2016年湖南省衡阳市中考数学试题及解析.doc

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）4的相反数是（）AB C4 D42（3分）如果分式有意义，则x的取值范围是（）A全体实数 Bx1 Cx=1 Dx13（3分）如图，直线ABCD，B=50，C=40，则E等于（）A70 B80 C90 D1004（3分）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）A球体 B圆柱体 C四棱锥 D圆锥5（3分）下列各式中，计算正确的是（）A3x+5y=8xy Bx3x5=x8Cx6x3=x2D（x3）3=x66（3分）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）A0.36107B3.6106C3.6107D361057（3分）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）A平均数 B中位数 C众数 D方差8（3分）正多边形的一个内角是150，则这个正多边形的边数为（）A10 B11 C12 D139（3分）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A10（1+x）2=16.9 B10（1+2x）=16.9 C10（1x）2=16.9 D10（12x）=16.910（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）Ak=4 Bk=4 Ck4 Dk411（3分）下列命题是假命题的是（）A经过两点有且只有一条直线B三角形的中位线平行且等于第三边的一半C平行四边形的对角线相等D圆的切线垂直于经过切点的半径12（3分）如图，已知A，B是反比例函数y=（k0，x0）图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PMx轴，垂足为M设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）A B C D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13（3分）因式分解：a2+ab=14（3分）计算：=15（3分）点P（x2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是16（3分）若ABC与DEF相似且面积之比为25：16，则ABC与DEF的周长之比为17（3分）若圆锥底面圆的周长为8，侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的母线长为18（3分）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为三、解答题（共8小题，满分66分）19（6分）先化简，再求值：（a+b）（ab）+（a+b）2，其中a=1，b=20（6分）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图请根据图，图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为；（2）请将图补充完整；（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）21（6分）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，A=B，ADE=BCF，求证：DE=CF22（8分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率23（8分）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：港口来源:学科网ZXXK来源:学|科|网运费（元/台）甲库乙库A港1420B港108（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案24（10分）在某次海上军事学习期间，我军为确保OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30方向上，求此时敌舰A离OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近OBC海域，我军军舰B沿北偏东15的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？25（10分）在平面直角坐标中，ABC三个顶点坐标为A（，0）、B（，0）、C（0，3）（1）求ABC内切圆D的半径（2）过点E（0，1）的直线与D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作P若P上存在一点到ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标26（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式（2）点F为线段AC上一动点，过F作FEx轴，FGy轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由2016年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1【考点】相反数【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案【解答】解：4的相反数是：4故选：D2【考点】分式有意义的条件【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值【解答】解：分式有意义，x10，解得：x1故选：B3【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质得到1=B=50，由三角形的内角和即可得到结论【解答】解：ABCD，1=B=50，C=40，E=180B1=90，故选C4【考点】简单几何体的三视图【分析】根据各个几何体的三视图的图形易求解【解答】解：A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误故选：A5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、3x+5y，无法计算，故此选项错误；B、x3x5=x8，故此选项正确；C、x6x3=x3，故此选项错误；D、（x3）3=x9，故此选项错误；故选：B6【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数【解答】解：3600000=3.6106，故选：B7【考点】统计量的选择【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好故选：D8【考点】多边形内角与外角【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数【解答】解：外角是：180150=30，36030=12则这个正多边形是正十二边形故选：C9【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A10【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到=424k=0，然后解一次方程即可【解答】解：一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，=424k=0，解得：k=4，故选：B11【考点】命题与定理【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确C、平行四边形的对角线相等，错误矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确故选C12【考点】动点问题的函数图象【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成OA、AB、BC三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案【解答】解：设AOM=，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S=a2cossint2，由于及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a提出来即可【解答】解：a2+ab=a（a+b）故答案为：a（a+b）14【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可【解答】解：原式=1故答案为：115【考点】点的坐标【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可【解答】解：点P（x2，x+3）在第一象限，解得：x2故答案