数学规划模型.doc

课 程 设 计

课 程 数学模型课程设计
题 目 应用数学规划模型求解实际数学问题
学 院 数学与记录学院
专业班级 信计13-2
学生姓名
学生学号
指导教师

2023年 7 月 5 日

东北石油大学课程设计任务书

课程 《数学模型》课程设计
题目 应用数学规划模型求解实际数学问题
专业 姓名 学号
重要内容、基本规定、重要参考资料等
重要内容
简朴介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并运用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局
课程设计的规定：
1.独立完毕建模，并提交一篇建模论文。
2.论文的重要内容涉及：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计， 模型解法与结果，模型结果的分析和检查，涉及误差分析、稳定性分析等。模型的优缺陷及改善方向。必要的计算机程序。
3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。
4.课程设计结束时参与答辩。
重要参考资料：
[1] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2023.3
[2] 杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨： 哈尔滨工程大学出版社，2023.6
[3] 陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2023
[4] 吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2023
[5] 胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2023
[6] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2023
完毕期限 2023年6月27日-7月8日
指导教师
专业负责人
2023年7月5日
摘 要
人们需要了解各种不拟定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程中需要解决大量数据，而记录学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用记录方法来整理这些数据，就可以省去不必要的过程。
本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中重要借助了这个软件。必要的求解过程是运用MATLAB和LINGO来求解的。本文在具体介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。
林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分派方案往往需要消耗不同的修理成本. 本文重要运用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分派方案，以及所相应的总费用，并对其进行分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为资源分派的重要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得到了相称满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对实际情况中汽车修理分派方案的制定有很大的指导作用.且本模型的解决思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用.
本模型对实际情况中汽车修理分派方案的制定有很大的指导作用.且本模型的解决思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用.
应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解环节，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提供了较为简便的方法。
关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型

目 录
第1章 基础理论 1
1.1 数学规划模型的相关软件介绍 1
1.2 数学规划模型的基本概念 2
1.3 本章小结 3
第2章 常用模型 4
2.1 模型1——目的规划模型 4
2.2 模型2——最短路和最大流模型 5
2.3 本章小结 8
第3章 典型实例 9
3.1 实例1——生产安排问题 9
3.2 实例2——设备更新问题 10
3.3 本章小结 12
第4章 数学模型案例 13
4.1符号说明 14
4.2 模型的建立和求解 14
4.3 结果分析 15
4.4 模型改善与模型评价 15
4.5 本章小结 15
结 论 16
参考文献 17
附 录 18

