1、 第一次危机第一次危机发生在公元前发生在公元前580580568568年之间古希腊，数学家毕年之间古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这场危机通过达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到处理。在几何学中引进不可通约量概念而得到处理。第一次危机产生最大意义造成了无理数地产第一次危机产生最大意义造成了无理数地产生，比如说我们现在说生，比如说我们现在说 ，都无法用都无法用 来表示，来表示，那么我们必须引入新数来刻画这个问题，这样无那么我们必须引入新数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数
2、开方时，人们引入了虚数开方时，人们引入了虚数i i（虚数产生造成复变（虚数产生造成复变函数等学科产生，并在当代工程技术上得到广泛函数等学科产生，并在当代工程技术上得到广泛应用），这使我们不得不佩服人类智慧。应用），这使我们不得不佩服人类智慧。数学发展经历三次危机数学发展经历三次危机:第1页第1页第二次数学危机第二次数学危机 发生在十七世纪。由于推敲微积分理论基础问题，发生在十七世纪。由于推敲微积分理论基础问题，微积分主要创始人牛顿微积分主要创始人牛顿(莱布尼兹莱布尼兹)在一些典型推导过程在一些典型推导过程中，直到中，直到1919世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。世纪，柯西详细而有系统地发
3、展了极限理论。本质上它是变量，并且是以零为极限量，至此柯西澄清本质上它是变量，并且是以零为极限量，至此柯西澄清了前人无穷小概念，另外了前人无穷小概念，另外WeistrassWeistrass创建了创建了 极限理论，极限理论，加上实数理论，集合论建立，从而把无穷小量从形而上加上实数理论，集合论建立，从而把无穷小量从形而上学束缚中解放出来，第二次数学危机基本处理。学束缚中解放出来，第二次数学危机基本处理。第2页第2页第三次数学危机 发生在19，罗素悖论产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确数学出现了自相矛盾。“剪发师悖论”，就是一位剪发师给不给自己剪发人剪发。那么剪发师该不该给自己剪发呢？数
4、学家们就开始为这场危机寻找处理办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一个不会产生悖论集合论，又通过德国另一位数学家弗芝克尔改进，形成了一个无矛盾集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新动力。在这场危机中集合论得到较快发展，数学基础进步更快，数理逻辑也愈加成熟。第3页第3页函数历史函数历史笛卡尔笛卡尔引入变量引入变量柯西给出了中学柯西给出了中学书本定义，首先书本定义，首先提出了自变量一提出了自变量一词词狄里克雷提出了狄里克雷提出了更为普通定义，更为普通定义，现在高中书本中
5、现在高中书本中定义定义欧拉强调函数表欧拉强调函数表达是一个关系达是一个关系贝努利强调函贝努利强调函数用公式表示数用公式表示莱布尼兹最早引莱布尼兹最早引入函数表示幂，入函数表示幂，引入坐标引入坐标罗巴契夫斯基提罗巴契夫斯基提出了两个变量之出了两个变量之间值相应关系间值相应关系康托康托集合论集合论第4页第4页一、集合二、函数1.1 映射与函数三、函数几种特性四、反函数、复合函数和初等函数第5页第5页1.集合v集合 集合是指含有某种特定性质事物总体 集合可用大写字母A B C D 等标识v元素 构成集合事物称为集合元素 集合元素可用小写字母a b c d 等标识 a是集合M元素记为aM 读作a属于M
6、 a不是集合M元素记为aM 读作a不属于M一、集合一、集合第6页第6页v集合表示列举法 把集合全体元素一一列举出来.比如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法 若集合M是由元素含有某种性质P元素x全体所构成,则M可表示为 Mx|x含有性质P.比如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.第7页第7页v几种数集 所有自然数构成集合记为N 称为自然数集 所有实数构成集合记为R 称为实数集 所有整数构成集合记为Z 称为整数集 所有有理数构成集合记为Q 称为有理集v子集 假如集合A元素都是集合B元素 则称A是B子集 记为AB(读作A包括于B)AB若xA 则xB 显然 NZ ZQ QR第8页第8页2.集合运
7、算 设A、B是两个集合,则 ABx|xA或xB称为A与B并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B差集(简称差).ACIAx|xA为称A余集或补集,其中I为全集.提醒:假如研究某个问题限定在一个大集合I中进行,所研究其它集合A都是I子集.则称集合I为全集或基本集.第9页第9页v直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合 AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B直积.比如,RR(x,y)|xR且yR 即为xOy面上全体点集合,RR常记作R2.第10页第10页 数集x|axb称为开区间记为(a b)即(a b)x|axb a bx|ax
8、b闭区间 a b)x|axb半开区间 (a bx|axb半开区间v有限区间 上述区间都是有限区间 其中a和b称为区间端点 ba 称为区间长度3.区间和邻域 第11页第11页 (b x|xb ()x|x|a)x|axv无限区间 (b)x|xb (a)x|a0 则称 U(a)(a a)x|xa|为点a邻域 其中点a称为邻域中心 称为邻域半径v去心邻域U(a)x|0|xa|1时 y1x 第20页第20页 设函数f(x)定义域为D,数集XD.假如存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界.1 函数有界性 假如存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有