为：x216【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解【解答】解：ABC与DEF相似且面积之比为25：16，ABC与DEF的相似比为5：4；ABC与DEF的周长之比为5：4故答案为：5：417【考点】圆锥的计算【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8=，然后解方程即可【解答】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得8=，解得l=16，即该圆锥的母线长为16故答案为1618【考点】点、线、面、体【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可【解答】解：依题意有n（n+1）+1=56，解得x1=11（不合题意舍去），x2=10答：n的值为10故答案为：10三、解答题（共8小题，满分66分）19【考点】整式的混合运算化简求值【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将a、b的值代入求值即可【解答】解：原式=a2b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab，当a=1，b=时，原式=2（1）2+2（1）=21=120【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图补充完整；（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数【解答】解：（1）由题意可得，本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：100%=20%故答案为：20%；（2）由题意可得，选择C的人数有：30363044=70（人），故补全的图如下图所示，（3）由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：1530=595（人），即全校共有595名学生选择此必唱歌曲21【考点】全等三角形的判定与性质【分析】求出AD=BC，根据ASA推出AEDBFC，根据全等三角形的性质得出即可【解答】证明：AC=BD，AC+CD=BD+CD，AD=BC，在AED和BFC中，AEDBFC（ASA），DE=CF22【考点】列表法与树状图法【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解（1）画树状图得：则共有16种等可能的结果；（2）既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为： =23【考点】一次函数的应用【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案【解答】解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50（80x）=（x30）吨，所以y=14x+20+10（80x）+8（x30）=8x+2560，x的取值范围是30x80（2）由（1）得y=8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，当x=80时，y=880+2560=1920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口24【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）求出OC，由题意rOC，由此即可解决问题（2）作AMBC于M，求出AM即可解决问题（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解决问题【解答】解：（1）在RTOBC中，BO=80，BC=60，OBC=90，OC=100，OC=100=50雷达的有效探测半径r至少为50海里（2）作AMBC于M，ACB=30，CBA=60，CAB=90，AB=BC=30，在RTABM中，AMB=90，AB=30，BAM=30，BM=AB=15，AM=BM=15，此时敌舰A离OBC海域的最短距离为15海里（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，HBN=HNB=15，MHN=HBN+HNB=30，HN=HB=2x，MH=x，BM=15，15=x+2x，x=3015，AN=3030，BN=15（），设B军舰速度为a海里/小时，由题意，a20B军舰速度至少为20海里/小时25【考点】圆的综合题【分析】（1）由A、B、C三点坐标可知CBO=60，又因为点D是ABC的内心，所以BD平分CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；（2）根据题意可知，DF为半径，且DFE=90，过点F作FGy轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；（3）P上存在一点到ABC三个顶点的距离相等，该点是ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3【解答】解：（1）连接BD，B（，0），C（0，3），OB=，OC=3，tanCBO=，CBO=60点D是ABC的内心，BD平分CBO，DBO=30，tanDBO=，OD=1，ABC内切圆D的半径为1；（2）连接DF，过点F作FGy轴于点G，E（0，1）OE=1，DE=2，直线EF与D相切，DFE=90，DF=1，sinDEF=，DEF=30，GDF=60，在RtDGF中，DFG=30，DG=，由勾股定理可求得：GF=，F（，），设直线EF的解析式为：y=kx+b，直线EF的解析式为：y=x1；（3）P上存在一点到ABC三个顶点的距离相等，该点必为ABC外接圆的圆心，由（1）可知：ABC是等边三角形，ABC外接圆的圆心为点DDP=2，设直线EF与x轴交于点H，令y=0代入y=x1，x=，H（，0），FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1Mx轴于M，由勾股定理可求得：P1F=3，P1H=P1F+FH=，DEF=HP1M=30，HM=P1H=，P1M=5，OM=2，P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2Nx轴于点N，由勾股定理可求得：P2F=3，P2H=P2FFH=，DEF=30OHE=60sinOHE=，P2N=4，令y=4代入y=x1，x=，P2（，4），综上所述，若P上存在一点到ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（，4）26【考点】二次函数综合题【分析】（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；（2）当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；（3）过点M作MHDN于H，如图2，由题可得0t2然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（DN=DM，ND=NM，MN=MD）讨论就可解决问题【解答】解：（1）点B是点A关于y轴的对称点，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的顶点为（0，），故抛物线的解析式可设为y=ax2+A（1，2）在抛物线y=ax2+上，a+=2，解得a=，抛物线的函数关系表达式为y=x2+；（2）当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，x2+=0，解得：x1=3，x2=3，点C的坐标为（3，0）设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，直线AC的解析式为y=x+设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）点F（p，p）在直线y=x+上，p+=p，解得p=1，点F的坐标为（1，1）当点F在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去综上所述：点F的坐标为（1，1）；（3）过点M作MHDN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1点E和点C重合时停止运动，0t2当x=t时，y=t+，则N（t，t+），DN=t+当x=t+1时，y=（t+1）+=t+1，则M（t+1，t+1），ME=t+1在RtDEM中，DM2=12+（t+1）2=t2t+2在RtNHM中，MH=1，NH=（t+）（t+1）=，MN2=12+（）2=当DN=DM时，（t+）2=t2t+2，解得t=；当ND=NM时，t+=，解得t=3；当MN=MD时，=t2t+2，解得t1=1，t2=30t2，t=1综上所述：当DMN是等腰三角形时，t的值为，3或117