1、第十六章第十六章 多元函数极限与连续多元函数极限与连续16.1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 16.2 二元函数极限二元函数极限 16.3 二元函数连续性二元函数连续性 第1页第1页1.简明简介多元函数概念(一元函数只依赖一个自变量，多元函数依赖多个自变量)。2.多元微积分是一元微积分推广（思想方法完全一致；一样有：极限、函数、连续、导数、微分、积分几个部分；许多结论能够完全类似地给出；不过，也有部分内容，多元与一元是不同。应该注意！）引言第2页第2页3.二元函数是多元函数代表（尤其是在微分学中）。一元函数推广到二元函数，无论是本质上，还是形式上都不相同。差别较大。而二元函数推广到n元
2、函数（n3），形式上稍有差异，本质相同。因此，二元函数有，书写简便，内容直观，又能反应出多元函数特性。我们将重点研究二元函数。第3页第3页16.1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 一.平面点集:由平面解析几何知道，第4页第4页第5页第5页 矩形域 圆域：开圆，闭圆，圆环，圆某个部分.第6页第6页尤其极坐标表示圆域 角域：第7页第7页简朴域 第8页第8页2.邻域邻域第9页第9页注：圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.第10页第10页第11页第11页二.点集拓扑基本概念:1.内点、外点和界点 第12页第12页内点、外点集和边界.内点外点集边界第13页第13页2.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点
3、:第14页第14页3.(以包括不包括边界分为)开集和闭集:第15页第15页4.(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：第16页第16页以上常见平面点集均为区域 第17页第17页5.有界集与无界集:第18页第18页第19页第19页第20页第20页第21页第21页7.不等式：第22页第22页三.点列极限:第23页第23页第24页第24页第25页第25页第26页第26页在实数(数轴上点)连续性理论中,有几种描述连续性定理,这些定理能够推广成坐标平面上点连续性理论.其中有:闭区域套定理、柯西收敛准则、聚点定理（魏尔斯托拉斯定理）、有限覆盖定理。它们是极限理论基础。第27页第27页1.Cauchy收敛准则
4、:（与一元函数平行地有）第28页第28页第29页第29页2.闭集套定理:（与一元函数平行地有）第30页第30页第31页第31页第32页第32页3.聚点原理:Weierstrass聚点原理.（与一元函数平行地有）第33页第33页第34页第34页(自证)第35页第35页4.有限复盖定理:（与一元函数平行地有）第36页第36页五.二元函数:1.二元函数定义、记法、图象：第37页第37页第38页第38页二元函数 f 图象通常是一张曲面.f 定义域D便是这张曲面在xoy平面上投影.第39页第39页比如,图形如右图.比如,如左图球面.单值分支:第40页第40页2.定义域：第41页第41页问:多元函数定义域确实定办法?第42页第42页例6 求 定义域解所求定义域为第43页第43页3.二元函数求值 第44页第44页定义:若二元函数值域是有界数集,则称此函数为有界函数；若二元函数值域是无界数集，则称此函数为无界函数。第45页第45页第46页第46页第47页第47页
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