线性方程组公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第三章第三章第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组一、基本概念和主要结果一、基本概念和主要结果普通线性方程组形式是：普通线性方程组形式是：其中其中 x1,x2,xn 是是 n 个未知量，个未知量，aij 称为方程组称为方程组系数，系数，系数，系数，bi 称为称为常数项，常数项，常数项，常数项，i=1,2,m，j=1,2,n.第1页第1页则上述方程组可简记为则上述方程组可简记为AX=b.令：令：1.解结构解结构(1)设设A秩秩r(A)=r，则，则AX=0只有零解当且仅当只有零解当且仅当r(A)=r=n.第2页第2页2.向量组线性无关鉴定：向量组线性无关鉴定：(3)AX=b有解当且仅当有解当且仅当r(A)=r(A,b).当当r=n时时AX=b有有唯一解，当唯一解，当rn时有无穷解。时有无穷解。(2)AX=0有非零解当且仅当有非零解当且仅当r(A)=rn.设设X1,X2,Xn-r是是AX=0一个基础解系，则一个基础解系，则AX=0通解通解为为k1X1+k2X2+kn-rXn-r，其中，其中k1,k2,kn-r为任为任意数。意数。AX=b通解为通解为X0+k1X1+k2X2+kn-rXn-r，其中，其中X0是是AX=b一个特解，一个特解，X1,X2,Xn-r是导出方程组是导出方程组AX=0一个基础解系一个基础解系,k1,k2,kn-r为任意数。为任意数。(1)向量组向量组 线性无关当且仅当若线性无关当且仅当若 ，则必有，则必有ki=0,i=1,2,n.第3页第3页(2)设设 为为n维列向量，维列向量，A是以是以 为列作成矩阵，则线性方程组为列作成矩阵，则线性方程组AX=0只有零解当且只有零解当且仅当仅当 线性无关。线性无关。线性无关向量组延长向量组线性无关。线性无关向量组延长向量组线性无关。(3)设向量组设向量组 =(ai1,ai2,air)，i=1,2,n，则，则向量组向量组 =(ai1,ai2,air,air+1,aim)，i=1,2,n，称为向量组，称为向量组 延长向量组。延长向量组。而而 称为向量组称为向量组 缩短向量组。缩短向量组。(4)线性无关向量组部分向量组线性无关。线性无关向量组部分向量组线性无关。(5)若若 线性无关，且线性无关，且 可可由由 线性表出，则线性表出，则 线性线性无关。无关。第4页第4页(8)一个行列式不等于零当且仅当它列（行）构成一个行列式不等于零当且仅当它列（行）构成向量组线性无关。向量组线性无关。(7)一个矩阵（线性变换）属于不同特性根特性向量线性无关。(6)互相正交向量组线性无关。互相正交向量组线性无关。3.向量组线性相关鉴定：向量组线性相关鉴定：(1)向量组向量组 线性相关当且仅当存在线性相关当且仅当存在不全为零数不全为零数k1,k2,kn，使，使 .(2)向量组向量组 线性相关当且仅当该向线性相关当且仅当该向量组中有一个向量是其余向量线性组合。量组中有一个向量是其余向量线性组合。第5页第5页(3)设设 为为n维列向量，维列向量，A是以是以 为列作成矩阵，则为列作成矩阵，则 线性相关当且线性相关当且仅当矩阵仅当矩阵A秩秩r(A)n，则，则m个由个由n维向量构成向量组必定线性维向量构成向量组必定线性相关。相关。(5)若若向量组若若向量组 可由可由 线性表出，且线性表出，且rs，则，则 线性相关。线性相关。(6)线性无关向量组线性无关向量组 满足对任意满足对任意i1,2,m都有都有 线性相关，则线性相关，则向量组向量组 也线性相关。也线性相关。(7)线性相关向量组缩短向量组线性相关。