9、下界.假如存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;假如这样M不存在,则称函数f(x)在X上无界.三、函数特性第21页第21页 f(x)sin x在(+)上是有界:|sin x|1 函数xxf1)(在开区间(0 1)内是无上界 Mxxf111)(因此函数无上界 函数xxf1)(在(1 2)内是有界 这是因为 对于任一 M1 总有1x:1101Mx 使 函数有界性举例 第22页第22页 设函数yf(x)在区间I上有定义 x1及x2为区间I上任意两点 且x1x2 假如恒有f(x1)f(x2)则称f(x)在I上是单调减少 单调增长和单调减少函数统称为单调函数 第23页第
10、23页 设函数f(x)定义域D关于原点对称 假如在D上有f(x)f(x)则称f(x)为偶函数 假如在D上有f(x)f(x)则称f(x)为奇函数3 函数奇偶性奇偶函数举例 yx2 ycos x都是偶函数 y2x ytan x 都是奇函数第24页第24页奇函数图形对称于原点偶函数图形对称于y轴奇偶函数图形特点 设函数f(x)定义域D关于原点对称 假如在D上有f(x)f(x)则称f(x)为偶函数 假如在D上有f(x)f(x)则称f(x)为奇函数3 函数奇偶性第25页第25页4 函数周期性 设函数f(x)定义域为D 假如存在一个不为零数l使得对于任一xD有(xl)D 且f(x+l)f(x)则称f(x)
11、为周期函数 l称为f(x)周期周期函数图形特点第26页第26页四 反函数、复合函数和初等函数1 反函数 设函数yf(x)定义域是数集D，值域是数集W.若对每一个y,都有唯一x适合关系f(x)=y,从而得到一个定义在W上新函数，称为函数 f 反函数，记作x=f 1(y).其中这个函数定义域为W，值域为D.原函数称为直接函数 按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(x),xf(D).比如,函数yx3它反函数存在,其反函数为 第27页第27页1 反函数 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 反函数.按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(
12、x),xf(D).若 f 是定义在D上单调函数,则 f:Df(D)是单射,于是 f 反函数f 1必定存在,并且容易证实f 1也是f(D)上单调函数.第28页第28页 相对于反函数yf 1(x)来说,本来函数yf(x)称为直接函数.函数yf(x)和yf 1(x)图形关于直线 yx 是对称.按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(x),xf(D).反函数存在性：若函数yf(x)定义在没个区间I上并在该区间上单调（增长或减少），则它反函数必存在。第29页第29页 设函数yf(u)定义域为D1,函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1,则由 yfg(x),xD拟定函数称为由函数ug(x)和函数yf
13、(u)构成复合函数,它定义域为D,变量u称为中间变量.2 复合函数 函数 g与函数 f 构成复合函数通常记为f o g,即 (f o g)(x)fg(x).阐明:g与f 构成复合函数f o g条件是:函数g在D上值域g(D)必须含在f 定义域Df 内,即g(D)Df.不然,不能构成复合函数.第30页第30页3 函数运算 设函数f(x),g(x)定义域依次为D1,D2,DD1D2,则能够定义这两个函数下列运算:和(差)f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;积 f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;第31页第31页v基本初等函数 幂函数:yx (R是常数);指数函数:ya x(
14、a0且a1);对数函数:yloga x(a0且a1),尤其当ae时,记为yln x;三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;4.初等函数 反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.第32页第32页5.初等函数 v初等函数 由常数和基本初等函数通过有限次四则运算和有限次函数复合环节所构成并可用一个式子表示函数,称为初等函数.都是初等函数 比如 函数 21 xyxy2sin2cotxy v初等函数分解分解第33页第33页第34页第34页第35页第35页5.3 5.3 几种常见经济函数几种常见经济
15、函数5.3.1 5.3.1 线性函数模型线性函数模型5.3.2 5.3.2 指数函数模型指数函数模型 用数学办法处理实际问题，通常要把实际问题化成用数学办法处理实际问题，通常要把实际问题化成数学问题，也就是建立数学模型，简称建模数学问题，也就是建立数学模型，简称建模.五五 函数模型函数模型第36页第36页图图2-2 图图2-35.3.15.3.1线性函数模型线性函数模型第37页第37页第38页第38页图图 2-4 图图 2-5 第39页第39页第40页第40页例例3 3 利润函数模型利润函数模型第41页第41页图图 2-6第42页第42页第43页第43页第44页第44页5.3.2 5.3.2 指数函数模型指数函数模型第45页第45页例例5 5 复利模型复利模型第46页第46页第47页第47页第48页第48页第49页第49页所谓年金本利和，是指每年付一次款，每年复利一次，若干所谓年金本利和，是指每年付一次款，每年复利一次，若干年后所有付款和所有利息累积之和年后所有付款和所有利息累积之和例例 年金本利和模型年金本利和模型第50页第50页第51页第51页
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