广西玉林市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）9的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
2．（3分）下列各数中，是有理数的是（　　）
A．π B．1.2 C． D．
3．（3分）如图，圆柱底面圆半径为2，高为2，则圆柱的左视图是（　　）

A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．圆
4．（3分）南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（　　）
A．278×108 B．27.8×109 C．2.78×1010 D．2.78×108
5．（3分）若α＝29°45′，则α的余角等于（　　）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2
B．3a2﹣2a＝a
C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5
D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2
7．（3分）菱形不具备的性质是（　　）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
8．（3分）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
9．（3分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（　　）

A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
10．（3分）定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）已知抛物线C：y＝（x﹣1）2﹣1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于（　　）

A．±4 B．±2 C．﹣2或2 D．﹣4或4
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝　 　．
14．（3分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1的中位数是　 　．
15．（3分）我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是　 　．
16．（3分）如图，一次函数y1＝（k﹣5）x+b的图象在第一象限与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝　 　．

17．（3分）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是　 　．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是　 　．

三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）计算：|﹣1|﹣（﹣2）3﹣+（π﹣cos60°）0．
20．（6分）解方程：﹣＝1．
21．（6分）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝30°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形．

22．（8分）某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是　 　；
（2）当α＝180°时，求成绩是60分的人数；
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．

23．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△CDB的中位线；
（2）求EF的长．

24．（9分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四边形EHFG的周长．

26．（12分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；
（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2019年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．【解答】解：9的倒数是：．
故选：A．
2．【解答】解：四个选项中只有1.2是有理数．
故选：B．
3．【解答】解：∵圆柱底面圆半径为2，高为2，
∴底面直径为4，
∴圆柱的左视图是一个长为4，宽为2的长方形，
故选：C．
4．【解答】解：278亿用科学记数法表示应为2.78×1010，
故选：C．
5．【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
6．【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误；
C、（﹣a）3•（﹣a2）＝a5，故此选项错误；
D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确．
故选：D．
7．【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、是中心对称图形，故正确；
C、对角线互相垂直，故正确；
D、对角线不一定相等，故不正确；
故选：D．
8．【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
9．【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA
故选：C．
10．【解答】解：∵p⊕q＝，
∴y＝2⊕x＝，
故选：D．
11．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．

12．【解答】解：抛物线CC：y＝（x﹣1）2﹣1沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），D（m+1，﹣1），
∴Q点的横坐标为：，
代入y＝（x﹣1）2﹣1求得Q（，﹣1），
若∠DQD1＝60°，则△DQD1是等腰直角三角形，
∴QD＝DD＝|m|1，
由勾股定理得，（﹣1）2+（﹣1+1）2＝m2，
解得m＝±4，
故选：A．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．【解答】解：（﹣6）﹣（+4）＝（﹣6）+（﹣4）＝﹣10．
故答案为：﹣10
14．【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4．
中间的是1．则中位数是：0．
故答案是：0．
15．【解答】解：根据题意画树形图：

共有6种等情况数，其中“A口进D口出”有一种情况，
从“A口进D口出”的概率为；
故答案为：．
16．【解答】解：由已知得A、B的横坐标分别为1，4，
所以有
解得k＝4，
故答案为4．
17．【解答】解：m＝＝，
∵0＜＜1，
∴﹣2＜﹣＜0，
∴﹣1≤1﹣＜1，
即﹣1＜m＜1．
故答案为：﹣1＜m＜1
18．【解答】解：如图

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2019÷6＝336…3，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2＝672次
故答案为672
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．【解答】解：原式＝﹣1+8﹣+1
＝8．
20．【解答】解：﹣＝＝＝1，
∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2），
∴x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴原方程无解；
21．【解答】（1）解：如图，点D为所作；

（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
22．【解答】解：（1）低于80分的征文数量为20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是＝，
故答案为：．

（2）当α＝180°时，成绩是70分的人数为10人，
则成绩是60分的人数20﹣10﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人）；

（3）∵80分的人数为：20×30%＝6（人），且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5（分）．
23．【解答】（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，BD⊥AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝3，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴OE⊥BD，
∴BD∥EF，
∵BE＝CE，
∴CF＝DF，
∴EF是△CDB的中位线；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∵△ABC的面积＝AC×BD＝BC×AE，
∴BD＝＝＝，
∵EF是△CDB的中位线，
∴EF＝BD＝．

24．【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）设至少再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BH＝DG，
∴BE+BH＝DF+DG，
即EH＝GF，
∵EH∥GF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接BD，交EF于O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
Rt△BOE中，EB＝4，
∴∠OEB＝30°，
∴EO＝2，
∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF，
∵DF∥EB，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4，
∴FM＝2，EM＝6，
过F作FM⊥EH于M，交EH的延长线于M，
∵EG∥FH，
∴∠FHM＝∠GEH，
∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝＝2，
∴，
∴HM＝1，
∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝＝＝，
∴四边形EHFG的周长＝2EH+2FH＝2×5+2＝10+2．
26．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），
则二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，
∴a＝﹣1，
则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x+2
＝﹣（x+）2+，
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
函数图象如图1所示：

（3）存在这样的点P，
∵OA＝OC＝2，
∴∠ACO＝45°，
如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，

∵∠PCA＝75°，
∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，
则∠OEC＝30°，
∴OE＝＝＝2，
则E（2，0），
求得直线CE解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得或，
∴P（，）；
如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，

∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝30°，
则OF＝OCtan∠OCF＝2×＝，
∴F（，0），
求得直线PC解析式为y＝﹣x+2，
联立，
解得：或，
∴P（﹣1，﹣1），
综上，点P的坐标为（，）或（﹣1，﹣1）．

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