线性相关向量组缩短向量组线性相关。(8)，A是是n阶满秩矩阶满秩矩阵，则阵，则 (i=1,2,n)与与 线性相关。线性相关。第6页第6页二、基本办法二、基本办法3.我们称阶梯形矩阵中每行第一个不为零元素为主我们称阶梯形矩阵中每行第一个不为零元素为主元，我们称满足下列两个条件阶梯形矩阵为行最简元，我们称满足下列两个条件阶梯形矩阵为行最简形：形：(1)主元都等于主元都等于1。1.，i=1,2,s,令令 ,假如只有零解，则假如只有零解，则 线性无关。假如有非线性无关。假如有非零解，则零解，则 线性相关，这是证实线性相关，这是证实 线性无关（或线性相关）一个基本办法。线性无关（或线性相关）一个基本办法。2.将线性方程组用矩阵表成将线性方程组用矩阵表成AX=b，或用向量表成，或用向量表成 ，将线性方程组有解与向量线性表示互相转化，会，将线性方程组有解与向量线性表示互相转化，会给解题带来一些以便。给解题带来一些以便。第7页第7页(2)主元所在列除主元以外全为零。主元所在列除主元以外全为零。4.矩阵行初等变换不改变列向量之间线性关系。矩阵行初等变换不改变列向量之间线性关系。将齐次线性方程组将齐次线性方程组AX=0系数矩阵系数矩阵A用行初等变用行初等变换化成行最简形，将主元所在未知量保留在左边，换化成行最简形，将主元所在未知量保留在左边，其它未知量移到右边，容易求出基础解系。其它未知量移到右边，容易求出基础解系。将非齐次线性方程组将非齐次线性方程组AX=b增广矩阵用行初等增广矩阵用行初等变换化成行最简形，也容易求它通解。变换化成行最简形，也容易求它通解。令令A=(aij)Pns,假如假如 ,j=1,2,s.设设Q是是n阶可逆矩阶可逆矩阵，用阵，用Q左乘上式两边左乘上式两边,有有:第8页第8页 假如假如 ,求向量组求向量组 一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示，一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示，可将可将 作列构成矩阵作列构成矩阵A，然后用行，然后用行初等变换将初等变换将A化成行最简形，则主元所在列为化成行最简形，则主元所在列为 一个极大无关组，其余列也容易用主元所在列线性一个极大无关组，其余列也容易用主元所在列线性表示。表示。三、例题三、例题考点考点1 1：向量空间及线性相关性：向量空间及线性相关性考点点拨：主要对如何证实向量空间向量组之间考点点拨：主要对如何证实向量空间向量组之间线性相关性或无关性考察。线性相关性或无关性考察。例3.1.1(清华大学,)设 是一组线性无关向量.那么 是否线性无关？证实之。分析：对向量线性相关或无关考察，只需依据定分析：对向量线性相关或无关考察，只需依据定义证实即可。义证实即可。第9页第9页令其系数矩阵为令其系数矩阵为A，显然有，显然有|A|=1+(-1)s+1 证实：若证实：若将它展开并利用将它展开并利用 线性无关性，可得关线性无关性，可得关于于k1,k2,ks线性方程组为：线性方程组为：当当s为偶数时，为偶数时，|A|=0，则方程组有非零解，这时，则方程组有非零解，这时 线性相关。线性相关。当当s为奇数时，为奇数时，|A|0，则方程组仅有零解，这时，则方程组仅有零解，这时 线性无关。线性无关。(中科院，2)第10页第10页注：做这类题目一般环节是：(1)作需要证实向量组线性组合并令其为零；作需要证实向量组线性组合并令其为零；(2)依据已知线性无关条件得到关于线性组合系数方依据已知线性无关条件得到关于线性组合系数方程组；程组；(3)依据方程组系数矩阵秩与线性组合系数个数关系依据方程组系数矩阵秩与线性组合系数个数关系判断方程组是否只有零解，若秩与个数相等，那么判断方程组是否只有零解，若秩与个数相等，那么方程组只有零解，显然有需要证实向量组为线性无方程组只有零解，显然有需要证实向量组为线性无关，不然为线性相关。