有限元课件第4讲等参元和高斯积分市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第4讲 等参单元和数值积分第1页第1页l实际问题经常需要使用一些几何形状不太规整单元来迫近原问题。直接研究这些不规整单元表示式比较困难（在总体坐标系下结构位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实上，形状不规整单元和形状规整单元（矩形单元、正六面体单元）能够建立一个映射关系，使得物理坐标系中整体坐标和自然坐标系中局部坐标一一相应。l等参单元等参单元提出为有限元法成为当代工程实际领域最有效数值分析办法迈出了极为主要一步。第2页第2页4.1 等参单元l简朴杆系问题分析新路径简朴杆系问题分析新路径l等参单元定义给出等参单元定义给出l平面问题四边形等参单元计算公式平面问题四边形等参单元计算公式l三维问题六面体等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式l采用等参单元长处采用等参单元长处第3页第3页简朴杆系问题分析之新路径途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容）路径2：建立局部自然坐标系进行单元分析第4页第4页直角坐标系直角坐标系(x,y,z)极坐标极坐标(r,)，2维维球坐标系球坐标系(r,)柱坐标系柱坐标系(,z)自然坐标系自然坐标系关于坐标系关于坐标系第5页第5页自然坐标系自然坐标系:选轨迹上任一点选轨迹上任一点O为原点为原点用用轨迹长度轨迹长度S 描写质点位置描写质点位置OmS质点质点沿切线迈进方向沿切线迈进方向单位矢量为单位矢量为 切向单位矢量切向单位矢量(tangential unit vector)质点质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧与切向正交且指向轨迹曲线凹侧 单位矢量为单位矢量为法向单位矢量法向单位矢量(normal unit vector)第6页第6页l当点运动轨迹已知时，通常采用自然法拟定点运动规律、速度、加速度。l在自然坐标系中表示质点速度，是非常简朴，由于无论质点处于什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。第7页第7页新路径：建立局部自然坐标系进行单元分析坐标插值函数：局部自然坐标和整体直角坐标能够建立一个映射关系节点条件：xixj第8页第8页单元内坐标由节点坐标插值表示局部坐标到物理坐标变换第9页第9页单元位移函数：节点条件：第10页第10页观测：单元几何坐标与位移用同样节点和相同形状函数通过插值方式表示。形状函数是用自然坐标给出，表示式很简朴第11页第11页第12页第12页单元应变能：单元刚度矩阵单元刚度矩阵第13页第13页单元外力功等效节点力对于本例自然坐标系下分析结果与整体直角坐标系下分析结果完全相同。忽略单元间作用力第14页第14页等参单元定义给出l等参单元：用同样节点和相同形状函数通过插值方式表示出单元几何坐标与位移单元，称为等参单元。l假如坐标变换节点数多于位移插值节点数，称为超参变换。反之，假如坐标变换节点数少于位移插值节点数，则称为亚参变换。l等参单元插值函数用自然坐标给出。第15页第15页平面问题四边形等参单元推导整体直角坐标整体直角坐标单元局部自然坐标（普通四边形）（规格化矩形）映射坐标映射第16页第16页映射节点条件：结构插值函数第17页第17页第18页第18页第19页第19页节点条件：位移函数第20页第20页同理可得：第21页第21页第22页第22页单元几何坐标与位移用同样节点和相同形状函数通过插值方式表示。形状函数用自然坐标给出。第23页第23页?第24页第24页偏导数变换雅可比矩阵：第25页第25页第26页第26页四边形等参单元形状要求不能有重节点不能出现内角不小于180o情况内角最好介于30o-150o之间（有限变形情况）避免出现第27页第27页三维问题六面体等参单元计算公式第28页第28页第29页第29页第30页第30页采用等参单元长处l借助于等参元能够对于普通任意几何形状工程问题以便地进行有限元离散。l等参元插值函数是用自然坐标给出，等参元一切计算都是在自然坐标系中规格化母单元内进行，相关运算大大简化。l无论各个积分形式矩阵被积函数如何复杂，都能够采用原则化数值积分办法计算，从而使工程问题有限元分析纳入了统一通用化程序。第31页第31页4.2 数值积分l数值积分及其基本思想lNewton-cotes积分公式lGauss-Legendre积分公式l等参元中积分阶次选择第32页第32页关于数值积分l计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵元素时，往往涉及到复杂函数定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分办法。l数值积分办法是一个近似办法。一个函数定积分能够通过n个结点函数值加权组合来表示第33页第33页数值积分基本思想第34页第34页求积公式插值法至少含有n-1次代数精度第35页第35页Newton-cotes求积公式l假如n个结点 等距分布，则前面插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。lNewton-cotes求积公式含有n-1次代数精度l几种惯用求积公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2第36页第36页Gauss-Legendre求积公式ln个插值结点非等距分布l结点和积分权系数能够查表第37页第37页l高斯积分办法预先定义了积分点和相应加权系数，求出被积分函数在指定积分点上数值，加权后求和，就得到了该函数积分。l高斯积分办法含有最高计算精度。采用n个积分点高斯积分能够达到2n-1阶精度，也就是说，假如被积分函数是2n-1次多项式，用n个积分点高斯积分能够得到准确积分结果。第38页第38页等参元高斯求积公式普通形式第39页第39页等参元中积分阶次选择l积分阶次选择直接影响计算精度和计算工作量。l积分阶次选择必须确保积分精度。（完全准确积分）l诸多情况下，实际选取高斯积分点数低于准确积分要求，往往能够取得较完全准确积分更加好精度。（减缩积分）第40页第40页线性单元完全准确积分 二次单元减缩积分第41页第41页