第1章 基础理论
1.1 数学规划模型的相关软件介绍
1.1.1 LINGO相关介绍
美国芝加哥大学的 Linus Schrage 专家于1980年前后开发了一套专门用于求解最优化问题的软件包，后来又通过了数年的不断完善和扩充，并成立了LINDO系统公司进行商业化运作，取得了巨大成功. 在最优化软件的市场中具有绝对的优势，根据该公司网上提供的信息，位列全球《财富》杂志500强的公司中一半以上使用上述产品，其中位列全球《财富》杂志25强公司中有23家使用上述产品. 读者可以从该公司的主页上了解更多的相关信息，特别是可以下载该公司产品的演示版(DEMO)和大量应用例子。演示版和正式版的基本功能是同样的，只是试用版求解问题的规模(决策变量和约束条件的个数)受到严格限制。
LINGO的前身是LINDO，LINDO只能求解线性规划和二次规划(求解二次规划时又较繁琐的程序转换)，有丰富的结果分析；后来为了解决非线性规划问题，LINDO公司开发了LINGO，当前LINGO的版本是10.0，最近一次更新是2023年12月。
LINGO(涉及LINDO)的最大特色在于可以允许决策变量是整数(甚至0-1整数)，并且运营速度快。
LINGO事实上还是最优化问题的一种建模语言，涉及许多常用的数学函数供使用者调用，并可以接受其他数据文献 ( 如 文本文献.txt，电子表格文献.xml, 数据库文献，…)，既是对优化方面的专业知识了解不多的用户，也能方便的建立和输入、有效的求解和分析实际中碰到的大规模优化问题，并通常可以快速得到复杂优化问题的高质量的解。
此外，LINGO还提供了与其他开发工具(如C++、JAVA等语言)的接口软件LINDO API，因此使LINGO还能方便的融入到用户应用软件的开发中去；最后LINGO提供了与电子表格软件(如EXCEL等)的接口，可以直接集成到电子表格软件中使用。
由于自LINGO9开始LINGO完全地包含了LINDO的功能，所以LINDO公司已经将LINDO从其产品目录中删去，这意味着以后不会再有LINDO软件的新版本了。
1.1.2 LINGO程序模版
LINGO的程序结构
1.集合段 以sets开始、endsets结束，作用在于定义必要的集合变量及其元素(含义类似于数组的下标)和属性(含义类似于数组)；
2.数据段 以data开始、enddata结束，作用在于对集合的属性(数组)输入已知数据；
3.初始段 以init开始、endinit结束，作用在于对集合的属性(数组)定义初值；
4.计算段 以calc开始、endcalc结束，作用在于对一些原始数据进行计算解决；
5.目的与约束段 无开始和结束标志，作用在于定义目的函数和约束条件.
1.1.3 LINGO常用命令
一、运算符及优先级
1、算术运算符(5个)：
+ (加法), — (减法或负号), * (乘法), / (除法), ^ (乘方)
2、逻辑运算符(9个)：
(1) #and#(与)，#or#(或)，#not#(非)；
(2) #eq#(等于), #ne#(不等于), #gt#(大于), #lt#(小于),
#ge#(大于等于)，#le#(小于等于).
二、 数学函数
@abs(), @cos(), @exp(), @floor(), @mod(x,y), @pow(x,y),
@sign(), @sin(), @smax(), @smin(), @sqr(), @sqrt(), @tan(),
@lgm(), @log().
三、 集合函数
1、集合循环函数
@for(), @max(), @min(), @prod, @sum()
2、集合操作函数
@in(), @index(), @wrap(), @size
四、变量定界函数
@bnd(l,x,u), @bin(), @free(), @gin()

1.2 数学规划模型的基本概念
1.2.1 数学规划模型的概念
数学规划理论是运筹学这门学科的重要内容，而运筹学的基本特点是：考虑系统的整体优化、多学科的配合以及模型方法的应用。细化为如下环节：
1、分析与表述问题。
2、建立数学模型。
3、求解数学模型。
4、对模型和由模型导出的解进行检查。
5、建立起对解的有效控制。
6、方案的实行。
定义：实际问题均为函数问题，对实际问题的优化就是求描述此问题的函数f(x)的极值，其中变量x来自实际问题，他们必然满足一些条件，这就是数学规划问题。数学规划的标准形式为：

x~决策变量 f(x)~目的函数 gi(x)£0~约束条件
所以，数学规划本质上是(多元)函数条件极值
1.2.2数学规划模型的特点
根据目的函数和约束条件的形式，数学规划可以分为
(1)线性规划模型: f(x),gi(x)均为1次多项式
(2)二次规划模型: f(x)为2次,gi(x)均为1次多项式
(3)整数规划模型: 决策变量x的取值全为整数
(4)0--1规划模型 : 决策变量x的取值全为0或1
(5)其他优化模型: 其他情形
1.3 本章小结
本章重要介绍了数学规划模型的概念、特点及作用等基础信息。并且介绍了将要用到的LINGO的特点，以及在实际生活中它们的用处。本文重要用到LINGO来操作解决一些实例问题

第2章 常用模型

2.1 模型1——目的规划模型
2.1.1目的规划的基本概念
目的规划是为了克服线性规划的局限性而引入的，与线性规划相比，目的规划采用了如下手段：
1、设立偏差变量；
2、统一解决目的与约束；
3、目的的优先级与权系数。

2.1.2目的规划的一般模型
设XJ(J=1..N)是目的规划的决策变量，共有M个约束是刚性的(也许是等式，也也许是不等式)；尚有L个柔性约束，偏差变量为D+,D-(I=1..L)；设有Q个优先级，分别为P1,P2,…,PQ，在同一优先级PK下，有不同的权重，分别记为：

这样目的规划的一般数学模型为：

2.1.3求解目的规划的序贯式算法
序贯式算法是求解目的规划的一种初期算法，其核心是根据优先级的先后顺序，将目的规划分解成一系列的单目的规划问题，然后再依次求解。
2.2 模型2——最短路和最大流模型

