线性方程组的数值解法LU分解法市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

3.5 LU分解法n我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相称于用相应初等矩阵去左乘本来矩阵。因此我们从这个观点来考察Gauss消元法并用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组另一个直接法：矩阵三角分解。第1页第1页高斯消元过程矩阵表示第2页第2页高斯消元过程矩阵表示第3页第3页高斯消元过程矩阵表示第4页第4页高斯消元过程矩阵表示第5页第5页LU分解法第6页第6页矩阵分解理论 第7页第7页矩阵分解理论 第8页第8页矩阵分解理论 第9页第9页3.2.2 Doolittle分解第10页第10页第11页第11页nA各阶顺序主子式均不为零，即第12页第12页Doolittle分解第13页第13页Doolittle分解第14页第14页Doolittle分解第15页第15页Doolittle分解第16页第16页Doolittle分解第17页第17页Doolittle分解第18页第18页例题第19页第19页例题第20页第20页例题第21页第21页例题第22页第22页例题第23页第23页Doolittle分解第24页第24页3.6 平方根法(Cholesky分解法)n在应用数学中，线性方程组大多数系数矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称正定矩阵三角分解式求解对称正定方程组一个有效办法，且分解过程无需选主元，有良好数值稳定性。第25页第25页对称矩阵Cholesky分解n A对称：AT=A A正定：A各阶顺序主子式均不小于零。即 第26页第26页对称矩阵Cholesky分解n由Doolittle分解，A有唯一分解 第27页第27页对称矩阵Cholesky分解n定理 设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,dn)且di0(i=1,n)第28页第28页对称矩阵Cholesky分解n证实：第29页第29页对称矩阵Cholesky分解第30页第30页对称矩阵Cholesky分解第31页第31页对称矩阵Cholesky分解推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解 其中L为含有主对角元素为正数下三角矩阵。第32页第32页对称矩阵Cholesky分解n证实：第33页第33页Cholesky分解求法第34页第34页Cholesky分解求法第35页第35页Cholesky分解求法第36页第36页Cholesky分解法Cholesky分解法缺点及长处 长处：能够减少存储单元。缺点：存在开方运算，也许会出现根号下负数。第37页第37页改进Cholesky分解法n改进cholesky分解A=LDLT第38页第38页改进cholesky分解第39页第39页改进cholesky分解第40页第40页第41页第41页改进cholesky分解算法第42页第42页改进cholesky分解算法第43页第43页例题第44页第44页例题第45页第45页例题第46页第46页例题第47页第47页nA=LDLT分解，既适合于解对称正定方程组，也适合求解A为对称，而各阶顺序主子式不为零方程组n而对A=LLT只适合于对称正定方程组第48页第48页3.7 三对角方程组求解追赶法第49页第49页三对角方程组求解追赶法第50页第50页三对角方程组求解追赶法第51页第51页三对角方程组求解追赶法第52页第52页三对角方程组求解追赶法n其计算工作量为5n-4次乘除法。工作量小，其实现条件为qi不为零。有下列定理可得证三对角矩阵求解充足性条件。第53页第53页解三对角矩阵线性方程组追赶法程序框图第54页第54页补充1:矩阵求逆-分块乘法 第55页第55页补充2:初等变换法求矩阵逆第56页第56页补充3:矩阵原地求逆法第57页第57页n为使求逆过程不断提升求解精度，因此增长选主元工作，最惯用是选列主元求逆。因此增长一个数组Z(n)，统计选主元互换号，最后在消元工作完毕后，依据Z(n)对A中元素进行相应列互换，得到A-1GaussJordan原地求逆法第58页第58页算法（原地求逆法）第59页第59页第60页第60页例题第61页第61页例题第62页第62页例题第63页第63页例题第64页第64页例题第65页第65页例题第66页第66页