，如图2所示：MNOA，MEAB，MEA=90，四边形AEMF是矩形，又EP=OC=OA，AE=PO=t=ME，四边形AEMF是正方形，MAE=45=BOA，AMOB，四边形OAMN是平行四边形，MN=OA=4；（3）MEAB，PADPEM，即，AD=t2+t，BD=ABAD=4（t2+t）=t2t+4，MNOA，ABOA，MNAB，四边形BNDM的面积S=MNBD=4（t2t+4）=（t2）2+6，S是t的二次函数，0，S有最小值，当t=2时，S的值最小；当t=2时，四边形BNDM的面积最小点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果第18页（共18页）