2.2.1 最短路模型

例：管道铺设问题
见下图，图中点表达城市，现有A,B1,B2, C1,C2,C3,D共7个城市。点与点之间的连线表达城市间有道路相连，连线上的数字表达道路的长度。现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

问题分析 此问题本质上是求从城市A到城市D的一条最短路。为了书写上的方便，我们将7个城市编号如下： A,B1,B2,C1,C2,C3,D=1,2,3,4,5,6,7。
定义邻接矩阵AM=(aij)n*n，其元素为

每两个城市之间的距离记为

则矩阵W=(wij)n*n称为赋权矩阵。
下面i,j之间的道路记为(i,j)，定义变量

则xij组成如下一个上三角矩阵

求最短路等价于求上述上三角阵中那些为1，那些为0
模型建立 决策变量即是xij，已知量即是赋权矩阵。易知目的函数为：

由决策变量矩阵，可得决策变量应满足的约束条件为：

这样最短路的数学模型就建立起来了，是 0-1 线性规划模型。

2.2.2最大流模型

最大流问题涉及图论中的网络及相关概念，下面给出相关知识。
一、网络与最大流的基本概念
定义1 图(Graph)：图是一些顶点(Vertex)和连接这些定点的边(Edge)的集合，记为G(V,E)。譬如，一个地区的交通图，顶点集V是各城市和乡镇，而边集E则是连接这些城市或乡镇的路(铁路、公路、乡村小路等) ；一栋办公楼里的机构示意图，顶点集V是各机构的办公室，而边集E则是连接各办公室的通道；一个城市的(天然气、自来水…)管道分布图；…
若顶点集V是有限集，则称图G(V,E)为有限图。
我们只讨论有限图。
若图G(V,E)中所有的边都是没有方向的，则称图G(V,E)为无向图。否则称为有向图。有向图中的边称为弧(Arc)，以u为起点v为终点的弧记为(u,v)。有向图另记为G(V,A)。
有向图的例子：自来水输送管道图，天然气输送管道图，石油输送管道图，…

定义2 网络(Network)：设G(V,A)为有向图，假如在V中有两个不同的顶点子集S和T，且在弧集A上定义了一个从弧集A到非负实数集R>=0上函数c,则称G(V,A)为一个网络，简记为N。 S中的顶点称为源(source)，T中的顶点称为汇(Sink)，既非源又非汇的顶点称为中间点。而c则称为网络N的容量函数(capacity function)；设a<A，则称c(a)为弧a上的容量，弧(u,v)上的容量为c(u,v)。
对于网络N中的弧(u,v) ，除了有容量外，尚有一个流量(flow) ，记为f(u,v) 。

显然，
0<=f(u,v)<=c(u,v)
称满足此不等式的网络N是相容的。
对于所有中间点v，流入的总量=流出的总量：
（1）：

网络N的流量值V(f)定义为从源s流出的总流量，即
（2）：

易知N的流量值V(f)也为流入汇t的总流量，即
（3）：

设V1和V2为V的子集，用(V1,V2)记起点在V1中、终点在V2中的弧的集合， f(V1,V2)记(V1,V2)中弧的流量的总和，即

特别地，令V1=v,V2=V，结合(1),(2),(3)三式，得到
（4）：

满足(4)式的网络N是守恒的。

定义3 假如流 f 同时满足相容性和守恒性，则称流 f 是可行的。若存在可行流 f*，使得对所有的可行流 f，均有V(f*)>= V(f ),则称 f* 为最大流(maximum flow).

最大流问题的数学模型

通过上述推导得到最大流的数学模型为 max V(f)

最大流问题的求解程序

最大流问题的Lingo求解程序为：

Model:
sets:
vertex/1..200/;
arcs(vertex,vertex)/1,2 1,3 2,3 2,4 3,5 4,3 4,6 5,4 5,6/:c,f;
endsets
data:
c=8 7 5 9 9 2 5 6 10;
enddata
[obj] max =flow;
@for(vertex(i)|i #ne# 1 #and# i#ne# @size(vertex):
@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(i,j):f(j,i))=0);
@sum(arcs(i,j)|i#eq#1:f(i,j))=flow;
@for(arcs:@bnd(0,f,c));
End
2.3 本章小结
本章重要介绍了数学规划模型中的目的规划模型、最短路和最大流模型，并且通过一个例题解释了最短路问题模型。了将了这些模型的基本的特点，以及在实际生活中它们的用处。本章重要用到模型和LINGO来操作解决一些实例问题