关，不然为线性相关。第11页第11页例3.1.2(浙江大学，)令 是Rn中s个线性无关向量。证实：存在含n个未知量齐次线性方程组，使得 是它一个基础解系。令令 现在证实现在证实Ax=0，即为满足条件齐次线性方程组。，即为满足条件齐次线性方程组。证实：记证实：记在欧氏空间在欧氏空间Rn中，取中，取 一组基为：一组基为：首先，由首先，由UU知，知，都是方程组都是方程组Ax=0解，又由于解，又由于 线性无关，于是有线性无关，于是有r(A)=n-s，那么，那么Ax=0解空间维数必为解空间维数必为n-r(A)=n-(n-s)=s.于是有于是有 方程组方程组Ax=0一个基础解系。一个基础解系。第12页第12页不可逆不可逆.例3.1.3(哈工大，)设 是一组线性无关向量，i=1,2,r.证实：相关充要条件是矩阵 证实：注意到下列过程逆否命题，并令：证实：注意到下列过程逆否命题，并令：第13页第13页 那么有那么有 于是有于是有不可逆不可逆 相关充要条件是矩阵相关充要条件是矩阵第14页第14页 证实证实:(1)充足性充足性证实：向量组证实：向量组 线性无关充要条件线性无关充要条件是向量组是向量组 线性无关。线性无关。例3.1.4(哈工大，)设向量：记记线性组合线性组合把把表示式代入，那么由于表示式代入，那么由于线性无关，有线性无关，有第15页第15页注意到其系数矩阵行列式注意到其系数矩阵行列式于是方程组于是方程组(1)仅有零解，即向量组仅有零解，即向量组线性无关线性无关.第16页第16页(2)必要性必要性注意到系数矩阵注意到系数矩阵A可逆，由可逆，由那么有那么有那么与充足性同样过程，当向量组那么与充足性同样过程，当向量组线性无关，且线性无关，且|A-1|0知向量组知向量组线性无关线性无关.注注:向量组线性相关、无关定义分别为向量组线性相关、无关定义分别为:(1)Kn中向量组中向量组 是线性相关是线性相关,那么那么存在存在K中不全为零数中不全为零数k1,k2,ks,使得使得:第17页第17页例3.1.5(武汉大学，)设是是nr矩阵矩阵,是是ns矩阵矩阵.r(A)=r,r(B)=s.证实证实:若若r+sn,则必存在非零向量则必存在非零向量 ，使得，使得 既可由既可由 线性表示，又线性表示，又可由可由 线性表示。线性表示。(2)Kn中向量组中向量组 假如不是线性相关假如不是线性相关,则称为线性无关则称为线性无关.即假如从即假如从能够推出所有系数能够推出所有系数k1,k2,ks全为零全为零,则称向量组则称向量组 是线性无关是线性无关.分析分析:能够利用正交补性质简化证实。能够利用正交补性质简化证实。第18页第18页证实：不妨记证实：不妨记n维向量空间全体为维向量空间全体为Rn，令。，令。显然有显然有dim(U+V)=dim(Rn)=n.又有又有dim(U)=n-r,dim(V)=n-s.那么由那么由0dim(UV)=dim(U)+dim(V)-dim(U+V)=n-r-s显然要证实题目结论，只要证实显然要证实题目结论，只要证实UV 即可，即可，用反证法用反证法.若若UV=，等式两边取正交补，并利用正交补，等式两边取正交补，并利用正交补性质，那么有：性质，那么有：第19页第19页即即r+sn.这与题目条件相矛盾，于是有这与题目条件相矛盾，于是有UV 也即必存在非零向量也即必存在非零向量 ，使得，使得 既可由既可由 线性表示，又可由线性表示，又可由 线线性表示。性表示。是线性无关？是线性无关？