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新高考数学的导数及其应用多选题附答案

一、导数及其应用多选题
1．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上有解，则
【答案】ACD
【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A；利用函数的单调性和函数值的范围判断B；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C；利用不等式有解问题的应用判断D．
【详解】
函数，所以，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数．
当时，，故在上为单调递减函数．
所以在时取得极大值，故正确；
当时，，在上为单调递增函数，
因为，所以函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，
综上，有唯一零点，故错误．
由于当时，，在上为单调递减函数，
因为，所以，故正确；
由于在上有解，故有解，
所以，设，则，
令，解得，
当时， ，故在上为单调递减函数．
当时，，故在上为单调递增函数．
所以．
故，故正确．
故选：ACD．
【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

2．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．函数的值域为
C．函数在上单调递增，则的取值范围是
D．函数的最大值为，最小值为，若，则
【答案】ACD
【分析】
化简函数解析式为，利用二次函数的基本性质可判断A选项的正误；令，可得，利用导数法可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；计算出，利用函数的对称性可判断D选项的正误.
【详解】
A选项，，
又可得：，则当时函数取得最大值，A对；
B选项，

，
设，则，则，
，，，，
令，，，
在区间上单调递减，，
所以，函数的值域为，B错；
C选项，在区间上是增函数，
，即，
令，，即，
，令，则，在递减，
，C对；
D选项，
，
所以，，，
所以，函数的图象关于点对称，所以，，可得，D对.
故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

3．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，在上的平均变化率为
B．当时，函数的图像与直线有2个交点
C．当时，的图像关于点中心对称
D．若函数有两个不同的极值点，，则当时，
【答案】BCD
【分析】
运用平均变化率的定义可分析A，利用导数研究的单调性和极值，可分析B选项，证明可分析C选项，
先得出，为方程的两个实数根，结合韦达定理可分析D选项．
【详解】
对于A，当时，，

则在上的平均变化率为，故A错误；
对于B，当时，，，
可得下表：

1

＋
0
－
0
＋

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因为，，，结合的单调性可知，
方程有两个实数解，一个解为，另一个解在上，故B正确；
对于C，当时，，
则有，故C正确；
对于D，，，
令，可得方程，
因为，且函数有两个不同的极值点，，
所以，为方程的两个实数根，则有，
则

因为，所以，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D，利用根与系数的关系，转化为关于的函数，证明不等式.

4．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
【答案】ABC
【分析】
求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.
【详解】
由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ABC.
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得，进而将不等式恒成立问题转化为恒成立问题，再结合得，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.

5．设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．是的极大值点 D．是的最小值
【答案】ACD
【分析】
只有一个零点，转化为方程在上只有一个根，即只有一个正根．利用导数研究函数的性质，可得，判断A，然后用导数研究函数的性质，求出，令，利用新函数确定只有两个零点1和，并证明出的正负，得的单调性，极值最值．判断BCD．
【详解】
只有一个零点，即方程在上只有一个根，，取对数得，即只有一个正根．
设，则，当时，，递增，时，，时，，递减，此时，
．
∴要使方程只有一个正根．则或，解得或，又∵，∴．A正确；
，，
，，取对数得，
易知和是此方程的解．
设，，当时，，递增，时，，递减，是极大值，
又，
所以有且只有两个零点，
或时，，即，，，，同理时，，
所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，
又，所以是最小值．B错，CD正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定的零点时，利用零点定义解方程，，，取对数得，
易知和是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．

6．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

7．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．的值随的增大而减小
C． D．
【答案】C
【分析】
由得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、，且，设，其中；设，其中，利用函数的单调性结合不等式的基本性质得出，可判断B选项的正误.
【详解】
令，可得，构造函数，定义域为，.
当时， ，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；
当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；
任取、，且，
设，其中；设，其中.
由于函数在区间上单调递增，且，；
函数在区间上单调递减，且，.
由不等式的基本性质可得，则.
所以，的值随的增大而减小，B选项正确.
故选：C.
【点睛】
在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．

8．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，
当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

9．已知函数有两个零点，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】
求出的导数，讨论的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.
【详解】
解：∵函数，
∴，
①若，那么，
函数只有唯一的零点2，不合题意；
②若，那么恒成立，
当时，，此时函数为减函数；
当时，，此时函数为增函数；
此时当时，函数取极小值，
由，可得：函数在存在一个零点；
当时，，，
∴
，
令的两根为，，且，
则当，或时，，
故函数在存在一个零点；
即函数在上存在两个零点，满足题意；
③若，则，
当时，，
，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由

得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；
④若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故函数在上单调递增，
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若，则，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
当时，，，
即恒成立，故单调递减，
当时，，，
即恒成立，故单调递增，
故当时，函数取极大值，
由得：函数在上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，的取值范围为，
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.

10．已知实数a，b，c，d满足，其中e是自然对数的底数，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【分析】
由题中所给的等式，分别构造函数和，则的表示上一点与上一点的距离的平方，利用导数的几何意义可知当时，切点到直线的距离最小，再比较选项.
【详解】
由，令，
由，令
则的表示上一点与上一点的距离的平方，设上与平行的切线的切点为
由，切点为
所以切点为到的距离的平方为的距离为与的距离的平方的最小值.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.