第3章 典型实例
3.1 实例1——生产安排问题
某公司生产甲乙两种产品，需要用到A、B、C三种设备，关于产品的赚钱与使用设备的工时及限制如下表：

甲
乙
设备能力(h)
A (h/件)
2
2
12
B (h/件)
4
0
16
C (h/件)
0
5
15
赚钱
200
300

问：在下述生产规定下该公司应如何安排生产使得在计划期内总利润最大？
生产规定：
（1）力求使利润指标不低于1500元；
（2)考虑到市场需求，甲乙产量尽量保持1:2；
（3）设备A为贵重物品，严格严禁超时使用；
(4）设备C可以适当加班，但要控制；
（5）设备B既要充足使用又要尽也许不加班；
（6）在重要性上B是C的3倍。
问题分析与建模 每一个生产规定都是目的，所以所求问题是目的规划问题。在生产规定中设备A是刚性约束，其余是柔性约束一方面，我们需拟定各目的的优先级及权系数：
P1 对公司而言，最重要的指标是利润，因此，将利润的优先级列为第一级；
P2 产品是利润的载体，所以将甲乙产量保持1:2列为第二级；
P3 设备是产品的来源，所以对设备B,C的工时规定列为第三集；在此级中，B,C的重要性不同，表白B,C的权系数不同样。
然后，给出决策变量及变差变量：
x1,x2分别为甲乙的产量；
d1,d2,d3,d4分别为利润、产品比例、B的工时、C的工时的偏差变量。则目的规划为：

模型求解程序

用序贯式算法求解目的规划的Lingo通用程序.

3.2 实例2——设备更新问题
张先生打算购买一辆新轿车，新轿车售价是12万元人民币。轿车购买后，每年的各种保险费、养护费等费用见表1。假如在5年之内，张先生将轿车售出，并再购买新车。5年之内的二手车销售价见表2。请帮助张先生设计一种购买轿车的方案，使5年内用车的总费用最少。
表1 轿车的维护费

车龄/年
0
1
2
3
4
费用/万元
2
4
5
9
12

表2 二手车的售价

车龄/年
1
2
3
4
5
售价/万元
7
6
2
1
0

问题分析 设备更新问题是动态规划的一类问题，此处借助于最短路方法解决设备更新问题。用6个点(1,2,3,4,5,6)表达各年的开始，各点之间的边的长度(权)表达从左端点开始年至右端点结束年所花的费用，这样构成购车的小费的网络图如后：

记 cij = 第i年开始到第j-1年结束因车的总费用
= 第i年开始到第j-1年结束轿车的维护费用 + 第i年开始时的购车费用 - 第j年开始时的
二手车销售收入。
我们一方面须将cij求出来，这可以在程序中自动实现
模型建立
(1) 赋权矩阵为C=(cij)5*5，为一上三角阵(有向最短路问题均为上三角阵)；
(2) 决策变量：

由前面分析我们可建立如下设备更新的最短路模型：

用Lingo求解，结果如下(程序)：

Global optimal solution found.
Objective value: 31.00000
Total solver iterations: 0
Model Title: 设备更新问题
Variable Value Reduced Cost
X( 1, 2) 1.000000 0.000000
X( 2, 4) 1.000000 0.000000
X( 4, 6) 1.000000 0.000000
上述结果翻译为实际意思，就是：第1年初买新车，第2年初卖掉，再购买新车，到第4年初卖掉，在购买新车使用到第5年末，总费用最小，为31万元。

3.3 本章小结
本章重要介绍了数学规划模型在实践中的实例生产模型和设备更新问题。并且介绍了这些问题的求解过程。通过这俩个实例可以让我们更好的理解与接受规划模型在平常生活中的简朴应用。