线性无关，问：当参数线性无关，问：当参数t1,t2满足什么条件时，向量组满足什么条件时，向量组例3.1.6(东南大学，)已知向量组 解：若要向量组解：若要向量组线性无关，那么只要下列系数矩阵线性无关，那么只要下列系数矩阵第20页第20页秩秩r(A)=s-1即可即可.若若t1=t2=0，显然有，显然有A为零阵，毫无疑问为零阵，毫无疑问是线性相关。是线性相关。注意到矩阵注意到矩阵A前面前面s-1行和后面行和后面s-1行子式值行子式值分别为分别为第21页第21页那么假如那么假如t10或或t20，都使得矩阵，都使得矩阵A会有一个会有一个s-1阶阶子式不为零，这时有子式不为零，这时有s-1r(A)s-1，即，即r(A)=s-1，于是于是 是线性无关。是线性无关。从而有：从而有：若若t10或或t20，线性无关线性无关.类似题目如类似题目如:例3.1.7(中科院，)设 是齐次线性方程组AX=0基础解系,s,tR,试问:s,t满足什么关系时,使得 是方程组AX=0基础解系,反之,当 是方程组AX=0基础解系时,这个关系式必须成立.第22页第22页 解解:作作 线性组合线性组合 将将 表示式代入表示式代入,并展开合并同类项并展开合并同类项,利用利用 线性无关性可得关于系数线性无关性可得关于系数l1,l2,lk齐次线性方程组为齐次线性方程组为:(I)注意到方程组注意到方程组(I)系数矩阵行列式为系数矩阵行列式为sk+(-1)k+1tk.若要若要 是方程组是方程组AX=0基础解系基础解系,只只要阐明要阐明 线性无关即可线性无关即可,或者只要阐或者只要阐明方程组明方程组(I)只有零解即可只有零解即可.第23页第23页(1)若若 ，则，则 或者或者至少存在至少存在s+1个系数个系数 均不为零。均不为零。(2)若若sm，则，则 中任一向量均可由其余中任一向量均可由其余向量线性表出向量线性表出.例3.1.8(南京理工大学，)设P是一个数域,向量 Pn，秩 =s且 中任意s个向量均线性无关，试证：若若sk+(-1)k+1tk0,则方程组则方程组(I)只有零解只有零解,那么那么 是方程组是方程组AX=0基础解系基础解系.若若 是方程组是方程组AX=0基础解系基础解系,那么方那么方程组程组(I)只有零解只有零解,这意味着方程组这意味着方程组(I)系数矩阵秩系数矩阵秩为为k,于是其行列式于是其行列式sk+(-1)k+1tk0成立成立.第24页第24页 证实：若证实：若 ,显然使得显然使得 成立。下面证成立。下面证 不全为零时，若不全为零时，若 成立，至少存在成立，至少存在s+1个系数个系数 均不为零，利用反证法均不为零，利用反证法.由由 不全为零，那么不妨设不全为零，那么不妨设 ,又假设不存在又假设不存在s+1个均不为零系数，那么把个均不为零系数，那么把 中不为零系数找出来（至多有中不为零系数找出来（至多有s个）有个）有 显然显然 是这些系数中某一个。是这些系数中某一个。第25页第25页又由题目条件又由题目条件 中任一中任一s个向量均线个向量均线性无关，知这个方程系数都为零，于是有性无关，知这个方程系数都为零，于是有 这就这就造成矛盾。造成矛盾。(2)利用反证法利用反证法 若若 存在某个向量不能由其它存在某个向量不能由其它m-1个向量线性表出，由个向量线性表出，由sm知知sm-1，由题目条件，由题目条件 中任意中任意s个向量均线性无关，知其个向量均线性无关，知其它它m-1个向量组秩必定不小于个向量组秩必定不小于s，那么向量组，那么向量组 秩必定不小于秩必定不小于s+1，这与题目条件，这与题目条件 相矛盾。相矛盾。