第4章 数学模型案例
规划模型赛题解析——林区汽车修理网的布局
在林业生产中，汽车是重要的运送工具。为了保证汽车在使用中有良好的技术状态和较长的使用寿命，需定期对汽车进行保养与维修，大修是重要的一个环节。但目前各林业局都设有大修厂，由于厂点多、规模小、技术落后等因素，导致了大修成本高、质量低等问题。现需对林区的大修厂作出合理布局，使林区整体经济效益最优。
表1 给出了某林区某年各大修厂的产量及成本。
表2 给出了某林区各大修厂的现有生产规模和车辆数。
图1是林区18个林业局的分布图：
各线段上的数字是两林业局的距离（单位：公里；线的长短和真实的距离不成比例，括号“( )”里的数字是林业局编号）。
当把一个林业局的汽车送到另一个林业局大修时，每辆车的运送费（双程）：
公路每公里6元，铁路每公里5元。
假设：
(1) 每辆汽车一年大修一次；
(2) 不考虑关闭、扩建大修厂的费用。
分别对以下几种情况求出该林区汽车大修方案，作出大修厂的布局规划。
情形1 分协作区大修；
情形2 不分协作区大修(整个林区)；
情形3 拟定对林业局(2)、(5)、(8)、(14)、(16)所属大修厂进行扩建，使生产规模分别增长80辆；
情形4 集中到情形3中拟定的两个厂点大修是否更好？给出是那两个厂点和生产规模。
你尚有更好的建议吗？
表1 各林业局汽修厂的产量及单位生产成本
林业局
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
产量（辆）
5
25
20
10
20
15
40
190
75
45
25
40
40
130
45
110
50
60
单位成本（元/辆）
5700
4850
4300
5500
6400
6500
5500
4500
5800
6000
6100
7200
5600
4700
5600
5000
5300
5100

表2 林业局所属林区、车辆拥有数及其汽修厂的生产规模
协作区
一区
二区
三区
四区
五区
林业局
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
生产规模（辆）
30
40
40
50
120
60
50
200
90
70
60
70
80
180
50
110
40
60
汽车数（辆）
25
35
30
45
80
55
40
180
70
60
50
60
60
150
40
100
35
55

4.1符号说明

变量
符号
第i个大修厂
i
第j个大修厂
j
从第i个大修厂运送到第j个大修厂的汽车数
Xij
构造二次函数的待定系数
a，b，c
第k区所用的总费用
P（k）
从第i个大修厂运送到第j个大修厂的路费
Si j
第i个林业局现有的汽车数
Ai
第i个林业局现有生产规模
Di

4.2 模型的建立和求解
模型假设 问题中已经给出了两条基本假设：
1、每辆汽车一年大修一次；
2、不考虑关闭、扩建大修厂的费用。
为了讨论问题的方便，我们再增长如下假设：
3、每辆汽车的大修时间是分散的，没有排队、等待修理的情况发生；
4、不考虑待修汽车在运送途中公路、铁路转运所发生的时间和费用；
5、修车总费用由运送费用和修理成本两部分组成；
……
模型建立、计算及结果
一方面，计算各林业局之间的运送费用：
1、公路运送费用的计算程序及结果.
2、铁路运送费用的计算程序及结果.
3、混合交通运送费用的计算程序及结果.
4、单位维修成本的计算程序及结果.
然后，所有问题都是0-1规划，比较容易建立，此处我们给出各问题的Lingo求解程序：
1、分协作区大修维修方案的计算程序及结果.
2、不分协作区大修维修方案的计算程序及结果.
3、第3问维修方案的计算程序及结果.
4、第4问维修方案的计算程序及结果.
5、综合结果.
4.3 结果分析
任选两个进行扩建比较总成本，做少的为优
4.4 模型改善与模型评价

本模型的局限性之处重要在于忽略了扩建修理厂的费用，因此所得方案在实际实行时所产生的效应也许与模型的预测有较大的出入。本模型的最大特色在于通过模拟现实中的市场机制，放宽管理者对公司的过多干预，收到了非常可观的经济效益。
我们认为,管理者的规划固然重要。但是有时过多的人为干预又会减弱市场的作用。同时市场有很大的弊端，需要管理者宏观上调节。本模型的思想就是先模拟市场自由竞争的过程，分析其竞争结果,在对结果进行分析,提出干预措施,从而提出既能充足运用市场功能又能克服市场弊端的合适方案。这种解决问题,制定方案的思想应当是具有普遍意义的，特别是在现在有中国特色的社会主义市场经济体系下。因此本文的思想不仅可以推广到其它类似的供需分派问题，甚至可以推广到所有以市场为背景的管理规划问题中。
4.5 本章小结
本章研究的是林区汽车修理网的布局模型，应用本文中上面所说的方法，运用LINGO软件进行求结果。