第26页第26页考点考点2 2：线性方程组解判别与矩阵秩，线性方程组：线性方程组解判别与矩阵秩，线性方程组解结构解结构考点点拨：主要是对利用线性方程组系数矩阵及考点点拨：主要是对利用线性方程组系数矩阵及其增广矩阵之间关系判断方程组是否有解，解是其增广矩阵之间关系判断方程组是否有解，解是否唯一或无穷多解，以及如何求得方程组通解表否唯一或无穷多解，以及如何求得方程组通解表示式考察。示式考察。例3.2.1(华中科技大学，)证实：平面上三条不同直线ax+by+c=0，bx+cy+a=0，cx+ay+b=0相交充分必要条件是a+b+c=0.证实证实:(1):(1)必要性必要性:ax+by=-c,bx+cy=-a,cx+ay=-b若三条直线相交，意味着方程组有解，于是有：若三条直线相交，意味着方程组有解，于是有：第27页第27页显然矩阵显然矩阵行列式行列式|A|=0,|=0,于是经简朴计算有：于是经简朴计算有：(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2)(a+b+c)=0若若(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2=0，将推出，将推出a=b=c，这与题，这与题目条件三条直线互不相同相矛盾，因此有目条件三条直线互不相同相矛盾，因此有a+b+c=0(2)(2)充足性：充足性：若若a+b+c=0，那么观测可得，用初等行变换把矩，那么观测可得，用初等行变换把矩阵阵A后面两行加到第一行使得第一行为零，即后面两行加到第一行使得第一行为零，即r(A)2时时，|A|=0.第39页第39页 (2)若若n=2，那么有，那么有|A|0，于是有方程组，于是有方程组AX=0仅有仅有零解，则零解，则AX=0解空间维数为零。解空间维数为零。若若n2，注意到矩阵，注意到矩阵A左上角二阶顺序主子式为左上角二阶顺序主子式为(a1-a2)(b1-b2)0，于是有，于是有r(A)2，又由，又由第40页第40页 于是有于是有r(A)=2.那么那么AX=0解空间维数为解空间维数为 n-r(A)=n-2 注意到注意到A=BC，那么方程组，那么方程组CX=0解必定是方程解必定是方程组组AX=0解。解。对于矩阵对于矩阵C可通过初等行变换将其变为可通过初等行变换将其变为 显然显然CX=0解空间属于解空间属于AX=0解空间，并且它们维解空间，并且它们维数相等，都为数相等，都为n-2.那么那么CX=0基础解系即为基础解系即为AX=0基础基础解系，于是解系，于是AX=0解空间一个基为（共解空间一个基为（共n-2个）个）第41页第41页例3.2.7(重庆大学，)设A为n阶方阵，A*为A伴随矩阵且A110，b0，其中A11为Aa11相应代数余子式。证实：AX=0有无穷多个解充要条件为b是A*X=0解。证实证实:(1)必要性必要性 AX=0有无穷多解，则有有无穷多解，则有r(A)n，由于，由于A有一个有一个n-1阶子式阶子式A11不为零，于是有不为零，于是有r(A)n-1，可得，可得r(A)=n-1第42页第42页 于是有于是有A*列向量构成列向量构成AX=0解解,那么那么r(A*)1 注意到注意到A*第一列不为零，可得第一列不为零，可得r(A*)1,于是于是有有r(A*)=1n,即存在即存在b0,使得使得b是是A*X=0解。解。(2)充足性充足性 若存在若存在b0，使得，使得b是是A*X=0解，这意味着解，这意味着r(A*)n，也即，也即|A*|=0，这时若，这时若|A|0，则有，则有AA*=|A|I.即即|AA*|=|A|n0.注意到注意到|A|=0,那么那么AA*=|A|I=0 于是于是AX=0解空间维数为解空间维数为n-r(A)=n-(n-1)=1 而对而对AA*取行列式有取行列式有|AA*|=|A|A*|=|A|0=0,则造则造成矛盾。成矛盾。