结 论
随着人类的社会实践，规划模型知识和思想在越来越多的领域显示了它的应用性和实用性。人们需要了解各种不拟定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。然而其大量数据的解决分析需要借助一些具有强大功能的软件，比如SPSS，MATLAB和LINGO等。运用这些软件就可以不久得到问题的结果。
本文共四部分。第一部分简要介绍了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中重要借助了这个软件。第二部分和第三部分具体介绍了规划模型的一些基本模型，每一个模型都列举的实际数学问题，并且每个问题都给出了具体的求解过程及软件操作的程序。第四部分是将所研究的规划模型应用到数学建模竞赛试题当中，建立数学模型并且应用LINGO建立模型，通过LINGO得到了具体的结果分析，并通过LINGO求解出最终的结果。
通过求解实际数学问题的过程，可以了解到，数学规划模型结合相应的软件，可认为求解实际问题提供相应的简便的过程。本模型对实际情况中汽车修理分派方案的制定有很大的指导作用.且本模型的解决思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用.

参考文献
[1] 贾俊平，记录学（第三版），北京，中国人名大学出版社，2023
[2] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2023.3
[3] 杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨： 哈尔滨工程大学出版社，2023.6
[4] 陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2023
[5] 唐焕文，秦学志，实用最优化方法（第三版），大连，大连理工大学出版社，2023
[6] 胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2023
[7]薛毅，耿美英，《运筹学与实验》，北京：电子工业出版社，2023.9
[8] 姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2023.8
[9] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2023
[10]杨瑞，线性规划的网络流量流向控制技术，电子商务，2023
[11]蓝洋，基于0-1规划的规则中文文献碎片自动拼接技术，计算机系统应用，2023
[12]倪志伟，面向数据中心虚拟机部署的智能优化策略，模式辨认与人工智能，2023
[13]刘心，经济优化分析方法的研究及扩展，东北财经大学，2023
[14]杨勇，智能化综合评价理论与方法研究，浙江工商大学，2023
[15]陈国华，模糊投资组合优化研究，湖南大学，2023
[16]管屏，求解0-1规划的生长竞争蚁群算法，2023
[17]王远干，多目的线性规划模型的模糊数学解法，软件学院学报，2023
[18]王晓，一种新的席位公平分派方法，北京师范大学学报，2023

附 录
%floyd1.m文献
%d是求得的任意两点间的最短距离（即运费最少的途径）
%(vx,vy)从0开始编号的任意两个节点
%r1表达从vi到vj点的最短路中通过的结点（大修厂）的编号
%r1从0开始编号
function [d,r1]=floyd1(vx,vy,a)
d=a;
vx=vx+1;
vy=vy+1;
global r; r=a;
n=size(a,1);
for i=1:n
for j=1:n
d(i,j)=a(i,j);
r(i,j)=j;
k=1;
end
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)
d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);
r(i,j)=k;
end
end 
end 
end 
r1=r+1; 
fun3(vx,vy); 
disp('以下两个矩阵分别为：任意两点间的最短路中通过的结点（大修厂）的编号（为空则是不通过其他结点） 和 任意两点间的最少运费')

%fun3.m文献
function fun3(vx,vy)
global r a t=r(vx,vy);
if vy==t
Return
else
fun3(vx,t);
disp(t-1);
fun3(t,vy);
end

一区
1 2 3
1 0 180 420
2 180 0 240
3 420 240 0
通过excel与matlab的接口求的图中所有任意两点间最少运费
1 2 3
1 0 180 420
2 180 0 240
3 420 240 0

LinGO求解结果：
Local optimal solution found.
Objective value: 510052.1
Objective bound: 510052.1
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 10
Variable Value
A -7.290600
B 5827.874
C 1928.726
X11 20.00000
X21 0.000000
X31 0.000000
X12 5.000000
X22 35.00000
X32 0.000000
X13 0.000000
X23 0.000000
X33 30.00000
Row Slack or Surplus
1 510052.1