于是有于是有|A|=0，也即，也即r(A)n，可得，可得AX=0有无穷有无穷多解。多解。第43页第43页其中其中a1,a2,an为互不相等数。为互不相等数。例3.2.8(南京大学，)解线性方程组：那么由那么由Vieta定理知：定理知：仅有仅有n个解。个解。解：注意到解：注意到a1,a2,an是是n个互不相等数，于个互不相等数，于是是a1,a2,an是次方程是次方程第44页第44页例3.2.9(北京交通大学，)设齐次线性方程组：设设Mi是是A中划去第中划去第i列剩余列剩余n-1阶矩阵行列式。阶矩阵行列式。(1)证实证实:(M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程组一个解。是方程组一个解。(2)若若A秩为秩为n-1，则方程组解全是，则方程组解全是(M1,-M2,(-1)n-1Mn)倍数。倍数。系数矩阵为系数矩阵为第45页第45页 解解:(1)把把(M1,-M2,(-1)n-1Mn)代入方程组每个代入方程组每个方程验证即可，对于第个方程有方程验证即可，对于第个方程有 ai1M1+ai2(-M2)+ain(-1)n-1Mn)注意到这个行列式中必定有两行相同，于是有注意到这个行列式中必定有两行相同，于是有其中其中i=1,2,n-1.也即也即(M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程组一个解。是方程组一个解。第46页第46页 (2)若若r(A)=n-1，这时，这时Ax=0解空间维数为解空间维数为n-r(A)=1 由于由于(M1,-M2,(-1)n-1Mn)是方程组一个解是方程组一个解,那么那么显然方程组显然方程组Ax=0解全是解全是(M1,-M2,(-1)n-1Mn)倍数。倍数。其中其中A1,A4分别为分别为k阶和阶和n-k阶方阵阶方阵(1kn).已知已知A4为可逆矩阵。又为可逆矩阵。又B=(b1,b2,bn)T为一个列矩阵。作为一个列矩阵。作线性方程组线性方程组AX=B,其中其中X=(x1,x2,xn)T,x1,x2,xn为未知数，证实：为未知数，证实：(1)若若A1-A2A4-1A3可逆，则线性方程组有唯一解。可逆，则线性方程组有唯一解。例3.2.10(南开大学，)设A为n阶方阵，将A做分块第47页第47页 若若r(A1-A2A4-1A3,B3)=r(A1-A2A4-1A3)r(A1-A2A4-1A3)，则线性方，则线性方程组无解。程组无解。(2)设设B1=(b1,b2,bk)T，B2=(bk+1,bn)T，B3=B1-A2A4-1B2.证实：对系数矩阵证实：对系数矩阵A增广矩阵中列向量增广矩阵中列向量B也作相应也作相应矩阵矩阵A分块分块对于增广矩阵对于增广矩阵第48页第48页 作分块矩阵第三类初等行变换，将分块矩阵第二作分块矩阵第三类初等行变换，将分块矩阵第二行左乘行左乘-A2A4-1加到第一行加到第一行 注意到第三类初等行变换不改变矩阵行列式值，注意到第三类初等行变换不改变矩阵行列式值，于是由于是由A1-A2A4-1A3可逆，知可逆，知|A1-A2A4-1A3|0,可得可得|A|=|A1-A2A4-1A3|A4|0，即线性方程组，即线性方程组AX=B有唯一有唯一解。解。(2)注意到增广矩阵形式为注意到增广矩阵形式为且注意到且注意到A4可逆，若可解出前面可逆，若可解出前面k个未知数个未知数x1,x2,xk，将其代入后面，将其代入后面n-k个线性方程可解出个线性方程可解出第49页第49页 于是，若于是，若r(A1-A2A4-1A3,B3)=r(A1-A2A4-1A3)r(A1-A2A4-1A3)，即前面，即前面k个方程无解，显然个方程无解，显然AX=B无解。无解。第50页第50页